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Modelagem matemática de epidemias

Número básico de reprodução, Mitigação e Supressão

quarta-feira, 1 de abril de 2020

COVID-19: previsões para o Brasil via Mitigação/Supressão

O objetivo desta postagem é apresentar algumas previsões relativas à pandemia de coronavírus (COVID-19) obtidas por meio de estudos epidemiológicos recentes baseados em modelagem matemática. Para isso, usaremos parcialmente a terminologia e notações introduzidas na postagem anterior.

O número básico de reprodução

No contexto da epidemiologia, o número básico de reprodução é uma parâmetro $\mathcal{R}_0$ definido, de uma forma geral, como sendo o número de novas infecções causadas diretamente por um único indivíduo infectado inserido numa população formada inteiramente por indivíduos suscetíveis. Se este indivíduo infectado gera $\beta$  novas infecções por dia e se o período de transmissibilidade é de $k$ dias, então
$$\mathcal{R}_0=\beta k.$$
Matematicamente, este parâmetro tem o intuito de caracterizar a força de uma epidemia conforme o seguinte critério:
  • Se $\mathcal{R}_0<1$, a doença desparece.
  • Se $\mathcal{R}_0>1$, a doença se propaga.
Observação: Na prática, a depender do modelo e dos métodos de cálculos empregados, $\mathcal{R}_0$ pode não satisfazer o critério e o número que satisfaz o critério pode não representar o "número de infecções" no sentido da definição acima (detalhes em [3]).
Ilustração. No contexto do Modelo SIR, temos $S\leq N$ donde $\frac{S}{N}\leq 1$. Assim, se $\mathcal{R_0}<1$, então $$I'=\beta\tfrac{S}{N}I-\tfrac{1}{k}I\leq \beta I-\tfrac{1}{k}I=(\mathcal{R}_0-1)\tfrac{1}{k}I<0$$ e, portanto, a doença desaparece (porque o número de infectados $I$, tendo derivada negativa, decresce).

Observação: Uma análise similar mostra que, na verdade, a doença desaparece desde que $\beta k\frac{S_0}{N}<1$ e se propaga quando $\beta k \frac{S_0}{N}>1$. Assim, no contexto do Modelo SIR, às vezes é o número $\beta k \frac{S_0}{N}$ que é definido como sendo o número básico de propagação. 
As estratégias de supressão e mitigação

Em 16/03/2020, o Grupo de Resposta à COVID-19 do Colégio Imperial de Londres publicou um estudo (ver [5]) que investiga o impacto de "intervenções não farmacêuticas" na redução da taxa de mortalidade e da demanda hospitalar causada pela COVID-19 na Grã-Bretanha e nos Estados Unidos. As "intervenções não farmacêuticas" consistem nas seguintes medidas:
  • ICS: Isolamento de casos sintomáticos.
  • QDF: Quarentena domiciliar de familiares dos casos sintomáticos.
  • DSI: Distanciamento social de idosos (redução de idosos em ambientes de trabalho).
  • DSP: Distanciamento social de toda a população (redução de toda a população em ambientes de trabalho).
  • FEU: Fechamento de escolas e universidades.
No estudo, foram analisadas as consequências de dois tipos básicos de estratégias:
  1. Supressão: Tem o objetivo de tornar $\mathcal{R}_0$ menor do que $1$, reduzindo a transmissão a níveis bem baixos ou, até mesmo, eliminando a transmissão. Neste caso, é necessário tomar medidas mais severas e que precisam ser mantidas indefinidamente, durante todo o período em que o vírus estiver circulando (ou até que uma vacina seja desenvolvida), caso contrário a propagação do vírus é retomada.
  2. Mitigação: Tem o objetivo de reduzir $\mathcal{R}_0$ apenas para tornar o contágio mais lento, diminuindo o impacto da pandemia no sistema de saúde. Neste caso, a população vai se tornando imune conforme a doença vai se propagando e a taxa de transmissão começa a se reduzir naturalmente de modo que as medidas podem ir sendo gradualmente relaxadas e abandonadas.
O gráfico abaixo ilustra alguns cenários possíveis para a Grã-Bretanha produzidos a partir de diferentes estratégias de supressão (combina várias medidas impondo um regime bastante rígido).
Quantidade de leitos de UTI ocupados para cada 100000 habitantes em função do tempo.Vermelho = Leitos de UTI disponíveis; Preto = Nenhuma medida é tomada;
Verde = ICS+DSP+FEU; Laranja = ICS+QDF+DSP; Região azulada = período em que a medida é mantida em funcionamento (5 meses).
Note que, assim que as medidas são relaxadas, a necessidade de leitos de UTI volta a crescer, podendo atingir um pico tão elevado quanto o pico que teria sido atingido se nada tivesse sido feito. De fato, conforme destacado pelos autores, quanto mais bem sucedida for a supressão, maior será o pico atingido caso as medidas sejam suspensas (pois poucas pessoas terão sido infectadas e, portanto, haverá poucas pessoa imunes).

O gráfico abaixo ilustra alguns cenários possíveis para a Grã-Bretanha produzidos a partir de diferentes estratégias de mitigação (adota apenas um ou duas medidas ao mesmo tempo impondo um regime mais brando).
Quantidade de leitos de UTI ocupados para cada 100000 habitantes em função do tempo. 
Vermelho 
= Leitos de UTI disponíveis; Preto = Nenhuma medida é tomada;
Verde = FEU; Laranja = ICS; Amarelo = ICS+QDF;  Azul = ICS+QDF+DSI; Região azulada = período em que a medida é mantida em funcionamento (3 meses).
Note que em qualquer destes cenários, nos quais a população não idosa continua levando a vida normalmente (trabalho não interrompido), o pico de leitos de UTI fica bem acima da capacidade.

O gráfico abaixo ilustra um cenário para a Grã-Bretanha em que medidas brandas são mantidas durante todo o tempo e medidas mais severas são tomadas apenas quando o necessidade de leitos de UTI atinge um certo limite.
Quantidade de leitos de UTI ocupados por semana em função do tempo.
Laranja = Leitos de UTI ocupados na semana. Durante todo o período a medida ICS+QDF fica mantida. A medida SDP+FEU (Azul) é ativada quando os casos de UTI na semana excedem 100. A medida SDP+FEU (Azul é desativada quando se verifica menos de 50 casos de UTI na semana.
Note que, conforme este cenário, para não sobrecarregar o sistema de saúde é necessário manter ICS+QDF+SDP+FEU durante a maioria do tempo (cerca de 2/3 do tempo), o que compromete substancialmente as atividades sociais.

Com base nessa análise, é fácil concluir que não há solução fácil para o problema: medidas rígidas não podem ser mantidas por muito tempo e medidas brandas não evitam a sobrecarga do sistema de saúde. Porém, mesmo que não haja uma medida que resolva o problema por completo,  alguma coisa deve ser feita: o estudo previu que, se nenhuma medida fosse tomada, o número de mortes poderia passar de meio milhão na Grã-Bretanha e de 2 milhões nos Estados Unidos podendo, no melhor cenário possível de mitigação, ser reduzido apenas pela metade: cerca de 250 mil mortes na Grã-Bretanha e 1 milhão nos EUA. Estas conclusões induziram o governo da Grã-Bretanha a tomarem medidas mais severas daquelas que estavam sendo tomadas até então e também influenciaram o governo norte-americano (conforme descrito em [6]).

Observação: Mesmo não retratando diretamente o cenário nacional, este estudo também teve impacto no governo brasileiro visto que o penúltimo gráfico foi discutido em entrevista coletiva do Ministério da Saúde (ver instante 55:36 de [7]).

Previsões para o Brasil

Em 26/03/2020, o mesmo grupo do Colégio Imperial publicou um estudo similar (ver [8]) investigando o impacto das estratégias de mitigação e de supressão em diversos países, incluindo o Brasil. Foram analisados vários cenários possíveis:
  • Cenário 1: Nenhuma medida é tomada.
  • Cenário 2: Distanciamento social de toda a população (redução de cerca de 40% do contatos).
  • Cenário 3: Distanciamento social de toda a população com reforço do distanciamento social de idosos (redução de 60% do contatos dos idosos e cerca de 40% dos demais).
  • Cenário 4: Supressão tardia (redução de 75% do contatos de toda a população quando atinge-se 485 mortes por dia).
  • Cenário 5: Supressão precoce (redução de 75% do contatos de toda a população quando atinge-se 60 mortes por dia).
Os cenários 1, 2 e 3 foram simulados para quatro possíveis valores de $\mathcal{R}_0$: $2,4$,  $2,7$, $3$ e $3,3$. Os cenários 4 e 5 foram simulados apenas para $\mathcal{R}_0=3$. Os gráficos a seguir sumarizam as conclusões dos 5 cenários para o caso $\mathcal{R}_0=3$ (os resultados dos cenários 1, 2 e 3 para os outros valores de $\mathcal{R}_0$ são aproximadamente iguais).
Quantidade de casos conforme o cenário.


Quantidade de leitos de UTIs e de mortes conforme o cenário.
Tendo em vista que o número de mortes de hoje foi 42 (o maior registrado até agora) e que boa parte da população está vivendo em regime de quarentena (serviços "não essenciais" suspensos, escolas/universidades fechadas, transportes interestaduais reduzidos), aparentemente estamos cumprindo os critérios do Cenário 5 (pelo menos por enquanto). Continuando assim, poderemos esperar a melhor situação possível: sobrecarga do sistema de saúde (que possui cerca 40 mil leitos de UTI conforme [9]), porém com "apenas" 44 mil mortes.

Referências

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