Alguns Exercícios Resolvidos de Cálculo

A pedido de um leitor apresento, logo abaixo, soluções para algumas questões de Matemática da Prova 7 - Grupo F - Nível Superior - Área Ambiental - 2010 do PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria Nacional de Petróleo e Gás Natural).

Nesta primeira postagem apresento, especificamente, soluções para as questões referentes à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do referido caderno (que totalizam 3).

Questão 14: O ponto em que a função $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ definida por $f(x,y)=(2x-y)^2+(x-3)^2+5$ assume seu valor mínimo é dada por
(A) $x = 1$, $y=0$
(B) $x = 2$, $y=4$
(C) $x = 3$, $y=3$
(D) $x = 3$, $y=6$
(E) $x = 4$, $y=6$

Solução: Um método que, às vezes, funciona para encontrar extremos relativos de funções de duas variáveis é o seguinte:

- Calcule as derivadas parciais de primeira ordem $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$ da função $f$:

$$f_x(x,y)=2(2x-y)\cdot 2+2(x-3)=10x-4y-6\\ f_y(x,y)=2\cdot(2x-y)\cdot(-1)=-4x+2y$$

- Resolva o sistema $\left\{\begin{aligned}f_x(x,y)&=0\\ f_y(x,y)&=0 \end{aligned}\right.$

Substituindo as expressões encontradas na etapa anterior, obtemos

$$\left\{ \begin{aligned} 10x-4y-6&=0\\ -4x+2y&=0 \end{aligned} \right.$$

ou seja,

$$\left\{ \begin{aligned} 10x-4y&=6\\ -4x+2y&=0 \end{aligned} \right.$$

Dividindo ambos os lados da primeira equação por $2$ obtemos

$$\left\{ \begin{aligned} 5x-2y&=3\\ f_y(x,y)&=0 \end{aligned} \right.$$

Somando as equações membro a membro, encontramos o valor de $x$:

$$(5x-2y)+(-4x+2y)=3+0\\ x=3$$

Utilizando uma das equações do último sistema, digamos a segunda, encontramos o valor de $y$:

$$\begin{aligned} -4x+2y&=0\\ -4\cdot 3+2y&=0\\ -12+2y&=0\\ 2y&=12\\ y&=\tfrac{12}{2}=6 \end{aligned}$$

Resposta: Alternativa (D).

Observação: A princípio, nada nos garante que o ponto $(3,6)$ é de mínimo - pois poderia ser de máximo. Em geral, precisamos aplicar o chamado Teste de Segunda Derivada para tirar alguma conclusão a este respeito. Porém, o modo como o problema foi colocado deixa implícito que o ponto $(3,6)$ realmente é um ponto de mínimo. Se a solução do sistema nos fornecesse dois pontos distintos (ambos mencionados nas alternativas), então seria inevitável aplicar o referido teste.

Questão 18: Uma função real $y=f(x)$ satisfaz a equação diferencial $y'+xy^2=0$. Se $f(1)=1$, então $f(2)$ é igual a
(A) $1/3$
(B) $2/5$
(C) $1/2$
(D) $1$
(E) $2$

Solução: A equação apresentada no enunciado é uma equação diferencial ordinária de variável separável. Sua solução pode ser obtida da seguinte maneira:

- Mude a notação, escrevendo $y'=\tfrac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx}+xy^2=0$$
- Separe as variáveis:
$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx}&=-xy^2\\ \\ dy &= -xy^2\;dx\\ \\ \frac{dy}{y^2} &= -x\;dx \end{aligned}$$

- Integre ambos os lados e resolva utilizando as regras básicas de integração:

$$\begin{aligned}\int \frac{dy}{y^2} &= \int-x\;dx\\ \\ \int y^{-2}\;dy &= \int-x\;dx\\ \\ \frac{y^{-1}}{-1}&=-\frac{x^{2}}{2}+C\\ \\ -\frac{1}{y}&=-\frac{x^{2}}{2}+C\end{aligned}$$

O enunciado nos diz que $f(1)=1$, ou seja, que quando $x$ vale $1$ o valor de $y$ também é $1$. Fazendo esta substituição na última expressão podemos encontrar o valor $C$:

$$\begin{aligned} -\frac{1}{1}&=-\frac{1^{2}}{2}+C\\ \\ -1&=-\frac{1}{2}+C\\ \\ C&=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2} \end{aligned}$$

Portanto, temos

$$\frac{-1}{y}=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2}$$

O problema quer saber quanto vale $f(2)$, ou seja, quer saber o valor de $y$ quando $x$ é $2$. Para isso, basta trocar $x$ por $2$ na última igualdade e isolar o $y$:

$$\begin{aligned} \frac{-1}{y}&=-\frac{2^{2}}{2}-\frac{1}{2}\\ \\ \frac{-1}{y}&=-\frac{4}{2}-\frac{1}{2}\\ \\ \frac{-1}{y}&=-\frac{5}{2}\\ \\ \frac{1}{y}&=\frac{5}{2}\\ \\ 2&=5y\\ \\ y&=\frac{2}{5} \end{aligned}$$

Resposta: Alternativa (B)

Questão 20: O valor de $\int_0^1x\operatorname{e}^{x^2}dx$ é
(A) $0$
(B) $1$
(C) $\operatorname{e}-1$
(D) $(\operatorname{e}-1)/2$
(E) $\operatorname{e}^2$

Solução: Utilizaremos a técnica da integração por substituição. Faça

$$\begin{aligned} u&=x^2\\ du&=2x\;dx\quad\Rightarrow\quad x\;dx=\frac{du}{2} \end{aligned}$$

Então, pelas regras básicas de integração:

$$\begin{aligned}\int_0^1 x\operatorname{e}^{x^2}dx=\int_{0^2}^{1^2} \operatorname{e}^u\;\frac{du}{2} &=\frac{1}{2}\int_0^1\operatorname{e}^u\;du\\ &=\frac{1}{2}\big[\operatorname{e}^u\big]_0^1=\frac{1}{2}[\operatorname{e}^{1}-\operatorname{e}^{0}]=\frac{\operatorname{e}-1}{2}\end{aligned}$$

Resposta: Alternativa (D)

Quaisquer considerações e/ou dúvidas podem ser deixadas nos comentários.

Referência: STEWART, James. Cálculo. Volumes 1 e 2.

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