tag:blogger.com,1999:blog-82466777176798658552024-03-13T12:28:10.871-03:00BLOG MANTHANOUnknownnoreply@blogger.comBlogger160110tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-41033342848758640802017-08-03T00:35:00.001-03:002020-03-22T21:49:01.099-03:00Ternos Pitagóricos pelo Python<div style="text-align: justify;">
<br />
<a name='more'></a>Em <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2013/03/um-novo-olhar-sobre-os-numeros.html" target="_blank">postagem anterior</a>, de autoria do Professor Fernando Manso (UTFPR-CM), foi apresentado um resultado (vide Teorema 1) que produz um algoritmo capaz de determinar todos os ternos a partir de um dado cateto (vide Exemplo 2).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O referido algoritmo foi implementado na linguagem Python por Vinícius Guimarães de Oliveira, aluno do curso técnico em informática da UTFPR-CM. O programa não só retorna todas as ternas pitagóricas onde figura o cateto especificado pelo usuário como também apresenta a classificação de cada uma das ternas em primitiva, secundária, simétrica e não
simétrica. As figuras abaixo ilustram o funcionamento do programa.</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Programa na linguagem Python que calcula e classifica ternos pitagóricos" border="0" data-original-height="332" data-original-width="659" src="https://4.bp.blogspot.com/--Tk8T2BGjNc/WYKQrSuN8WI/AAAAAAAAFQc/77LqiqgOiRUV_lNpN6I1RLUblilgdP-vQCLcBGAs/s1600/102.png" title="Programa na linguagem Python que calcula e classifica ternos pitagóricos" /> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> <b>Figura 1:</b> Digitando 102 e teclando Enter, obtemos todas as ternas
que possuem um dos catetos medindo 102. Obtemos também a classificação
de cada uma das ternas.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Programa na linguagem Python que calcula e classifica ternos pitagóricos" border="0" data-original-height="332" data-original-width="659" src="https://4.bp.blogspot.com/--N42nQuc4YI/WYKSKtDntXI/AAAAAAAAFQg/Yv5quVfnc5YLVhY3INYy0eOwAjJw5Jg2QCLcBGAs/s1600/4031.png" title="Programa na linguagem Python que calcula e classifica ternos pitagóricos" /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><b>Figura 2:</b> Digitando 4301 e teclando Enter, obtemos todas as ternas
que possuem um dos catetos medindo 4301. Obtemos também a classificação
de cada uma das ternas.</span> </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Os leitores interessados em obter uma cópia do código ou do arquivo executável do programa podem entrar em contato através do <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/p/contato.html" target="_blank">formulário de contato</a> (as mensagens e contatos dos interessados serão encaminhados para o prof. Fernando).</div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-84353463690574327232017-05-10T02:37:00.000-03:002017-07-06T23:00:35.177-03:00Elon: um exímio expositor.<div style="text-align: justify;">
<br />
<a name='more'></a>Aos 87 anos, o matemático brasileiro Elon Lages Lima faleceu no último domingo - dia 7 de maio de 2017. Para saber um pouco mais sobre sua vida e seu legado, veja a <a href="https://impa.br/page-noticias/morre-no-rio-o-matematico-elon-lages-lima-ex-diretor-do-impa-aos-87-anos/" target="_blank">nota no site do IMPA</a> e a <a href="http://www.sbm.org.br/destaque/elon-lages-lima" target="_blank">nota no site da SBM</a>.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><img alt="Elon Lages Lima" border="0" height="163" src="https://3.bp.blogspot.com/-Ks-GP_UHU-k/WRNqePbfuUI/AAAAAAAAFOY/ICzLZIoRehYd2emB8uWgzaAUSBjttSSAACLcB/s200/Elon.png" title="Elon Lages Lima" width="200" /></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Elon Lages Lima num momento da<br />
<a href="https://www.youtube.com/watch?v=R3BffVIt8mM" target="_blank">última aula que lecionou no PAPMEM</a>, em julho de 2012.</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Embora eu não o tenha conhecido pessoalmente, aprendi muito com ele. Como uma forma de prestar uma homenagem póstuma, mencionarei nesta postagem algumas de suas obras que marcaram minha vida de estudos.<br />
<br />
Na época da faculdade (licenciatura), a coleção <a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/sbm/colecao-do-professor-de-matematica/a-matematica-no-ensino-medio-volume-1.html" target="_blank"><i>A Matemática do Ensino Médio</i></a> (volumes 1, 2, 3 e 4), o livro <i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/meu-professor-de-matematica-e-outras-historias.html" target="_blank">Meu Professor de Matemática e Outras Histórias</a></i>, o livro <i><a href="http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/veiculos_de_comunicacao/RPM/RPM46/RPM46_10.PDF" target="_blank">Exames de Textos</a></i> e as suas aulas no programa <i><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/02/link-interessante-aperfeicoamento-de.html" target="_blank">PAPMEM</a> </i>tiveram grande influência sobre mim. O livro <i>Exame de Textos</i> inclusive inspirou a elaboração de um trabalho (realizado em grupo), motivo que me fez contatar o professor Elon por email - que, para minha satisfação, se mostrou bastante gentil e solícito ao me atender. No fim da faculdade, às vésperas de prestar seleção para um programa de mestrado, Elon foi meu primeiro professor de análise através do seu <i><a href="https://www.youtube.com/watch?v=7yXeX7ccq9Y" target="_blank">curso de análise real em vídeo</a></i> (meu curso de graduação não ofertava a disciplina de análise). Durante a preparação para entrar no mestrado, bem como no decorrer do curso, os seus livros <i>Análise Real</i> (<i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/impa/colecao-matematica-universitaria/analise-real-volume-1.html" target="_blank">1</a></i> e <i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/impa/colecao-matematica-universitaria/analise-real-volume-2.html" target="_blank">2</a></i>), <i>Curso de Análise</i> (<i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/curso-de-analise-vol-1.html" target="_blank">1</a></i> e <i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/curso-de-analise-vol-2.html" target="_blank">2</a></i>) e <i><a href="https://loja.sbm.org.br/index.php/impa/colecao-matematica-universitaria/algebra-linear.html" target="_blank">Álgebra Linear</a></i> também foram decisivos. Hoje em dia, no doutorado, seu livro <i>Curso de Análise 2</i> ainda se revela bastante útil em alguns momentos.</div>
<br />
O prof. Elon disse<br />
<blockquote class="tr_bq">
<i>Sempre senti a necessidade de expor as coisas para as pessoas entenderem.</i> ([1], p. 50)</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
e complementou</div>
<blockquote class="tr_bq">
<i>Eu
sempre achei que eu era, antes de tudo e acima de tudo, um professor.
Sempre achei isso e que o meu maior desafio era pegar as coisas
difíceis, que me deram trabalho para aprender, procurar refazer aquilo
de forma a ser atraente, elegante e claro.</i> ([2], p. 101) </blockquote>
Quem tem o privilégio de estudar suas obras não tem dúvidas de que ele supriu a necessidade e cumpriu o desafio.<br />
<br />
Para finalizar, deixo uma lista de postagens publicadas aqui no BLOG MANTHANO e que tiveram influência das obras do Elon:<br />
<ul>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2013/06/como-contar-o-infinito.html" target="_blank">Como contar o infinito? </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/uma-demonstracao-da-desigualdade-de.html" target="_blank">Uma demonstração da desigualdade de Schwarz (em espaços reais) </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/comentario-sobre-produto-interno.html" target="_blank">Comentário sobre produto interno </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/comutatividade-no-infinito.html" target="_blank">Comutatividade no infinito </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/09/duvida-do-leitor-edo_19.html" target="_blank">Dúvida do leitor [EDO] </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/01/solucionando-o-problema-do-aniversario.html" target="_blank">Solucionando o Problema do Aniversário </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/01/e-denso-em-qual-e-o-significado-disso.html" target="_blank">ℚ é denso em ℝ. Qual é o significado disso?</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/01/demonstracao-por-inducao.html" target="_blank">A Demonstração por Indução</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/01/os-axiomas-de-peano.html" target="_blank">Os Axiomas de Peano</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/07/ainda-outro-erro-sutil-sobre-funcoes.html" target="_blank">Ainda outro erro sutil (sobre funções)</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/06/por-que-2-e-irracional.html" target="_blank">Por que √2 é irracional? </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/05/porque-todo-numero-racional-quando-nao.html" target="_blank">Por que todo número racional, quando não é um decimal finito, é uma dízima periódica? </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/05/um-erro-sutil-sobre-interseccao.html" target="_blank">Mais um erro sutil (sobre intersecção)</a> </li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/05/outro-erro-sutil-sobre-nocao-de.html" target="_blank">Outro erro sutil (sobre a noção de igualdade)</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/05/um-erro-sutil-sobre-nocao-de.html" target="_blank">Um erro sutil (sobre a noção de pertinência)</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/04/por-que-nao-existe-divisao-por-zero.html" target="_blank">Por que não existe divisão por zero? </a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/03/por-que-todo-numero-elevado-zero-da-um.html" target="_blank">Por que todo número elevado a zero dá um?</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/03/porque-racionalizar-o-denominador.html" target="_blank">Por que racionalizar o denominador?</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/03/porque-menos-vezes-menos-da-mais.html" target="_blank">Por que "menos vezes menos dá mais"?</a></li>
<li><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/02/por-que-m-c1-i.html" target="_blank">Por que M = C(1+ i)ⁿ?</a></li>
</ul>
<br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Referências:</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">[1] <a href="http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n09_n10/n09_n10_Entrevista01.pdf" target="_blank">Entrevista com Elon Lages Lima</a> publicada na RMU nº 09, dezembro de 1989.</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">[2] <a href="http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n33/n33_Entrevista.pdf" target="_blank">Entrevista com Elon Lages Lima</a> publicada na RMU nº 33, dezembro de 2002.</span> Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-59783673387696984302017-02-10T12:10:00.000-02:002017-07-06T23:02:49.965-03:00Equações de Navier-Stokes<a name='more'></a><div style="text-align: justify;">
Nesta postagem apresentamos um resultado de existência e unicidade de solução fraca para as equações de Navier-Stokes num domínio limitado do plano. O material é proveniente de um seminário
apresentado pelo autor (em parceria com um colega) em disciplina de doutorado na UFRJ.<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"> </span></b><b><span style="font-size: large;">1 Considerações iniciais</span></b><br />
<br />
Em sua formulação clássica$^{\text{(i)}}$ o PVIF para as equações de Navier-Stokes completas$^{\text{(ii)}}$ é o seguinte:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<b>Problema 1.1</b> (PVIF para Navier-Stokes). Sejam $\Omega$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $T>0$. Dados uma constante $\nu>0$, uma função vetorial $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função vetorial $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^n$, encontrar uma função vetorial $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função escalar $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que</div>
$$\left\{\begin{aligned}
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\<br />
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\<br />
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\<br />
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\<br />
\end{aligned}\right.\tag{1.1}$$</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
Este sistema descreve a velocidade $\mathbf{u}$ e a pressão $p$ de um fluído incompressível viscoso que possui viscosidade constante $\nu$, preenche permanentemente uma região $\Omega$ do espaço e está sob a influência de uma força externa $\mathbf{f}$.<br />
<br />
<b>Curiosidade:</b> As seguintes questões referentes ao Problema 1.1 estão em aberto e valem um milhão de dólares:$^{\text{(iii)}}$</div>
<ol>
<li style="text-align: justify;"><b>Existência de Solução.</b> Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$, $T=\infty$, $\mathbf{f}\equiv 0$ e $\mathbf{u}_0$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e $$|\partial_x^\alpha\mathbf{u}_0(x)|\leq C_{\alpha,K}(1+|x|)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,\alpha\in\mathbb{N}^3,K>0.\tag{1.2}$$ Mostre que existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e $$\int_{\mathbb{R}^3}|\mathbf{u}(x,t)|^2\;dx<C,\quad\forall\ t\geq 0.\tag{1.3}$$ </li>
<li style="text-align: justify;"><b>Não Existência de Solução.</b> Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$ e $T=\infty$. Mostre que existem $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $$|\partial_x^\alpha\partial_t^m\mathbf{f}(x,t)|\leq C_{\alpha,m,K}(1+|x|+t)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,t\geq 0,\alpha\in\mathbb{N}^3,m\in\mathbb{N},K>0$$ e $\mathbf{u}_0:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e (1.2) para os quais <b>não</b> existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e (1.3).</li>
</ol>
<div style="text-align: justify;">
Nesta exposição, vamos considerar o Problema 1.1 para $n=2$ e $\Omega$ limitado com fronteira regular. O objetivo será provar existência e unicidade de solução fraca. Todo o exposto está baseado em [4, 11, 12, 17].</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>2 Navier-Stokes em domínios limitados de $\mathbb{R}^2$</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Em tudo o que segue, $T>0$ é um número real fixo (e finito), $\Omega$ é um aberto limitado de $\mathbb{R}^2$ com fronteira regular e $\nu>0$ é uma constante.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>2.1 Motivação para a formulação fraca</b><br />
<br />
A versão clássica do problema que vamos considerar é a seguinte:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<b>Problema 2.1</b> (Navier-Stokes no plano). Dados $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^2$, encontrar $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que</div>
$$ \left\{\begin{aligned}
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\<br />
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\<br />
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\<br />
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.1}$$</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
Escreva $Q=\Omega\times(0,T)$. Suponhamos que, para uma função $\mathbf{f}=(f^1,f^2)\in C(\bar{Q})\times C(\bar{Q})$, o Problema 2.1 possua uma solução $(\mathbf{u},p)$ com $\mathbf{u}=(u^1,u^2)\in C^2(\bar{Q})\times C^2(\bar{Q})$ e $p\in C^1(\bar{Q})$.$^{\text{(iv)}}$ Note que a equação (2.1)$_1$ se reescreve como<br />
$$u^i_t-\nu\Delta u^i+\sum_{j=1}^2 u^ju^i_{x_j}=f^i-p_{x_i},\qquad i=1,2.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Multiplicando por $v^i\in \mathcal{D}(\Omega)$, integrando sobre $\Omega$ e mantendo implícita a dependência de $t$, segue que<br />
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}-\nu\int_\Omega v^i\Delta u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}-\int_\Omega p_{x_i}v^i\;dx.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Integrando por partes (e utilizando que $v^i$ se anula sobre $\partial\Omega$), obtemos<br />
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega pv^i_{x_i}\;dx.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Somando com respeito ao índice $i$, resulta que<br />
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i=1}^2\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega p\operatorname{div}\mathbf{v}\;dx,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
onde $\mathbf{v}=(v^1,v^2)$. Supondo adicionalmente que $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$, esta última igualdade se reduz a<br />
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2}+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Definindo</div>
<div style="text-align: justify;">
$$a(\mathbf{u},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2},$$</div>
<div style="text-align: justify;">
a expressão anterior pode ser reescrita como</div>
<div style="text-align: justify;">
$$(\mathbf{u}_t,\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u},\mathbf{v})+b(\mathbf{u}, \mathbf{u},\mathbf{v})=(\mathbf{f},\mathbf{v}),$$</div>
<div style="text-align: justify;">
onde $(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Escrevendo $\mathbf{u}(\cdot,t)=\mathbf{u}(t)$, $\mathbf{f}(\cdot,t)=\mathbf{f}(t)$ e tornando explícita a dependência de $t$ na expressão anterior, obtemos</div>
<div style="text-align: justify;">
$$(\mathbf{u}_t(t),\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u}(t),\mathbf{v})+b(\mathbf{u}(t), \mathbf{u}(t),\mathbf{v})=(\mathbf{f}(t),\mathbf{v}),\quad\forall\ t\in(0,T).\tag{2.2}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Estas considerações motivam a definição dos espaços funcionais, a definição das aplicações e a formulação fraca estabelecidas na seção seguinte.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>2.2 Formulação fraca</b><br />
<br />
Defina os espaços</div>
<div style="text-align: justify;">
$$\mathcal{V}=\{v\in \mathcal{D}(\Omega)\times\mathcal{D}(\Omega)\mid \operatorname{div}v=0\},\qquad V=\overline{\mathcal{V}}^{[H^1(\Omega)]^2},\qquad H=\overline{\mathcal{V}}^{[L^2(\Omega)]^2}.\tag{2.3}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Defina também a forma bilinear $a:V\times V\to\mathbb{R}$ e a forma trilinear $b:V\times V\times V\to\mathbb{R}$ por<br />
$$a(u,v)=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(u,w,v)=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2}.\tag{2.4}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Note que $a(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $[H_0^1(\Omega)]^2$. A seguir, vamos considerar o seguinte problema:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<b>Problema 2.2</b> (Formulação fraca). Dados uma função $f:[0,T]\to V'$ e um vetor $u_0\in H$, provar que existe uma função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)^{\text{(v)}}$ tal que, para todo $v\in V$,</div>
$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\;\text{ em }\;\mathcal{D}'(0,T),\\<br />
&u(0)=u_0.<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.5}$$</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
Como antes, $(\cdot,\cdot)$ representa o produto interno usual em $[L^2(\Omega)]^2$. Note que (2.5)$_1$ é uma versão mais fraca de (2.2). A função $u$ deverá ter regularidade suficiente para que a condição (2.5)$_2$ tenha sentido.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>2.3 Preliminares</b><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Nesta seção apresentaremos alguns resultados que serão necessários na seção seguinte. Começamos com dois resultados gerais.</div>
<blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<b>Teorema 2.3.</b> Seja $\{e_j\}_{j\in J}$ uma família ortonormal em um espaço de Hilbert $\mathcal{H}$. São equivalentes:</div>
<div style="text-align: justify;">
(I) $\{e_j\}_{j\in J}$ é maximal (no sentido de inclusão de conjuntos).</div>
<div style="text-align: justify;">
(II) $ x=\sum_{j\in J}(x,e_j)e_j$ para todo $x\in \mathcal{H}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
(III) $ \|x\|^2=\sum_{j\in J}|(x,e_j)|^2$ para todo $x\in \mathcal{H}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
(IV) $\overline{\operatorname{span}\{e_j\mid j\in J\}}=\mathcal{H}$.</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<i>Prova:</i> Para (I) $\Rightarrow$ (II) $\Rightarrow$ (III) $\Rightarrow$ (I), ver [10] (Corolário 12.8, p. 532). A implicação (II) $\Rightarrow$ (IV) é imediata. Para (IV) $\Rightarrow$ (II) ver [3] (Corolário 5.10, p. 143). $\square$<br />
<br />
<b>Observação 2.4.</b> No contexto do método de Galerkin, a "base" de um espaço normado separável $X$ geralmente é definida como sendo uma família L.I. contável cujo espaço gerado é denso em $X$ (a separabilidade do espaço garante a existência de tal família - ver Lema 4.1, p. 83, em [8]). Por outro lado, no contexto dos espaços de Hilbert, a "base" às vezes é definida como sendo uma família ortonormal maximal. Segue do Teorema 2.3 que, se $X$ é Hilbert separável, então estes dois conceitos de base coincidem. A seguir, a expressão "sistema ortonormal completo" será utilizada como sinônimo de "família ortonormal maximal".
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Teorema 2.5.</b> Sejam $V$ e $H$ espaços de Hilbert tais que $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas. Então,<br />
$$W(a,b;V,V'):=\{u\in L^2(a,b;V)\mid u'\in L^2(a,b;V')\}\hookrightarrow C([a,b]; H).$$
Mais ainda, dadas $u,v\in W(a,b; V,V')$, vale a fórmula de integração por partes<br />
$$\begin{gathered}\int_a^b\langle u'(t),v(t)\rangle_{V'\times V}\;dt\\=(u(b),v(b))_H-(u(a),v(a))_H-\int_a^b\langle u(t),v'(t)\rangle_{V\times V'}\;dt.\end{gathered}\tag{2.6}$$</blockquote>
<i>Prova:</i> Ver [6] (teoremas 1 e 2, p. 473 e 477). $\square$<br />
<br />
Agora, vejamos alguns resultados que se referem especificamente aos espaços e às aplicações definidas na seção precedente.<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lema 2.6.</b> Os espaços $V$ e $H$ definidos em (2.3) possuem as seguintes propriedades:<br />
(a) $V$ e $H$ são dados por$^{\text{(vi)}}$ $$V=\{\mathbf{w}\in [H_0^1(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0\},\;H=\{\mathbf{w}\in [L^2(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0,\;(\mathbf{w}\cdot\mathbf{N})|_{\partial\Omega}=0\}.$$
(b) $V$ e $H$ com as normas induzidas de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente, são espaços de Hilbert separáveis.<br />
(c) $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas.<br />
(d) A inclusão $V\hookrightarrow H$ é compacta.</blockquote>
<i>Prova:</i> (a) Ver [7] (Teoremas 4 e 6, p. 8 e 10) ou [11] (p. 67-68) ou [17] (Teoremas 1.4 e 1.6, p. 15 e 18). (b) Segue de $V$ e $H$ serem subespaços fechados de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente. (c) Ver [7] (p. 22) ou [17] (p. 248). (d) Ver [11] (Lema 6.8, p. 74). $\square$<br />
<br />
Seja $A:V\to V'$ o operador associado à forma bilinear $a(\cdot,\cdot)$, definida em (2.4). Então (ver [12], p. 15), $A$ é uma bijeção linear contínua com inversa contínua que satisfaz<br />
$$\langle Au,v\rangle_{V'\times V}=a(u,v),\quad \forall\ u,v\in V.\tag{2.7}$$
Em particular, se $u\in V$ é tal que $Au\in H$, então $(Au,v)=a(u,v)$ para toda $v\in V$.<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lema 2.7.</b> O espaço $H$ definido em (2.3) possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ formado por autofunções do operador $A$. Mais ainda, se $\{\lambda_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ são os autovetores correspondentes, então:<br />
(a) $(v,w_j)_V=\lambda_j(v,w_j)$ para todo $v\in V$.<br />
(b) $\left\{\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right\}_{j\in \mathbb{N}}$ é um sistema ortonormal completo em $V$.</blockquote>
<i>Prova: </i>Defina $X=\{u\in V\mid Au\in H\}$. Das propriedades de $A$, segue que $\tilde{A}:=A|_{X}$ é uma bijeção linear contínua com inversa $\tilde{A}^{-1}:H\to X$ contínua. Segue do item (d) do Lema 2.6 que $\tilde{A}^{-1}:H\to H$ é compacta. Mais ainda, $\tilde{A}^{-1}$ é simétrica porque, dados $f,g\in H$,<br />
\begin{align*}
(\tilde{A}^{-1}h,g)&=(g,\tilde{A}^{-1}h)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)=a(\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)\\<br />
&=a(\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,\tilde{A}^{-1}g).<br />
\end{align*} Segue do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert (Teorema 15.39, p. 673, em [9]) que $H$ possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ formado por autovetores de $\tilde{A}^{-1}$, associados a uma família $\{\mu_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de autovalores não nulos. Como este sistema coincide com as autofunções de $A$, a primeira afirmação está provada. O item (a) segue de um cálculo direto. Da parte já provada, o item (II) do Teorema 2.3 se verifica para $e_j=w_j$ e $\mathcal{H}=H$. Usando isto e o item (a), concluímos que o item (II) do Teorema 2.3 também se verifica para $e_j=w_j/\sqrt{\lambda_j}$ e $\mathcal{H}=V$, onde $\lambda_j=\mu_j^{-1}$. Logo, o item (b) está provado. $\square$<br />
<br />
Combinando o Teorema 2.3 como o Lema 2.7 concluímos que, para todo $v\in V$,<br />
$$\|v\|_V^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(v,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2<br />
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(v,w_j\right)_V\right|^2<br />
=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\left|\left(v,w_j\right)\right|^2.\tag{2.8}$$
Analogamente, usando (2.7) concluímos que, para todo $h\in V'$,<br />
$$\begin{aligned}
\|{A^{-1}}h\|_{V}^2&=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(A^{-1}h,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2<br />
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|a(A^{-1}h,w_j)\right|^2\\<br />
&=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle AA^{-1}h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2<br />
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2.<br />
\end{aligned}\tag{2.9}$$
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lema 2.8.</b> A forma trilinear definida em (2.4) é contínua e, para quaisquer $u,\tilde{u},v,w\in V$, satisfaz:<br />
(a) $b(u,w,v)=-b(u,v,w)$.<br />
(b) $|b(w,w,u)|\leq C\|w\|_H\|w\|_V\|u\|_V$.<br />
(c) $b(u,u,v)-b(\tilde{u},\tilde{u},v)=b(u-\tilde{u},u,v)-b(u-\tilde{u},u-\tilde{u},v)+b(u,u-\tilde{u},v)$.</blockquote>
<i>Prova:</i> (a) Ver [4] (Lemas 1 e 2, p. 126) ou [11] (Lema 6.5, p. 72) ou [12] (Lemas 1 e 3, p. 115 e 119) ou [17] (Lemas 1.2 e 1.3, p. 162 e 163). (b) Ver [4] (p. 155 e 156) ou [12] (p. 122) ou [17] (p. 293). (c) Ver [12] (Observação 3, p. 122). $\square$<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Observação 2.9. </b>Fixado $(u,w)\in V\times V$, segue do Lema 2.8 que a aplicação $v\mapsto b(u,w,v)$ é um funcional linear contínuo. Logo, pelo Teorema de Representação de Riesz, podemos definir uma aplicação bilinear contínua $B:V\times V\to V'$ satisfazendo $\langle B(u,w),v\rangle_{V'\times V}=b(u,w,v)$ para quaisquer $u,w,v\in V$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lema 2.10.</b> Se $u,v\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$, então existe uma constante positiva $C$ tal que<br />
$$\|B(u(t),v(t))\|_{V'}\leq C\|u(t)\|_V^{1/2}\|v(t)\|_V^{1/2},\quad\text{q.s. em}\quad[0,T]\tag{2.10}$$
e, consequentemente, $B(u(\cdot),v(\cdot))\in L^2(0,T;V')$.</blockquote>
<i>Prova: </i>Ver [4] (Lema 4, p. 130) ou [12] (Lema 4, p. 120) ou [17] (p. 293). $\square$<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Lema 2.11</b> (De Rham, Nečas). Sejm $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ um aberto limitado com fronteira regular e $S\in[H^{-1}(\Omega)]^2$. Se<br />
$$\langle S,v\rangle_{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=0,\quad\forall \ v\in\mathcal{V},$$
então existe uma única função $P\in L^2(\Omega)$ com média nula satisfazendo $S=\nabla P$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$ e verificando<br />
$$\|P\|_{L^2(\Omega)}\leq a\|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2},\quad \|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2}\leq b\|P\|_{L^2(\Omega)},\tag{2.11}$$
onde $a$ e $b$ são constantes positivas que dependem apenas de $\Omega$.</blockquote>
Prova: Ver [2] (Proposição IV.1.7, p. 238, e Teorema IV.2.3, p. 242) ou [15] (Lema 2.2.2, p. 75) ou [17] (proposições 1.1 e 1.2, p. 14, e Nota 1.4, p. 15). $\square$<br />
<br />
<b>2.4 Existência e unicidade de solução fraca</b></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
O teorema a seguir resolve o Problema 2.2.</div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
<b>Teorema 2.12.</b> Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo,$^{\text{(vii)}}$ para todo $v\in V$,<br />
$$\left\{\begin{aligned}
&\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T),\\<br />
&u(0)=u_0.<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.12}$$</blockquote>
<i>Prova:</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<ul>
<li><b>Existência</b></li>
</ul>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<u>PROBLEMA APROXIMADO</u><br />
<br />
Seja $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ a base de $H$ dada pelo Lema 2.7. Para cada $m\in\mathbb{N}$, defina $V_m=\mathrm{span}\{w_1,...,w_m\}$. O primeiro passo é mostrar que, para cada $m\in\mathbb{N}$ e cada $j=1,...,m$, existem<br />
$$\left\{\begin{aligned}
u_m(t)=\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_j\in V_m,&\\<br />
\quad {u_0}_m\in V_m,&<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.13}$$
satisfazendo o "problema aproximado"<br />
$$\left\{\begin{aligned}
&(u'_m(t),w_j)+\nu a(u_m(t),w_j)+b(u_m(t), u_m(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T]\\<br />
&u_m(0)={u_0}_m,\\<br />
&{u_0}_m\overset{m\to\infty}{\longrightarrow} u_0\quad\text{em}\quad H.<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.14}$$
Seja<br />
$${u_0}_m=\sum_{i=1}^m(u_0,w_i)w_i\tag{2.15}$$
a projeção de $u_0=\sum_{i=1}^\infty(u_0,w_i)w_i$ sobre $V_m$. Então $({u_0}_m)$ é uma sequência em $H$ satisfazendo (2.13)$_2$ e (2.14)$_3$. Assim, substituindo (2.13)$_1$ e (2.15) em (2.14)$_{1,2}$, concluímos que resolver o problema aproximado equivale a resolver o seguinte sistema de EDOs com $1\leq j\leq m$:<br />
$$\left\{\begin{aligned}
&g'_{jm}(t)+\lambda_jg_{jm}(t)+\sum_{i,k=1}^mb(g_{im}(t), g_{km}(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T],\\<br />
&g_{jm}(0)=(u_0,w_j),\\<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.16}$$
onde $\lambda_j\in \mathbb{R}$ é o autovalor correspondente à autofunção $w_j$. Pelo Teorema de Carathéodory, para cada $m\in\mathbb{N}$ o sistema (2.16), e por conseguinte o sistema de interesse (2.14), possui uma única solução local absolutamente contínua definida sobre um intervalo $[0,t_m]$. A primeira estimativa feita a seguir garante que tal solução pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$.<br />
<br />
<u>1ª ESTIMATIVA</u><br />
<br />
Multiplicando (2.14)$_1$ por $g_{jm}(t)$ e somando com respeito a $j$, segue que<br />
$$\begin{align*}
(u'_m(t),u_m(t))+\nu a(u_m(t),u_m(t))+b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=\langle f(t),u_m(t)\rangle_{V'\times V}\\<br />
&\leq \|f(t)\|_{V'}\|u_m(t)\|_{V}.<br />
\end{align*}$$
Note que<br />
$$\begin{align*}
(u'_m(t),u_m(t))&=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2,\\<br />
a(u_m(t),u_m(t))&=\|u_m(t)\|^2_V,\\<br />
b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=0,<br />
\end{align*}$$
onde na segunda igualdade usamos a definição de $a(\cdot,\cdot)$ e, na terceira, usamos o Lema 2.8. Portanto, pela desigualdade de Young,<br />
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+\nu \|u_m(t)\|^2_V\leq C_\varepsilon\|f(t)\|_{V'}^2+\varepsilon\|u_m(t)\|_{V}^2.$$
Tomando $\varepsilon$ suficientemente pequeno (de modo que $\nu-\varepsilon>0$), obtemos<br />
$$\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+ \|u_m(t)\|^2_V\leq C_1\|f(t)\|_{V'}^2.$$
Integrando de $0$ até $t\in[0,t_m]$, resulta de (2.14)$_2$ que<br />
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq |{u_0}_m|_H^2+C_1\|f\|_{L^2(0,T;V')}.$$
De (2.14)$_3$, obtemos uma constante $C$ (independente de $t_m$) tal que<br />
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq C,\quad\forall\ t\in[0,t_m].<br />
\tag{2.17}$$
Assim, a solução $Y_m=(g_{1m},...,g_{mm})$ do sistema (2.16) satisfaz<br />
$$|Y_m(t)|_{\mathbb{R}^m}
=\sum_{i=1}^mg_{im}^2(t)=\left(\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_i,\sum_{k=1}^mg_{km}(t)w_k\right)<br />
=(u_m(t),u_m(t))<br />
=|u_m(t)|^2_H\leq C$$
para todo $t\in [0,t_m]$. Isto implica que $Y_m$, e por conseguinte a solução $u_m$ de (2.14), pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$. Uma vez que dispomos de uma solução definida sobre $[0,T]$, podemos repetir os cálculos anteriores com $T$ no lugar de $t_m$ e concluir que (2.17) vale com $T$ no lugar de $t_m$. Portanto,<br />
$$\begin{align*}
(u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.18}\\<br />
(u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V).\tag{2.19}
\end{align*}$$
<br />
<u>2ª ESTIMATIVA</u><br />
<br />
Como o operador $\tilde{A}:X\to H$ tem inversa simétrica (ver Seção 2.3), segue do item (a) do Lema 2.7 que<br />
$$(A^{-1}h,g)_V=\lambda_j(\tilde{A}^{-1}h,g)=\lambda_j(h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,A^{-1}g)_V,\quad \forall\ h,g\in H.$$
Logo, por (2.8),<br />
\begin{align*}\|u'_m(t)\|_{V'}^2=\|AA^{-1}u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\|A^{-1}u'_m(t)\|_V^2<br />
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(A^{-1}u'_m(t),w_j\right)_V\right|^2\\<br />
&=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(u'_m(t),A^{-1}w_j\right)_V\right|^2<br />
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j^2}|(u'_m(t),w_j)_V|^2\\<br />
&=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|(u'_m(t),w_j)|^2<br />
=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle u'_m(t),w_j\rangle_{V'\times V}|^2.<br />
\end{align*}
Escrevendo $h_m(t)=f(t)-\nu Au_m(t)-B(u_m(t),u_m(t))$, segue de (2.14)$_1$, (2.9) e (2.10) que<br />
\begin{align*}
\|u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle h_m(t),w_j\rangle _{V'\times V}|^2=c\|{A^{-1}}h_m(t)\|_{V}^2\leq c_1\|h_m(t)\|_{V'}^2\\<br />
&\leq c_1\big(\|f(t)\|_{V'}+\nu \|Au_m(t)\|_{V'}+\|B(u_m(t),u_m(t))\|_{V'}\big)^2\\<br />
&\leq c_2\big(\|f(t)\|_{V'}^2+\|u_m(t)\|^2_{V}+\|u_m(t)\|^2_{V}\big).<br />
\end{align*}
Como $f\in L^2(0,T;V')$, segue de (2.19) que<br />
$$(u'_m)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.20}$$
<br />
<u>PASSAGEM AO LIMITE</u><br />
<br />
Resulta de (2.18), (2.19) e (2.20) que existe $u\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ tal que<br />
$$\begin{align*}
u_m&\overset{*}{\rightharpoonup} u\quad\text{ em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.21}\\<br />
u_m&\rightharpoonup u\quad\text{ em}\quad L^2(0,T;V),\tag{2.22}\\<br />
u'_m&\rightharpoonup u'\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.23}
\end{align*}$$
De (2.14)$_1$ resulta que, para $1\leq j\leq m$,<br />
$$\label{}
(u'_m(\cdot),w_j)+\nu a(u_m(\cdot),w_j)+b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T)\tag{2.24}.<br />
$$
Vejamos que<br />
$$\left.\begin{aligned}(u'_m(\cdot),w_j)&\to \frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)\\<br />
a(u_m(\cdot),w_j)&\to a(u(\cdot),w_j)\\<br />
b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)&\to b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)<br />
\end{aligned}\right\}\quad \text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T)^{\text{(viii)}}.\tag{2.25}$$ <br />
A seguir provaremos a terceira convergência, que envolve o termo não linear da equação (graças à linearidade, as duas primeiras convergência são obtidas de
maneira mais simples e, por isso, omitiremos os detalhes). Das limitações (2.19) e (2.20), concluímos que<br />
$$(u_m)\quad\text{é limitada em}\quad W:= \{g\in L^2(0,T;V)\mid g'\in L^2(0,T;V')\}.\tag{2.26}$$
Pelo <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2016/07/o-teorema-de-aubin-lions.html" target="_blank">Teorema de Aubin-Lions</a>, $W\overset{\mathrm{c}}{\hookrightarrow} L^2(0,T; H)$ (aqui estamos usando os itens (b), (c) e (d) do Lema 2.6). Logo, passando a uma subsequência,<br />
$$u_m\to u\quad\text{em}\quad L^2(0,T;H).$$
Consequentemente,<br />
$$u_m^i\to u^i\quad\text{em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i=1,2$$
onde $Q=\Omega\times(0,T)$ (para detalhes sobre o isomorfismo acima, ver p. 24 em [13]). Resulta disto que, passando a uma subsequência,<br />
$$u_m^iu_m^k\to u^iu^k\quad\text{q.s. em}\quad Q,\qquad i,k=1,2.\tag{2.27}$$
Como $n=2$, temos $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ (ver Teorema 4.12, p. 85, em [1]). Consequentemente, $L^2(0,T;V)\hookrightarrow L^2(0,T;[L^4(\Omega)]^2)$ e<br />
\begin{align*}
\|u_m^iu_m^k\|_{L^2}^2&=\int_\Omega|u_m^i|^2|u_m^k|^2\;dx<br />
\leq\left(\int_\Omega|u_m^i|^4\;dx\right)^{1/2}\left(\int_\Omega|u_m^k|^4\;dx\right)^{1/2}=\|u^i_m\|_{L^4}^2\|u^k_m\|_{L^4}^2\\<br />
&\leq \frac{1}{2}\|u^i_m\|_{L^4}^4+\frac{1}{2}\|u^k_m\|_{L^4}^4.<br />
\end{align*}
Logo, de (2.19),<br />
$$(u_m^iu_m^k)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i,k=1,2.\tag{2.28}$$
De (2.27), de (2.28) e do Lema de Lions, segue que<br />
$$u_m^iu_m^k\rightharpoonup u^iu^k\quad\text{em}\quad L^2(Q)\cong L^2(0,T;L^2(\Omega)),\qquad i,k=1,2.$$
Isto implica que<br />
$$\int_0^T(u^k_m(t)v(\cdot,t),u_m^i(t))_{L^2}\;dt=\int_Q u^i_mu^k_mv\;dz\to\int_Q u^iu^kv\;dz=\int_0^T(u^k(t)v(\cdot,t),u^i(t))_{L^2}\;dt$$
para toda $ v\in L^2(Q)$. Tomando $v(x,t)=\theta(t)\frac{d}{dx_k}w_j^i(x)$ com $\theta\in L^2(0,T)$ e somando com respeito aos índices $i,k$, segue que<br />
$$\int_0^Tb(u_m(t),\theta(t)w_j,u_m(t))\;dx\to\int_0^Tb(u(t),\theta(t)w_j,u(t))\;dx.$$
Do Lema 2.8, obtemos<br />
$$\int_0^Tb(u_m(t),u_m(t),w_j)\theta(t)\;dt\to\int_0^Tb(u(t),u(t),w_j)\theta(t)\;dt,\quad\forall\ \theta\in L^2(0,T).$$
A última convergência vale, em particular, para todo $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e, portanto,<br />
$$b(u_m(\cdot),u_m(\cdot),w_j)\to b(u(\cdot),u(\cdot),w_j)\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T).$$
Isto conclui a prova de (2.25). Assim, fixando $j\in\mathbb{N}$ e tomando o limite em (2.24) com $m\to\infty$, concluímos que<br />
$$\frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)+\nu a(u(\cdot),w_j)+b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(0,T),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$
Multiplicando por $\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}$, segue do item (b) do Lema 2.7 (e do Teorema 2.3) que vale (2.12)$_1$.<br />
<br />
<u>CONDIÇÃO INICIAL</u><br />
<br />
Já vimos que $u$ pertence ao espaço $W$ definido em (2.26). Logo, o Teorema 2.5 implica que $u\in C([0,T];H)$ e, portanto, $u(0)$ tem sentido. De (2.21) e (2.23),<br />
\begin{align*}
\int_0^T(u_m(t),v(t))\;dt&\to \int_0^T(u(t),v(t))\;dt,\quad\forall\ v\in L^1(0,T;H),\\<br />
\int_0^T(u_m'(t),z(t))\;dt=\int_0^T\langle u_m'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ z\in L^2(0,T;V).<br />
\end{align*}
Tome $\theta\in C^1[0,T]$ tal que $\theta(0)=1$ e $\theta(T)=0$. Das últimas duas convergências com $v(t)=\theta'(t)w_j$ e $z(t)=\theta(t)w_j$ segue que<br />
\begin{align*}
\int_0^T(u_m(t),\theta'(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T(u(t),\theta'(t)w_j)\;dt=\int_0^T\langle u(t),\theta'(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N},\\<br />
\int_0^T(u'_m(t),\theta(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),\theta(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.<br />
\end{align*}
Somando as duas últimas convergências, segue da fórmula de integração por partes (2.6) que<br />
$$(u_m(0),w_j)\to (u(0),w_j),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$
Como $\operatorname{span}\{w_j\mid j\in\mathbb{N}\}$ é denso em $H$ (veja Teorema 2.3), segue de (2.14)$_2$ e da última convergência que<br />
$${(u_0}_m,v)=(u_m(0),v)\to (u(0),v),\quad\forall\ v\in H.$$
Mas, de (2.14)$_3$,<br />
$$({u_0}_m,v)\to (u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$
Logo, vale (2.12)$_2$ porque, pela unicidade do limite, as duas últimas convergências implicam que<br />
$$(u(0),v)=(u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$
<br />
<u>REGULARIDADE EXTRA</u><br />
<br />
A igualdade já provada (2.12)$_1$ significa que, para quaisquer $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e $v\in V$,<br />
$$\left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle+ \big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle+\big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle.%,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V.<br />
\tag{2.29}$$
Mas,<br />
\begin{align*}
\big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle&=\int_0^T b(u(t),u(t),v)\theta(t)\;dt<br />
=\int_0^T\langle B(u(t),u(t)),v\rangle_{V'\times V}\theta(t)\;dt\\<br />
&=\int_0^T\langle B(u(t),u(t))\theta(t),v\rangle_{V'\times V}\;dt<br />
=\left\langle \int_0^TB(u(t),u(t))\theta(t)\;dt,v\right\rangle_{V'\times V}\\<br />
&=\Big\langle \langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}.<br />
\end{align*}
Observe que na penúltima igualdade estamos usando o Lema 2.10, de acordo com o qual a integral que aparece dentro da dualidade está bem definida. Analogamente,<br />
\begin{gather*}
\left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle=\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\qquad\qquad<br />
\big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\Big\langle \langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\\<br />
\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle=\Big\langle \langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}
\end{gather*}
Logo, por (2.29),<br />
$$\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle+\langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle+\langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle-\langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}=0,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V$$
donde<br />
$$\big\langle u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot),\theta\big\rangle =0\quad\text{em}\quad V',\qquad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T).$$
Isto implica que<br />
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot)=0\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T;V').$$
Por hipótese, $f(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Já vimos que $u\in L^2(0,T;V)$ e $u'\in L^2(0,T;V')$. Como $A:V\to V'$ é limitado, segue que $Au(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Do Lema 2.10, $B(u(\cdot),u(\cdot))\in L^2(0,T;V')$. Logo, a última igualdade vale em $L^2(0,T;V')$ e pode ser reescrita como<br />
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))=f(\cdot)\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V')$$
donde<br />
$$u'(t)+\nu Au(t)+B(u(t),u(t))=f(t)\quad\text{em}\quad V',\qquad\text{q.s. em}\quad [0,T].$$
<br />
<div style="text-align: justify;">
<ul>
<li><b>Unicidade</b></li>
</ul>
</div>
Sejam $u,\tilde{u}\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ duas soluções do problema (2.12) com $u',\tilde{u}'\in L^2(0,T;V')$. Então, de (2.30), a função $w:=u-\tilde{u}$ satisfaz<br />
$$\left\{\begin{aligned}
&w'(t)+\nu Aw(t)+B(u(t), u(t))-B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t))=0\quad\text{em}\quad V',\text{ q.s. em }[0,T],\\<br />
&w(0)=0.<br />
\end{aligned}\right.\tag{2.31}$$
De (2.31)$_1$ segue que, para todo $v\in V$,<br />
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle \nu Aw(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle B(u(t), u(t)),v\rangle_{V'\times V}-\langle B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v\rangle_{V'\times V}=0$$
q.s. em $[0,T]$, ou ainda,<br />
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),v)+b(u(t), u(t)),v)-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v)=0\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$
Em particular,<br />
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))+b(u(t), u(t)),w(t))-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),w(t))=0$$
q.s. em $[0,T]$. Pelo Lema 2.8, segue que<br />
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))=-b(w(t),u(t),w(t))\leq C\|w(t)\|_{H}\|w(t)\|_{V}\|u(t)\|_V$$
q.s. em $[0,T]$. Da definição de $a(\cdot,\cdot)$ e da desigualdade de Young, segue que<br />
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu\|w(t)\|_V^2\leq \nu\|w(t)\|_{V}^2+ C\|w(t)\|_{H}^2\|u(t)\|_V^2\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$
Integrando sobre $(0,t)$ e usando (2.31)$_2$, concluímos que<br />
$$\|w(t)\|_H=\int_0^t\frac{d}{dt}\|w(s)\|_H\;ds = 2\int_0^t\langle w'(s),w(t)\rangle_{V'\times V}\;ds \leq C\int_0^t\|w(s)\|_{H}^2\|u(s)\|_V^2\;ds.$$
Pela desigualdade de Grönwall concluímos que $w=0$ e, portanto, $u=\tilde{u}$. $\square$<br />
<br />
<b>Observação 2.13.</b> Note que provamos mais do que enunciamos no Teorema 2.12. Na verdade, demonstramos o seguinte resultado:<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Teorema 2.14.</b> Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo $$\left\{\begin{aligned}&u'+\nu Au+B(u,u)=f\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V'),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.$$</blockquote>
Isto implica que<br />
$$\langle u'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(u(t),v)+b(u(t), u(t),v)=\langle f(t),v\rangle_{V'\times V}\quad\text{q.s em}\quad[0,T],\quad\forall\ v\in V$$
que também é uma versão fraca de (2.2), porém, "melhor" do que a formulação fraca original (2.5)$_1$.<br />
<br />
<b>2.5 Recuperação da pressão </b><br />
<br />
Note que a pressão $p$ que aparece no problema original (2.1) foi "perdida" no processo da formulação fraca. Nesta seção vamos "recuperá-la", também em um sentido fraco - diferente, porém, daquele que foi considerado anteriormente. Especificamente, vamos "recuperá-la" no sentido das distribuições sobre $Q:=\Omega\times (0,T)$.<br />
<br />
<b>Observação 2.15.</b> No que segue, o valor de uma distribuição $g\in\mathcal{D}'(\Omega)$ em $v\in\mathcal{D}(\Omega)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}$. Analogamente, o valor de $g\in\mathcal{D}'(Q)$ em $v\in\mathcal{D}(Q)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}$ e o valor de $g\in\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ em $v\in\mathcal{D}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))}$.<br />
<br />
<b>Observação 2.16. </b>Pelo Teorema de Extensão de Hahn-Banach, todo funcional $g\in V'$ pode ser visto como um elemento de $([H_0^1(\Omega)]^2)'\cong [(H_0^1(\Omega))']^2=[H^{-1}(\Omega)]^2$ satisfazendo $\|g\|_{V'}=\|g\|_{[{H^{-1}(\Omega)]^2}}$ e<br />
$$\langle g,v\rangle_{V'\times V}=\langle g,v\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)},\quad\forall\ v\in V.\tag{2.33}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Observação 2.17.</b> Seja $v\in L^2(0,T;L^2(\Omega))$. Como $L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(\Omega\times (0,T))\subset\mathcal{D}'(Q)$, a função vetorial $v$ pode ser vista como uma distribuição em $\mathcal{D}'(Q)$, especificamente, a distribuição definida pela função escalar $(x,t)\mapsto [v(t)](x)$. Assim, para toda $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$,$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_{Q}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dz=\int_0^T\int_{\Omega}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dx\;dt=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt.$$<b> </b>
<br />
<b>Observação 2.18.</b> Seja $v\in C([0,T];H^{-1}(\Omega))$ tal que $v'\in L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))$. A função $v$ pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por<br />
$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q).$$
Seja $\partial_t v$ a derivada distribucional de $v$ com respeito a $t$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Para quaisquer $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ e $\theta\in \mathcal{D}(0,T)$,<br />
\begin{align*}
\langle \partial_tv,\phi\theta\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
&=-\langle v,\phi\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
=-\int_0^T\langle v(t), \phi\theta'(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt<br />
=-\int_0^T\langle v(t)\theta'(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\\<br />
&=-\left\langle\int_0^T v(t)\theta'(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}
=-\left\langle\langle v,\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\<br />
&=\left\langle\langle v',\theta\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}
=\left\langle\int_0^T v'(t)\theta(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\<br />
&=\int_0^T \langle v'(t)\theta(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt<br />
=\int_0^T \langle v'(t), \phi\theta(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt<br />
\end{align*}
donde<br />
$$\langle \partial_tv,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T \langle v'(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\varphi\in\mathcal{D}(Q)$$
porque $\operatorname{span}\{\phi\theta\in \mathcal{D}(Q) \mid\phi\in \mathcal{D}(\Omega),\;\theta\in \mathcal{D}(0,T)\}$ é denso em $\mathcal{D}(Q)$ (ver Teorema 39.2, p. 409, em [18]. Logo, a função $v'$ também pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por<br />
$$\langle v',\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v'(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q)$$
e satisfazendo $v'=\partial_t v$ em $\mathcal{D}'(Q)$.<br />
<br />
Agora, defina $U,F,\beta:[0,T]\to V'$ por<br />
$$U(t)=\int_0^tu(s)\;ds,\quad F(t)=\int_0^tf(s)\;ds,\quad \beta(t)=\int_0^t B(u(s),u(s))\;ds.$$
Sabemos que $u,f,B\in L^2(0,T;V')$. Logo, $U$, $F$ e $\beta$ são absolutamente contínuas. Em particular,<br />
$$ U,F,\beta\in C([0,T]; V')\tag{2.35}$$
Integrando (2.32)$_1$ concluímos que, para todo $t\in[0,T]$,<br />
$$u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)=\int_0^tu'(s)\;ds+\nu \int_0^tAu(s)\;ds+\beta(t)=F(t)\text{ em } V'.\tag{2.36}$$
Defina $S:[0,T]\to V'$ por $S(t)=u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)-F(t)$. De (2.35) e da Observação 2.16,<br />
$$S\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2).\tag{2.37}$$
De (2.33) e de (2.36),<br />
$$\langle S(t),v\rangle _{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=\langle S(t),v\rangle _{V'\times V}=\langle 0,v\rangle _{V'\times V}=0,\quad \forall\ v\in V,\; t\in[0,T].$$
Resulta do Lema 2.11 que, para cada $t\in[0,T]$, existe $P(t)\in L^2(\Omega)$ tal que $S(t)=\nabla (P(t))$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$. Escrevendo $S(t)=(S_1(t),S_2(t))$, obtemos<br />
$$S_i(t)=\partial_{x_i}(P(t))\quad\text{em}\quad H^{-1}(\Omega),\tag{2.38}$$
onde $\partial_{x_i}P(t)$ representa a derivada distribucional de $P(t)$ com respeito a $x_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Além disso, por (2.37), $\nabla (P(\cdot))\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2)$ e isto implica que $P\in C([0,T];L^2(\Omega))$ por causa da estimativa (2.11). Assim, a função $P$ (pela Observação 2.17) e a função $S_i$ (pela Observação 2.18) podem ser vistas como elementos de $\mathcal{D'}(Q)$ satisfazendo<br />
\begin{align*}&\langle \partial_{x_i} P,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
=\;\langle P, \varphi_{x_i}\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
<br />
=-\int_0^T\langle P(t), \varphi_{x_i}(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt<br />
=\int_0^T\langle \partial_{x_i} (P(t)), \varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt\\<br />
&\hspace{2.08cm}\overset{(2.38)}{=}\int_0^T\langle S_i(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt<br />
=\langle S_i,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}\end{align*}
para toda $\phi\in \mathcal{D}(Q)$. Isto mostra que $\partial_{x_i}P=S_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Derivando ambos os membros com respeito $t$ no sentido distribucional de $\mathcal{D}'(Q)$, segue da segunda parte da Observação 2.18 que<br />
$$\partial_{x_i} \partial_tP=\partial_t\partial_{x_i}P=\partial_tS_i=S_i'\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(Q).$$
Definindo $p=-\partial_t P$, concluímos que<br />
$$-\nabla p =(\partial_{x_1} \partial_tP,\partial_{x_2} \partial_tP)=(S_1',S_2')=S'=u'+\nu Au+B(u,u)-f\quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$
Isto prova o seguinte resultado, que nos dá uma versão fraca da equação original (2.1)$_1$:<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Teorema 2.19.</b> Existe uma distribuição $p\in\mathcal{D}'(Q)$ tal que a função $u$ dada pelo Teorema 2.14 satisfaz<br />
$$u'+\nu Au+B(u,u)=f-\nabla p \quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">Notas</span></b> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(i) </b>De acordo com [17], p. 280.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(ii)</b> A palavra "completas" refere-se ao fato de que não estamos
considerando as equações estacionárias e nem linearizadas; estamos
considerando as equações de evolução não lineares. O caso estacionário
linearizado pode ser encontrado no Capítulo 1 de [17] e no
Capítulo XIX de [7]. O Capítulo XIX de [7]
também contém o caso não estacionário linearizado. E o Capítulo 2 de [17] contém o caso estacionário não linearizado.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(iii)</b> Prêmio oferecido pelo The Clay Mathematics Institute. Os enunciados dos
problemas foram extraídos da <a href="http://www.claymath.org/millennium-problems/navier/%E2/%80/%93stokes-equation" target="_blank">página oficial</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(iv)</b> Esta regularidade é utilizada nas integrações por partes feitas neste parágrafo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>(v)</b> De acordo com [16], p. 35, é natural procurar uma solução com
essa regularidade porque, do ponto de vista físico, a condição $u\in
L^\infty(0,T; H)$ expressa o fato de que a energia cinética do sistema
permanece limitada e a condição $u\in L^2(0,T;V)$ expressa o fato de que
a energia perdida para a viscosidade é finita.<br />
<b>(vi)</b> Estas caracterizações de $V$ e $H$ não serão utilizadas explicitamente na próxima seção.<br />
<b>(vii)</b> Pela regularidade de $u'$, o termo $\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)$ pode ser escrito como $\langle u'(\cdot),v\rangle_{V'\times V}$.<br />
<b>(viii)</b> Dizer que $T_m\to T$ em $\mathcal{D}'(0,T)$ significa que $\langle
T_m,\theta\rangle\to \langle T,\theta\rangle$, para toda
$\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ (ver página 464 de [5] ou seção
1.19 em [8] ou parágrafo 6.16 em ]14]).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Referências</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>[1]</b> R. A. Adams and J. J. F. Fournier. <i>Sobolev Spaces</i>. Academic Press, Amsterdam, 2003.<br />
<b>[2]</b> F. Boyer and P. Fabrie. <i>Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models.</i> Springer, New York, NY, 2013.<br />
<b>[3]</b> H. Brezis. <i>Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations.</i> Springer, New York, NY, 2011.<br />
<b>[4]</b> M. M. Cavalcanti and V. N. D. Cavalcanti. <i>Introdução às Equações Diferenciais Parciais.</i> UEM/DMA, Maringá, PR, 2010.<br />
<b>[5]</b> R. Dautray and J-L Lions. <i>Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 2 - Functional and Variational Methods</i>. Springer-Verlag, Berlin, 1988.<br />
<b>[6]</b> R. Dautray and J-L Lions. <i>Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 5 - Evolution Problems I.</i> Springer-Verlag, Berlin, 2000.<br />
<b>[7]</b> R. Dautray and J-L Lions. <i>Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology - Volume 6 - Evolution Problems II.</i> Springer-Verlag, Berlin, 2000.<br />
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<b>[9] </b>M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, and V. Zizler. <i>Banach Space Theory - The Basis for Linear and Nonlinear Analysis.</i> Springer, New York, NY, 2011.<br />
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<b>[11]</b> J. L. Lions. <i>Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires.</i> Dunod, Paris, 1969.<br />
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<b>[13]</b> T. Roubíček. <i>Nonlinear Partial Differential Equations with Applications</i>. Birkhäuser Verlag, Berlin, 2005.<br />
<b>[14]</b> W. Rudin. <i>Functional analysis</i>. McGraw-Hill, New York, 1991.<br />
<b>[15]</b> H. Sohr. <i>The Navier-Stokes Equations: An Elementary Functional Analytic Approach.</i> Birkhäuser Verlag, Basel, 2001.<br />
<b>[16]</b> L. Tartar. <i>Topics in Nonlinear Analysis</i> (retirage). Public. Math. d’Orsay, Université Paris-Sud, Paris, 1982.<br />
<b>[17]</b> R. Temam. <i>Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis.</i> North-Holland Publishing Company, Oxford, 1977.<br />
<b>[18]</b> F. Treves. <i>Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels</i>. Academic Press, San Diego, 1967.</div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-29680958608781528362017-01-27T15:14:00.000-02:002017-02-10T12:10:50.270-02:00Uma integral difícil<div style="text-align: justify;">
<br />
<a name='more'></a>Seja $\Phi$ a <i>solução fundamental da equação do calor</i>, dada por</div>
<div style="text-align: justify;">
$$\Phi(x,t)=\left\{\begin{align*}<br />
\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\mathrm{e}^{\frac{-|x|^2}{4t}},&\qquad x\in\mathbb{R}^n,\; t>0\\<br />
0,& \qquad x\in\mathbb{R}^n,\; t<0<br />
\end{align*}\right.$$ </div>
<div style="text-align: justify;">
Fixados $x\in\mathbb{R}^n$ e $t\in\mathbb{R}$, defina</div>
<div style="text-align: justify;">
$$E(x,t;r)=\left\{(y,s)\in\mathbb{R}^{n+1}\;\Big |\; s\leq 0,\;\Phi(x-y,t-s)\geq \frac{1}{r^n}\right\}.$$ </div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
<b>Problema:</b> Calcular a integral múltipla abaixo. $$\iint_{E(0,0;1)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dyds.\tag{$*$}$$ </div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Observação:</b> Para o caso $n=1$, o problema se reduz a calcular a integral dupla $\iint_{\mathcal{R}}\frac{x^2}{y^2}\;dxdy$, onde $\mathcal{R}$ representa a região<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt=""Bola do Calor" ("Heat Ball") para o caso n=1" border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/-nXGKnvm-29Q/WI8YNKLJSuI/AAAAAAAAAjY/dvWanrKf39wIhJ-vwek369-A0mUP_aIzQCLcB/s1600/bola%2Bdo%2Bcalor.png" title=""Bola do Calor" ("Heat Ball") para o caso n=1" /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
definida por $\mathcal{R}=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -\tfrac{1}{4\pi}\leq y\leq 0,\;x^2\leq 2y\ln(-4\pi y)\right\}.$</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Origem do Problema: </b>O livro <i>Partial Differential Equations</i> de L. C. Evans, na Seção 2.3.2 (que trata sobre a equação do calor) utiliza (no meio da demonstração do Teorema 3) o fato de que a integral $(*)$ vale exatamente $4$. Apesar deste resultado não ser óbvio e nem fácil de obter, o livro não traz sequer uma palavra sobre como efetuar o cômputo desta integral. Nesta postagem apresentaremos o referido cômputo, que resulta de uma discussão ocorrida em 2013 no fórum <a href="http://math.stackexchange.com/" target="_blank">Mathematics Stack Exchange</a>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Solução do Problema: </b>Para $x\in\mathbb{R}^n$ e $t>0$, temos</div>
<div style="text-align: justify;">
$$\Phi(x,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\mathrm{e}^{\frac{-|x|^2}{4t}}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Portanto, para $y\in\mathbb{R}^n$ e $s<0$,</div>
$$\begin{align*}<br />
\Phi(-y,-s)\geq 1\quad\Longleftrightarrow& \quad\frac{1}{(-4\pi s)^{n/2}}\mathrm{e}^{\frac{|y|^2}{4s}}\geq1\\\\<br />
\Longleftrightarrow& \quad(-4\pi s)^{n/2}\leq\mathrm{e}^{\frac{|y|^2}{4s}}\\\\<br />
\Longrightarrow& \quad(-4\pi s)^{n/2}\leq 1\\\\<br />
\Longleftrightarrow& \quad s\geq -\frac{1}{4\pi}<br />
\end{align*}$$<br />
e<br />
$$\begin{align*}<br />
\Phi(-y,-s)\geq 1\quad\Longleftrightarrow& \quad\ln\left(\frac{1}{(-4\pi s)^{n/2}}\mathrm{e}^{\frac{|y|^2}{4s}}\right)\geq0\\\\<br />
\Longleftrightarrow& \quad(-n/2)\ln\left(-4\pi s\right)+\frac{|y|^2}{4s}\geq0\\\\<br />
\Longleftrightarrow& \quad|y|^2\leq 2ns\ln(-4\pi s)<br />
\end{align*}$$<br />
Isto implica que<br />
$$\begin{align*}E(0,0;1)&=\{(y,s)\in\mathbb{R}^{n+1}\mid s\leq 0,\;\Phi(-y,-s)\geq 1\}\\\\<br />
&=\left\{(y,s)\in\mathbb{R}^{n+1}\;\Big|\; -\frac{1}{4\pi}\leq s\leq 0,\;|y|^2\leq 2ns\ln(-4\pi s)\right\}\end{align*}$$<br />
Assim,<br />
$$\begin{align*}<br />
\iint_{E(0,0;1)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dyds&=\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\int_{|y|^2\leq2ns\ln(-4\pi s)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dyds\\\\<br />
&=\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\int_0^{\sqrt{2ns\ln(-4\pi s)}}\int_{\partial B(0,r)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dS(y)drds \quad\text{(coordenadas polares)}\\\\<br />
&=\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\int_0^{\sqrt{2ns\ln(-4\pi s)}}\int_{\partial B(0,1)}\frac{|rw|^2}{s^2}r^{n-1}\;dS(w)drds \quad\text{(mudança $w=y/r$)}\\\\<br />
&=\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\int_0^{\sqrt{2ns\ln(-4\pi s)}}\int_{\partial B(0,1)}\frac{r^{n+1}}{s^2}\;dS(w)drds\\\\<br />
&=\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\int_0^{\sqrt{2ns\ln(-4\pi s)}}\frac{r^{n+1}}{s^2}drds\\\\<br />
&=\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\frac{(2ns\ln(-4\pi s))^{(n+2)/2}}{(n+2)s^2}ds\\\\<br />
&=\frac{(2n)^{(n+2)/2}}{(n+2)}\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\frac{(s\ln(-4\pi s))^{(n+2)/2}}{s^2}ds<br />
\end{align*}$$<br />
Calculando esta última integral, obtemos<br />
$$\begin{align*}<br />
\int_{-\frac{1}{4\pi}}^0\frac{(s\ln(-4\pi s))^{(n+2)/2}}{s^2}ds&=\int_{1}^0\frac{\left((-\frac{x}{4\pi})\ln(x)\right)^{(n+2)/2}}{(-\frac{x}{4\pi})^2}\left(-\frac{1}{4\pi}\right)dx\quad\text{(mudança $x=-4\pi s$)}\\\\<br />
&=\int_{0}^\infty\frac{\left(\frac{\mathrm{e}^{-z}}{4\pi}z\right)^{(n+2)/2}}{(-\frac{\mathrm{e}^{-z}}{4\pi})^2}\left(-\frac{1}{4\pi}\right)(-\mathrm{e}^{-z})\;dz\quad\text{(mudança $z=-\ln(x)$)}\\\\<br />
&=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}}\int_{0}^\infty\mathrm{e}^{-nz/2}z^{(n+2)/2}\;dz\\\\<br />
&=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}}\int_{0}^\infty\mathrm{e}^{-w}\left(\frac{2w}{n}\right)^{(n+2)/2}\frac{2}{n}\;dw\quad\text{(mudança $w=nz/2$)}\\\\<br />
&=\frac{1}{(4\pi)^{n/2}}\left(\frac{2}{n}\right)^{n/2+2}\int_{0}^\infty\mathrm{e}^{-w}w^{n/2+1}\;dw\\\\<br />
&=\frac{1}{2^{n}\pi^{n/2}2^{-n/2-2}n^{n/2+2}}\int_{0}^\infty\mathrm{e}^{-w}w^{n/2+2-1}\;dw\\\\<br />
&=\frac{1}{\pi^{n/2}2^{n/2-2}n^{n/2+2}}\Gamma\left(2+\frac{n}{2}\right)\quad\text{(definição da função gama)}<br />
\end{align*}$$<br />
Deste modo,<br />
$$\begin{align*}<br />
\iint_{E(0,0;1)}\frac{|y|^2}{s^2}\;dyds&=\frac{(2n)^{(n+2)/2}}{(n+2)}\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)\frac{1}{\pi^{n/2}2^{n/2-2}n^{n/2+2}}\Gamma\left(2+\frac{n}{2}\right)\\\\<br />
&=\frac{8\;\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)}{n(n+2)\pi^{n/2}}\Gamma\left(2+\frac{n}{2}\right)\\\\<br />
&=\frac{8\;\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)}{n(n+2)\pi^{n/2}}\left(1+\frac{n}{2}\right)\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)\quad\text{(propriedade $\Gamma(t+1)=t\Gamma(t)$)}\\\\<br />
&=\frac{4\;\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)}{n\pi^{n/2}}\Gamma\left(1+\frac{n}{2}\right)\\\\<br />
&=\frac{4\;\text{med}\big(\partial B(0,1)\big)}{n\pi^{n/2}}\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)\quad\text{(mesma propriedade anterior)}\\\\<br />
&=4\ \text{med}\big(\partial B(0,1)\big)\frac{\Gamma\left(\tfrac{n}{2}\right)}{2\pi^{n/2}}\\\\<br />
&=4\quad \text{(propriedade med$(\partial B(0,1))=\tfrac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$)}<br />
\end{align*}$$<b> </b><br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Nota:</b> A definição e as propriedades utilizadas da função gama podem ser encontradas nas páginas 7 e 8 da segunda edição do livro <i>Introduction to partial differential equations</i> de G. B. Folland.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Referências: <a href="http://math.stackexchange.com/questions/526997/how-to-prove-that-iint-fracy2s2-dy-ds-4" target="_blank">aqui</a> e <a href="http://math.stackexchange.com/questions/527791/how-can-i-calculate-this-integral-by-hand" target="_blank">aqui</a>.</span></div>
Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-73709935468203015652015-10-15T10:15:00.001-03:002016-07-16T22:13:13.298-03:00Dia dos Professores 2015<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"></span></i><br />
<a name='more'></a><i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">E aí dizem que ser professor é uma vocação, como um sacerdócio.</span></i></div>
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Que o professor é feliz por ser abnegado, é feliz por se sacrificar.</span></i></div>
<div style="text-align: right;">
<i><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Fala sério. Isso não é um elogio. Isso é um escárnio.</span></i></div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">(Prof. André Azevedo da Fonseca, no vídeo abaixo)</span></div>
<div style="text-align: right;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para comemorar o Dia do Professor, recomendamos o vídeo abaixo, onde o <a href="https://www.youtube.com/channel/UCKKJpBveT8vWVNfLQ-MvZMg" target="_blank">Prof. André Azevedo da Fonseca</a> discorre de forma bastante esclarecedora sobre alguns pontos da realidade desta importante profissão.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/0AJW9GAOKKc/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/0AJW9GAOKKc?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
Unknownnoreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-32664157660649101542014-05-19T17:07:00.003-03:002014-05-19T17:11:39.856-03:00Curiosidade: Google homenageia cubo mágico<div style="text-align: justify;">
Como todo usuário de internet provavelmente já percebeu, hoje (19/05/2014) o site Google homenageou o "<a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2011/03/como-solucionar-o-cubo-magico-passo.html?utm_source=BP_recent" target="_blank">cubo de Rubik</a>" (também chamado de "cubo mágico") através de seu Doodle.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-tZ__JFckXm4/U3piqRKY3UI/AAAAAAAAEQk/p_uXjC4MZMw/s1600/cubo1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Google homenageia cubo mágico através do seu Doodle" border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-tZ__JFckXm4/U3piqRKY3UI/AAAAAAAAEQk/p_uXjC4MZMw/s1600/cubo1.png" title="Google homenageia cubo mágico através do seu Doodle" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ao clicar sobre o Doodle (que consiste num cubo mágico animado), é possível brincar de forma interativa com o cubo. No canto inferior direito há instruções e no canto inferior esquerdo há uma contagem dos movimentos que a pessoa executa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-4_eM7VdK8ZE/U3piyLCrU9I/AAAAAAAAEQs/LzjTpDPBT_U/s1600/cubo2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Doodle do Google traz um cubo mágico iterativo" border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-4_eM7VdK8ZE/U3piyLCrU9I/AAAAAAAAEQs/LzjTpDPBT_U/s1600/cubo2.png" title="Doodle do Google traz um cubo mágico iterativo" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A curiosidade interessante é que o indivíduo que conseguir montar o cubo terá acesso a uma página especial, que contém as assinaturas de Lawrence Page (um dos fundadores do Google) e de Ernő Rubik (criador do cubo mágico). Além disso, a página mostra o tempo gasto e número total de movimentos realizados. No meu caso, foram 199 movimentos e 16 minutos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-dxKSoiibx0k/U3pjK2c_FXI/AAAAAAAAEQ0/v6u-qAANluk/s1600/cubo3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Página mostra tempo gasto e número de movimentos usados para montar o cubo" border="0" src="http://4.bp.blogspot.com/-dxKSoiibx0k/U3pjK2c_FXI/AAAAAAAAEQ0/v6u-qAANluk/s1600/cubo3.png" height="376" title="Página mostra tempo gasto e número de movimentos usados para montar o cubo" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Para quem quiser aprender a montar o cubo, o melhor vídeo que eu conheço é <a href="https://www.youtube.com/watch?v=1AK1j9zTPqI" target="_blank">este</a>. A propósito, é este o método que eu comecei a transcrever e publicar no blog (mas até agora não terminei).</div>
Unknownnoreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-63853396091937228172014-04-07T15:11:00.001-03:002014-04-07T15:15:52.152-03:00EDO linear de primeira ordem: exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 2<div style="text-align: justify;">
Atendendo ao pedido de um leitor, apresentarei solução para o seguinte<br />
<br />
<b>Problema:</b> resolva a seguinte EDO linear:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x^2\frac{dy}{dx}+2xy=e^x$$</div>
<br />
<b>Solução:</b><br />
<b><br /></b>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Usarei a terminologia e a notação empregadas <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2013/02/edo-linear-de-primeira-ordem-exercicios_20.html" target="_blank">nesta postagem</a>. Portanto, para melhor entender o que segue abaixo, é conveniente que você a leia.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Escrevendo $$y'$$ em vez de $$dy/dx$$, obtemos</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
$$x^2y'+2xy=e^x\;\;\;(*)$$</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;">Note que, pela regra do produto,</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\frac{d}{dx}[x^2y]=x^2y'+2xy$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Logo, substituindo isso na equação $$(*)$$, resulta que<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\frac{d}{dx}[x^2y]=e^x$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Assim, integrando ambos os lados, concluí-se que</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
$$\int \frac{d}{dx}[x^2y]=\int e^x\;dx$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$x^2y=e^x+C$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Isolando o $$y$$, encontramos a solução procurada:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$y=x^{-2}(e^x+C)$$</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Observação: </b>a resolução acima é um pouco mais curta do que aquilo que, em geral, se pode esperar para uma EDO linear de primeira ordem. Neste caso, a equação já está num formato "bom", o qual nos permite aplicar a regra do produto de imediato. Geralmente, devemos fazer algumas manipulações na equação antes de chegar nesta etapa. Se, neste caso, não tivéssemos percebido que poderíamos aplicar a regra do produto sem mais delongas, provavelmente procederíamos do seguinte modo:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Multiplicaríamos ambos os lados da equação $$(*)$$ por $$x^{-2}$$, obtendo a "forma padrão" da equação:</div>
<div style="text-align: center;">
$$y'+\frac{2}{x}y=x^{-2}e^x,$$</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;">com</span></div>
<div style="text-align: center;">
$$Q(x)=x^{-2}e^x$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;">e</span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
$$P(x)=\frac{2}{x}.$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<span style="text-align: center;">- Calcularíamos a integral da função $$P$$:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$\int P(x)\;dx=\int\frac{2}{x}\;dx=2\ln|x|=\ln(|x|^2)=\ln x^2$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<span style="text-align: center;">- Determinaríamos o fator integrante:</span><br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{\ln x^2}=x^2$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;">- Multiplicaríamos ambos os lados da equação (na forma padrão) pelo fator integrante:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
$$\left(y'+\frac{2}{x}y\right)x^2=\left(x^{-2}e^x\right)x^2$$</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
$$x^2y'+2xy=e^x$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;">Pelo "roteiro" do método, o próximo passo seria utilizar a regra do produto (precisamente como fizemos no início da solução). Mas observe que, depois de todo aquela manipulação, </span><span style="text-align: center;">chegamos exatamente na equação com que começamos. Logo, toda a manipulação é desnecessária de maneira que podemos abreviar a resolução ("pulando" a parte do fator integrante).</span></div>
<br />
<span style="text-align: center;"><span style="font-family: Times, Times New Roman, serif;">*Erros podem ser relatados <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/p/contato.html" target="_blank">aqui</a>.</span></span>Unknownnoreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-19973696776605611332014-03-14T00:37:00.000-03:002015-12-11T09:42:21.251-02:00Sobre a irracionalidade da soma e do produto dos números "e" e "pi".<div style="text-align: justify;">
</div>
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i></i></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i>Existe, se eu não estou enganado, um mundo inteiro que é a totalidade das verdades matemáticas, ao qual temos acesso somente em nossas mentes, assim como existe um mundo da realidade física, tanto um como o outro é independente de nós mesmos e são ambos de criação divina.</i></span><div>
<div style="text-align: right;">
<span style="font-family: Times, Times New Roman, serif;">(Charles Hermite)</span></div>
<br />
<div style="text-align: right;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Um número $x$ é chamado de "algébrico" quando ele é solução de uma equação da forma</div>
<div style="text-align: center;">
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_2x^2+a_1x+a_0=0,$$</div>
<div style="text-align: justify;">
onde os coeficientes $a_n$, $a_{n-1}$, ..., $a_2$, $a_1$ e $a_0$ são todos racionais. Por exemplo, o número $7$ é um número algébrico, pois ele é uma das soluções da equação $x^2-9x+14=0$. Embora as demonstrações não sejam simples, é um fato conhecido que os números $\pi$ e $e$ <b>não</b> são algébricos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Um outro fato também conhecido, é que os números $\pi$ e $e$ <b>não</b> são racionais. Mas, o que dizer dos números $\pi+e$ e $\pi e$? Será que algum deles é racional? Será que são ambos irracionais? Na verdade, até o presente momento, este é um problema aberto da matemática. Isto significa que nenhum matemático, até hoje, foi capaz de responder a esta pergunta. Entretanto, é possível obter uma informação bem curiosa sobre este assunto, a qual apresento a seguir para comemorarmos o DIA DO PI.</div>
<blockquote class="tr_bq" style="text-align: justify;">
<b>Proposição:</b> os números $\pi+e$ e $\pi e$ não são ambos racionais.</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<i>Prova:</i> suponha que a proposição seja falsa. Então, a equação</div>
<div style="text-align: center;">
$$x^2-(\pi+e)x+\pi e=0\tag{$*$}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
possui todos os coeficientes racionais. Seque-se que as suas soluções <span style="background-color: white;">são números algébricos. ABSURDO! Logo</span> a proposição é verdadeira e, portanto, no máximo um dos números $\pi+e$ e $\pi e$ é racional.</div>
<div style="text-align: right;">
$\square$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>Pergunta para o leitor:</b> porque dizer que "as raízes da equação $(*)$ são números algébricos" é um absurdo? O primeiro que responder não ganhará nada. Pelo contrário, ganhará alguma coisa: os parabéns!<br />
<br />
<a href="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/G3W6ONGXQJQuhpwNXHcmlvK1aiQZEmFQHI3iB7HUvhSaM8cH0lzaO-xN0NPcOWi_t2Wqhn0Z7tj29F5v4hLBIJLivgJVx03lAKnfKOsGK15sg71u4zE" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/BigPictures/Hermite_4.jpeg" height="200" width="158" /></a>Note que a proposição apresentada não exclui a possibilidade de $\pi+e$ e $\pi e$ serem ambos irracionais (e nem garante que um deles seja racional).</div>
<div>
<br />
<i>Observações:</i><br />
<br />
- A primeira prova de que $e$ não é algébrico foi publicada em 1873 e é devida ao matemático francês Charles Hermite (retrato da direita);<br />
<br />
- A primeira prova de que $\pi$ não é algébrico foi publicada em 1882 e é devida ao matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann (retrato da esquerda);<br />
<br />
<a href="https://lh6.googleusercontent.com/proxy/gl-tOQ5apFDjoEnzzxlaXlPvrdPQRO9lWOvnMWQVwCVTUdn9wDVJlxtjox6tQOpfwWEfICkL-eRm8Y-J_29TOEt7H2QcUUwSlflDFqn7IaMWky8v5js" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/BigPictures/Lindemann.jpeg" height="200" width="164" /></a>- Uma prova da <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2012/12/uma-prova-de-que-e-irracional_20.html" target="_blank">irracionalidade de <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">π</span></a> pode ser vista aqui no BLOG MANTHANO;<br />
<br />
- É possível que a soma de dois números irracionais seja racional, pois os números $1+\sqrt{2}$ e $1-\sqrt{2}$ são ambos irracionais, mas $$(1+\sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2;$$<br />
- É possível que o produto de dois números irracionais seja racional, pois $$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=-1;$$<br />
- Não é possível que a soma de dois números racionais seja irracional, pois<br />
$$\frac{a}{b}+\frac{p}{q}=\frac{aq+bp}{bq};$$<br />
- Não é possível que a soma de um racional com um irracional seja racional. Com efeito, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;<br />
<br />
- Não é possível que o produto de dois números racionais seja irracional, pois<br />
$$\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}=\frac{ap}{bq};$$<br />
- Não é possível que o produto de um racional com um irracional seja racional. De fato, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Referências: <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite" target="_blank">Wikipedia</a>,</span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> </span><a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi%2Be+is+irrational" style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;" target="_blank">WolframAlpha</a>,<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> </span><a href="http://mathforum.org/library/drmath/view/51617.html" style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;" target="_blank">Ask Dr. Math</a>, <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">e </span><a href="http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Lindemann.html" style="font-family: Times, 'Times New Roman', serif;" target="_blank">MacTutor</a><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Erros podem ser relatados <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/p/contato.html" target="_blank">aqui</a>.</span></div>
</div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fwww-history.mcs.st-andrews.ac.uk%2FBigPictures%2FLindemann.jpeg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh6.googleusercontent.com/proxy/gl-tOQ5apFDjoEnzzxlaXlPvrdPQRO9lWOvnMWQVwCVTUdn9wDVJlxtjox6tQOpfwWEfICkL-eRm8Y-J_29TOEt7H2QcUUwSlflDFqn7IaMWky8v5js" --><!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fwww-gap.dcs.st-and.ac.uk%2Fhistory%2FBigPictures%2FHermite_4.jpeg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh3.googleusercontent.com/proxy/G3W6ONGXQJQuhpwNXHcmlvK1aiQZEmFQHI3iB7HUvhSaM8cH0lzaO-xN0NPcOWi_t2Wqhn0Z7tj29F5v4hLBIJLivgJVx03lAKnfKOsGK15sg71u4zE" -->Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-25524096457360609142014-03-10T18:55:00.003-03:002014-03-11T00:22:39.257-03:00Prêmio Wolf de Matemática 2014<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-oI9NwLlItpQ/Tw4N7wgWlrI/AAAAAAAAAiQ/ZyOKjoQmOso/s1600/1.png" /></div>
<span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span><span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>O matemático Peter Sarnak, do Instituto de Estudos Avançados de Princeton, </i></span><span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>ganhou o Prêmio Wolf de 2014. </i></span><i style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">O prêmio lhe foi concedido pelas contribuições em análise, geometria, </i><span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>teoria dos números e combinatória.</i></span><br />
<span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i><br /></i></span>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><span style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="http://www.ias.edu/files/images/faculty/xsarnak.jpg.pagespeed.ic.x8NeLqUenS.jpg" /></span></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Peter Sarnak</td></tr>
</tbody></table>
<i><span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">O anúncio está </span><a href="http://www.wolffund.org.il/index.php?dir=site&page=winners&cs=793" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;" target="_blank">aqui</a><span style="color: #444444; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">.</span></i><br />
<div style="text-align: right;">
<b><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://manthanos.blogspot.com.br/2013/02/premio-wolf-de-matematica-2013.html" target="_blank">[leia sobre os ganhadores de 201<u>3</u>]</a></span></b></div>
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: right;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #444444; font-family: Times, 'Times New Roman', serif;">Referência: transcrito do </span><span style="color: #444444; font-family: Times, Times New Roman, serif;">Noticiário Eletrônico da Sociedade Brasileira de Matemática, n</span><span style="color: #444444; font-family: Times, Times New Roman, serif;">úmero 48</span><span style="color: #444444; font-family: Times, 'Times New Roman', serif;">. Foto extraída <a href="http://www.ias.edu/people/faculty-and-emeriti/sarnak" target="_blank">daqui</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #444444; font-family: Times, 'Times New Roman', serif;">Erros podem ser relatados <a href="http://www.blogger.com/"><span id="goog_1774023432"></span>aqui<span id="goog_1774023433"></span></a>.</span></div>
Unknownnoreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-8246677717679865855.post-18328202384559241982013-12-22T05:21:00.001-02:002015-12-06T08:33:21.413-02:00Prova geométrica do TFC<div style="text-align: justify;">
<br />
<a name='more'></a><br />
O leitor que já estudou Cálculo Diferencial e Integral provavelmente concorda que, no estudo desta disciplina, as interpretações geométricas de vários conceitos desempenham um papel bastante significativo. É de se notar, entretanto, que na hora de se estudar a prova do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), o apelo geométrico parece se desvanecer e a abordagem que geralmente se vê é essencialmente analítica. Mas será que existe algum tipo de interpretação geométrica para a demonstração do TFC? Tal interpretação não só existe como consiste numa das primeiras provas já publicadas deste importante resultado.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esta postagem tem, então, o objetivo de expor uma demonstração geométrica para o 1º Teorema Fundamental do Cálculo (aqui, "1º teorema" refere-se à parte de acordo com a qual "a derivada da integral de uma função é a própria função").</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Notadamente, apresentaremos o argumento devido ao matemático inglês Isaac Barrow (1630-1677) publicado em 1669 na sua obra <i>Geometrical Lectures </i>(Proposição 11, Lecture X).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Isaac Barrow" border="0" src="http://www.wolframcdn.com/waimage/hset028/e00/e003b29863255f58545cfb16b38c7c06_v001s.jpg?z=1&w=126&h=150" title="Isaac Barrow" /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<b>Isaac Barrow</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Cabe notar que, nos livros de cálculo, geralmente o TFC versa sobre uma função contínua $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ (na realidade, bastaria $f$ ser integrável, conforme se vê nos curso de análise). Porém, na nossa exposição, exigiremos (assim como Barrow o fez) um pouco além da continuidade de $f$. Especificamente, suporemos $f$ positiva e crescente (o leitor notará que o mesmo argumento vale para uma função negativa, mas não vale para os casos em que $f$ se anula nalgum ponto).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Seja, então, $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, positiva e crescente. Considere a função $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ dada por</div>
<div style="text-align: center;">
$$F(x)=\int_a^x f(s) ds.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Geometricamente, $F(x)$ representa a área da região limitada pelo gráfico de $f$ e pelo eixo das abscissas entre os pontos $a$ e $x$ (veja figura 1). Para fins de ilustração, suporemos $a>0$ e $F(x)>f(x)$ para todo $x\in[a,b]$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-tL1oKa8oE1I/UrZ_TNidpOI/AAAAAAAAEO8/hLmGib06r_A/s1600/TFC+fig+1.png" title="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Figura 1: geometricamente $F(x)$ corresponde à área da região sombreada.</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Marquemos o ponto $t=x-\tfrac{F(x)}{f(x)}$ sobre o eixo das abscissas e tracemos a reta $R$ que intersecta o eixo das abscissas no ponto $ t $ e passa pelo ponto $(x,F(x))$ (veja figura 2). Note que $t<x$, (mas não, necessariamente, $t\geq a$).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" border="0" src="http://2.bp.blogspot.com/-N9RSdzKBBE4/UraAVWe6ZlI/AAAAAAAAEPI/daFFRo0X0nE/s1600/TFC+fig+2.png" title="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Figura 2: reta $R$ passando pelos pontos $(t, 0)$ e $(x, F(x))$, onde $t = x -\tfrac{F(x)}{f(x)}$.</b></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Agora, considere um ponto $p\in [a,x)$ e seja $k$ a abscissa do ponto no qual a reta horizontal $y=F(p)$ intersecta a reta $R$ (veja figura 3).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" border="0" src="http://4.bp.blogspot.com/-adeYPykDVOo/UraCJdUnl2I/AAAAAAAAEPU/kzC97IFoqYM/s1600/TFC+fig+3.png" title="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Figura 3: a reta $y = F(p)$ intersecta a reta $R$ no ponto $(k, F(p))$.</b></div>
<div style="text-align: center;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Na nossa figura, obtivemos $k>p$. Verifiquemos que, de fato, isto sempre ocorre. Para tanto, vamos nomear os pontos do seguinte modo: $G=(x,F(x))$, $M=(x,F(p))$, $K=(k,F(p))$, $X=(x,0)$ e $T=(t,0)$ (veja figura 4).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" border="0" src="http://3.bp.blogspot.com/-9erHJz7tDZo/UraEDt_1OyI/AAAAAAAAEPg/lYYtoEteoUM/s1600/TFC+fig+4.png" title="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Figura 4: alguns pontos nomeados.</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Note que os triângulos $GMK$ e $GXT$ são semelhantes. Deste modo, $\tfrac{GM}{MK}=\tfrac{GX}{XT}$, ou seja,</div>
<div style="text-align: center;">
$$\frac{F(x)-F(p)}{x-k}=\frac{F(x)}{x-t}=\frac{F(x)}{x-\left(x-\frac{F(x)}{f(x)}\right)}=f(x)$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Portanto,</div>
<div style="text-align: center;">
$$x-k=\frac{F(x)-F(p)}{f(x)}.$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Por outro lado, pela própria definição da $F$, concluímos que $F(x)-F(p)<f(x)(x-p)$ (veja a figura 5).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" border="0" src="http://4.bp.blogspot.com/-eSrJ3A68nzs/UraFfr2DqZI/AAAAAAAAEPs/GCVrMu_6YpQ/s1600/TFC+fig+5.png" title="Demonstração Geométrica para o Teorema Fundamental do Cálculo" /></div>
<div style="text-align: center;">
<b>Figura 5: Note que $F(x) − F(p)$ é a área sombreada e $f(x)(x − p)$ é a área do retângulo destacado. Logo $F(x) − F(p) < f(x)(x − p)$.</b></div>
<br /><div style="text-align: justify;">
Segue-se que </div>
<div style="text-align: center;">
$$x-k=\frac{F(x)-F(p)}{f(x)} <\frac{f(x)(x-p)}{f(x)}=x-p$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Assim, $k>p$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Deduzimos, então, que $(p,F(p))$ não está sobre a reta $R$ (pois o único ponto com ordenada $F(p)$ que está sobre $R$ tem abscissa igual a $k$). Como $p\in [a,x)$ foi tomado arbitrário, concluímos que, à esquerda de $x$, o gráfico de $F$ se encontra localizado acima da reta $R$. Um argumento análogo permite mostrar que o mesmo fenômeno ocorre à esquerda do ponto $x$. Assim, a reta $R$ “toca” o gráfico de $F$, mas não o “corta”. Ou seja, $R$ tangencia $F$ no ponto $(x,F(x))$. Portanto, $F'(x)$ é dada pela inclinação da reta $R$, ou seja,</div>
<div style="text-align: justify;">
$$\frac{d}{dx}\left[\int_a^xf(s)ds\right]=\frac{d}{dx}F(x)=F'(x)=\frac{GX}{XT}=$$</div>
<div style="text-align: right;">
$$=\frac{F(x)}{x-t}=\frac{F(x)}{x-\left(x-\frac{F(x)}{f(x)}\right)}=f(x).$$</div>
<div style="text-align: justify;">
Isto finaliza a demonstração geométrica do primeiro teorema fundamental do cálculo, para o caso particular em que $f$ é crescente e positiva.<br />
<br />
<blockquote class="tr_bq">
<b>Desafio para o leitor:</b> o leitor deve ter percebido que o ponto$ t$ brotou no meio da argumentação sem qualquer justificativa e desempenhou um papel fundamental. A pergunta que fica é a seguinte: como "adivinhar" que escolher $t = x -\tfrac{F(x)}{f(x)}$ funciona? O fato é que há uma motivação geométrica para esta escolha, a qual Barrow não comenta na sua demonstração e que, por hora, deixamos para o leitor investigar.</blockquote>
<br />
O 2º TFC (a parte que nos fornece uma fórmula para o cálculo de integrais definidas) também possui uma versão geométrica provada por Isaac Barrow na mesma obra (Proposição 19, Lecture XI). Poderá ser que, futuramente, a exporemos aqui no BLOG MANTHANO.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Referências: Livro <a href="https://ia600300.us.archive.org/19/items/geometricallectu00barruoft/geometricallectu00barruoft.pdf" target="_blank">The Geometrical Lectures of Isaac Barrow</a>, de J. M. Child e site <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=isaac+barrow" target="_blank">WolframAlpha</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Erros podem se relatados <a href="http://manthanos.blogspot.com.br/p/contato.html" target="_blank">aqui</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<b><span style="color: red;">PS.: Feliz natal e próspero ano novo a todos os leitores!</span></b></div>
Unknownnoreply@blogger.com2