segunda-feira, 7 de maio de 2012

Alguns Exercícios Resolvidos de Cálculo

A pedido de um leitor apresento, logo abaixo, soluções para algumas questões de Matemática da Prova 7 - Grupo F - Nível Superior - Área Ambiental - 2010 do PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria Nacional de Petróleo e Gás Natural).

Nesta primeira postagem apresento, especificamente, soluções para as questões referentes à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do referido caderno (que totalizam 3).
Questão 14: O ponto em que a função $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por $f(x,y)=(2x-y)^2+(x-3)^2+5$ assume seu valor mínimo é dada por
(A) $x = 1$, $y=0$
(B) $x = 2$, $y=4$
(C) $x = 3$, $y=3$
(D) $x = 3$, $y=6$
(E) $x = 4$, $y=6$
Solução: Um método que, às vezes, funciona para encontrar extremos relativos de funções de duas variáveis é o seguinte:

- Calcule as derivadas parciais de primeira ordem $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ da função $f$:
$$f_x(x,y)=2(2x-y)\cdot 2+2(x-3)=10x-4y-6\\
f_y(x,y)=2\cdot(2x-y)\cdot(-1)=-4x+2y$$

- Resolva o sistema $\left\{\begin{aligned}f_x(x,y)&=0\\
f_y(x,y)&=0
\end{aligned}\right.$

Substituindo as expressões encontradas na etapa anterior, obtemos
$$\left\{
\begin{aligned}
10x-4y-6&=0\\
-4x+2y&=0
\end{aligned}
\right.$$
ou seja,
$$\left\{
\begin{aligned}
10x-4y&=6\\
-4x+2y&=0
\end{aligned}
\right.$$
Dividindo ambos os lados da primeira equação por $2$ obtemos
$$\left\{
\begin{aligned}
5x-2y&=3\\
f_y(x,y)&=0
\end{aligned}
\right.$$
Somando as equações membro a membro, encontramos o valor de $x$:
$$(5x-2y)+(-4x+2y)=3+0\\
x=3$$
Utilizando uma das equações do último sistema, digamos a segunda, encontramos o valor de $y$:
$$\begin{aligned}
-4x+2y&=0\\
-4\cdot 3+2y&=0\\
-12+2y&=0\\
2y&=12\\
y&=\tfrac{12}{2}=6
\end{aligned}$$
Resposta: Alternativa (D).

Observação: A princípio, nada nos garante que o ponto $(3,6)$ é de mínimo - pois poderia ser de máximo. Em geral, precisamos aplicar o chamado Teste de Segunda Derivada para tirar alguma conclusão a este respeito. Porém, o modo como o problema foi colocado deixa implícito que o ponto $(3,6)$ realmente é um ponto de mínimo. Se a solução do sistema nos fornecesse dois pontos distintos (ambos mencionados nas alternativas), então seria inevitável aplicar o referido teste.
Questão 18: Uma função real $y=f(x)$ satisfaz a equação diferencial $y'+xy^2=0$. Se $f(1)=1$, então $f(2)$ é igual a
(A) $1/3$
(B) $2/5$
(C) $1/2$
(D) $1$
(E) $2$
Solução: A equação apresentada no enunciado é uma equação diferencial ordinária de variável separável. Sua solução pode ser obtida da seguinte maneira:

- Mude a notação, escrevendo $y'=\tfrac{dy}{dx}$:
$$\frac{dy}{dx}+xy^2=0$$
- Separe as variáveis:
$$\begin{aligned}
\frac{dy}{dx}&=-xy^2\\ \\
dy &= -xy^2\;dx\\ \\
\frac{dy}{y^2} &= -x\;dx
\end{aligned}$$
- Integre ambos os lados e resolva utilizando as regras básicas de integração:
$$\begin{aligned}\int \frac{dy}{y^2} &= \int-x\;dx\\ \\
\int y^{-2}\;dy &= \int-x\;dx\\ \\
\frac{y^{-1}}{-1}&=-\frac{x^{2}}{2}+C\\ \\
-\frac{1}{y}&=-\frac{x^{2}}{2}+C\end{aligned}$$
O enunciado nos diz que $f(1)=1$, ou seja, que quando $x$ vale $1$ o valor de $y$ também é $1$. Fazendo esta substituição na última expressão podemos encontrar o valor $C$:
$$\begin{aligned}
-\frac{1}{1}&=-\frac{1^{2}}{2}+C\\ \\
-1&=-\frac{1}{2}+C\\ \\
C&=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}
\end{aligned}$$
Portanto, temos
$$\frac{-1}{y}=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}$$
O problema quer saber quanto vale $f(2)$, ou seja, quer saber o valor de $y$ quando $x$ é $2$. Para isso, basta trocar $x$ por $2$ na última igualdade e isolar o $y$:
$$\begin{aligned}
\frac{-1}{y}&=-\frac{2^{2}}{2}-\frac{1}{2}\\ \\
\frac{-1}{y}&=-\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\\ \\
\frac{-1}{y}&=-\frac{5}{2}\\ \\
\frac{1}{y}&=\frac{5}{2}\\ \\
2&=5y\\ \\
y&=\frac{2}{5}
\end{aligned}$$

Resposta: Alternativa (B)
Questão 20: O valor de $\int_0^1x\operatorname{e}^{x^2}dx$ é
(A) $0$
(B) $1$
(C) $\operatorname{e}-1$
(D) $(\operatorname{e}-1)/2$
(E) $\operatorname{e}^2$
Solução: Utilizaremos a técnica da integração por substituição. Faça
$$\begin{aligned}
u&=x^2\\
du&=2x\;dx\quad\Rightarrow\quad x\;dx=\frac{du}{2}
\end{aligned}$$
Então, pelas regras básicas de integração:
$$\begin{aligned}\int_0^1 x\operatorname{e}^{x^2}dx=\int_{0^2}^{1^2} \operatorname{e}^u\;\frac{du}{2}
&=\frac{1}{2}\int_0^1\operatorname{e}^u\;du\\
&=\frac{1}{2}\big[\operatorname{e}^u\big]_0^1=\frac{1}{2}[\operatorname{e}^{1}-\operatorname{e}^{0}]=\frac{\operatorname{e}-1}{2}\end{aligned}$$
Resposta: Alternativa (D)

Quaisquer considerações e/ou dúvidas podem ser deixadas nos comentários.

Referência: STEWART, James. Cálculo. Volumes 1 e 2.
Erros podem se relatados aqui.

3 comentários :

  1. use diferencial total para encontrar um valor aproximado de raiz quadrada de 15,89 sobre 9,02.
    os dois dentro da raiz.
    ajudeme

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    Respostas
    1. Olá Anônimo. Acesse a solução do seu problema aqui. Espero ter ajudado. Abraço. Pedro R.

      Excluir
  2. me ajudem por favor
    cálculo de distância entre o ponto P (-3,4) e a reta de equação 6X+8Y+6

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