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sábado, 16 de julho de 2016

O Teorema de Aubin-Lions

Nesta postagem apresentamos, de forma detalhada, a demonstração do Teorema de Aubin-Lions. O material é proveniente de um seminário apresentado pelo autor em disciplina de doutorado na UFRJ.

1 Introdução

O método de compacidade, quando utilizado no contexto das EDPs não lineares, inclui as seguintes etapas:

  • Provar que, para cada $n\in\mathbb{N}$, um certo problema aproximado do problema original possui uma solução $v_n$;
  • Provar que $(v_n)$ possui uma subsequência que converge forte para uma função $v$;
  • Passar o limite no problema aproximado provando, assim, que $v$ é solução do problema original.

Nas situações mais comuns, fazendo estimativas de energia do problema aproximado, concluí-se que 

$(v_n)$ é limitada num certo espaço $L^{a}(0,T;A)$,
$(v_n')$ é limitada num certo espaço $L^{b}(0,T;B)$.

Então, surge a seguinte pergunta:

Quando é que estas limitações de $(v_n)$ e $(v_n')$ implicam a existência de uma subsequência fortemente convergente?

O Teorema de Aubin-Lions fornece uma resposta, a qual permite resolver uma grande variedade de problemas.

Observação 1.1. Para equações lineares, como por exemplo $u_{tt}-\Delta u=f$ (Capítulo 7 em [5]), é possível que as etapas acima funcionem com convergência fraca no lugar de convergência forte, ou seja, a existência de um limite fraco para uma subsequência já é suficiente para assegurar a existência de uma solução para o problema original. Entretanto, para equações com termos não lineares, como por exemplo $u_{tt}-\Delta u+|u|^\rho u=f$ (Capítulo 1 em [3]), a convergência forte é fundamental.

2 O enunciado

A seguir, apresentamos o enunciado "clássico" do Teorema de Aubin-Lions, que pode ser encontrado em [8, 9, 11, 13].
Teorema 2.1 (Aubin-Lions). Sejam $A$, $B$ e $X$ espaços de Banach tais que $A\subset X\subset B$. Suponha que
  • $A$ e $B$ são reflexivos;
  • a inclusão $A\subset X$ é compacta;
  • a inclusão $X\subset B$ é contínua.
Então, para quaisquer $1<a,b<\infty$, a inclusão
$$W:= \big\{v\;|\;v\in L^{a}(0,T;A),\; v'\in L^{b}(0,T;B)\big\}\subset L^{a}(0,T;X)\tag{2.1}$$ é compacta.

Observação 2.2. O espaço $W$ munido com a norma
$$\|v\|_W=\|v\|_{L^{a}(0,T;A)}+\|v'\|_{L^{b}(0,T;B)}$$
é um espaço de Banach (a prova segue da completeza dos espaços de Bochner-Lebesgue (Teorema 23.19 em [7]) combinada com o Teorema 3.5 da seção seguinte). É com respeito a esta norma que a inclusão (2.1) é compacta.

Observação 2.3. Uma situação frequente em que se utiliza o Teorema de Aubin-Lions é quando cada um dos espaços $A$, $B$ e $X$ é um dos espaços $W^{m,p}(\Omega)$, $W^{m,p}_0(\Omega)$ ou $L^p(\Omega)$ para alguma escolha apropriada de $m$, $p$ e $N=\dim\mathbb{R}^N\supset \Omega$. Por exemplo, se

$(v_n)$ é limitada em $L^\infty(0,T;H^1_0(\Omega))$,
$(v_n')$ é limitada em $L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$,

então $(v_n)$ possui uma subsequência, que será representada da mesma forma, tal que

$(v_n)$ converge forte em $L^2(0,T;L^2(\Omega))$.

Note que, neste exemplo, estamos tomando $a=b=2$, $A=H_0^1(\Omega)$ e $B=X=L^2(\Omega)$, utilizando as imersões entre os espaços de Bochner-Lebesgue (Proposição 23.2(h) em [12]), utilizando a reflexividade dos espaços de Lebesgue e dos espaços de Sobolev (teoremas 13.17 em [7] e 3.6 em [1]) e aplicando o Teorema de Rellich-Kondrachov (Teorema 6.3 em [1]).

Observação 2.4. Se retirarmos a hipótese de $A$ e $B$ serem reflexivos, a conclusão do Teorema de Aubin-Lions permanece válida (ver Teorema II.5.16 em [2]). Além disso, $B$ pode ser substituído por qualquer espaço de Hausdorff localmente convexo (ver Lema 7.7 em [10]).

Observação 2.5. O Teorema de Aubin-Lions também possue versões para o caso mais geral em que $1\leq a,b\leq \infty$ (ver Teorema II.5.16 em [2]). Em particular, tomando $a=b=\infty$ e trocando $L^{a}(0,T;X)$ por $C([0,T];X)$, a conclusão permanece válida. Assim, se $(u_n)$ é uma sequência limitada em $L^\infty(0,T;A)$ tal que $u_n'\in L^\infty(0,T;B)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, então $(u_n)$ possui uma subsequência que converge forte em $C([0,T];X)$. Uma versão deste último resultado que substitui a limitação das derivadas pela equicontinuidade da sequência (Lema 2.2 em [6]) será apresentada em detalhes na Seção 5.

3 Resultados Preliminares
Teorema 3.1. Toda sequência limitada em um espaço de Banach reflexivo possui uma subsequência fracamente convergente.
Prova. Ver Teorema 6.24 em [7].
$\square$
Teorema 3.2. Seja $1<p<\infty$. Se $X$ é reflexivo, então $L^p(0,T;X)$ é reflexivo.
Prova. Combine o Corolário 2 na página 100 de [4] com o Teorema 13.17 de [7].
$\square$
Teorema 3.3. Sejam $A$ e $B$ espaços de Banach tais que $A\subset B$ com inclusão contínua. Então, para quaisquer $1\leq a,b\leq \infty$, tem-se $W\subset C([0,T];B)$ com inclusão contínua.
Prova. O Corolário 1 na página 11 de [9] (combinado com a Proposição 23.2(h) de [12]) estabelece que $W \subset C([0,T];B)$. Provemos a continuidade: pelo Lema 3 na página 8 de [9],
$$\|v(t)\|_B\leq\|v(0)\|_B+\|v'\|_{L^1(0,T;B)},\quad \|v(0)\|_B\leq\|v(t)\|_B+\|v'\|_{L^1(0,T;B)},\qquad\forall\ t\in [0,T].$$
Integrando a última desigualdade sobre $[0,T]$, substituindo na primeira e utilizando a Proposição 23.2(h) de [12], segue que
$$\|v(t)\|_B\leq T^{-1}\|v\|_{L^1(0,T;B)}+2\|v'\|_{L^1(0,T;B)}\leq C\|v\|_W,\qquad\forall \ t\in [0,T].$$
$\square$
Teorema 3.4. Sejam $X$ um espaço de Banach reflexivo e $1\leq p<\infty$. Se$$u_n\rightharpoonup u\quad\text{em}\quad L^p(0,T;X),\tag{3.1}$$então$$\int_0^T\varphi u_n\;dt\rightharpoonup\int_0^T\varphi u\;dt\quad\text{em}\quad X,\qquad\forall\ \varphi\in C[0,T].\tag{3.2}$$ 
Prova. Pelo Teorema da Representação de Riesz para espaços de Bochner-Lebesgue (teoremas 23.28 e 23.29 em [7]), (3.1) acarreta que
$$\int_0^T\langle h(t),u_n(t)\rangle\;dt\to\int_0^T\langle h(t),u(t)\rangle\;dt\quad\text{em}\quad \mathbb{R},\qquad \forall\ h\in L^q(0,T;X'). \tag{3.3}$$
Dados $f\in X'$ e $\varphi\in C[0,T]$, defina $h:(0,T)\to X'$ colocando $h(t)=\phi(t)f$. Então, de (3.3) e do Teorema 23.15 em [7],
$$\left\langle f,\int_0^T\varphi(t)u_n(t)\;dt\right\rangle\to\left\langle f,\int_0^T\varphi(t)u(t)\;dt\right\rangle\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.$$
$\square$
Teorema 3.5. Sejam $A$ um espaço de Banach e $B$ um espaço de Banach reflexivo tais que $A\subset B$ com inclusão contínua. Para quaisquer $1\leq a,b\leq\infty$,$$\left\{\begin{aligned}
v_n&\rightharpoonup v\quad\textit{em}\quad L^a(0,T; A)\\
v_n'&\rightharpoonup z\quad\textit{em}\quad L^b(0,T; B)
\end{aligned}\right.\qquad\Longrightarrow\qquad v'=z.$$
Prova. Temos $v_n\rightharpoonup v$, $v_n'\rightharpoonup z$ em $L^1(0,T;B)$ pela Proposição 23.2(h) de [12]. Logo, pelo Teorema 3.4,
$$\int_0^Tv_n\varphi'\;dt\rightharpoonup \int_0^Tv\varphi'\;dt,\quad\int_0^Tv_n\varphi'\;dt=-\int_0^Tv_n'\varphi\;dt\rightharpoonup -\int_0^Tz\varphi\;dt\quad\text{em}\quad B,$$
para toda $\varphi\in C_c^\infty(0,T)$. Assim, pela unicidade do limite fraco, $v'=z$.
$\square$

4 A demonstração

Seguiremos a demonstração de J. L. Lions [8], que também pode ser encontrada em [9, 13] e, com um desfecho ligeiramente diferente, em [11]. Para isso, precisaremos do seguinte
Lema. Sejam $A$, $B$ e $X$ espaços de Banach tais que $A\subset X\subset B$. Suponha que
  • a inclusão $A\subset X$ é compacta;
  • a inclusão $X\subset B$ é contínua.
Então, dado $\eta>0$, existe uma constante $C_\eta>0$ (que depende apenas de $\eta$) tal que$$\|u\|_X\leq\eta\|u\|_A+C_\eta\|u\|_B,\quad\forall\ u\in A.$$
Prova. Suponha que o Lema é falso. Então, existe uma constante $\eta_0>0$ e uma sequência $(u_n)$ em $A$ tal que
$$\|u_n\|_X>\eta_0\|u_n\|_A+n\|u_n\|_B,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$
Se tivéssemos $u_n=0$ para algum $n\in\mathbb{N}$, então teríamos $0>0$ - o que é impossível. Assim, $u_n\neq 0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e, portanto, podemos definir uma sequência $(w_n)$ colocando $w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|_A}$. Note que
$$\|w_n\|_X>\eta_0+n\|w_n\|_B,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.\tag{4.1}$$
Por outro lado, como a inclusão $A\subset X$ é contínua, existe uma constante $C>0$ tal que
$$\|w_n\|_X\leq C\|w_n\|_A=C,\quad \forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{4.2}$$
Resulta de (4.1) e (4.2) que
$$\|w_n\|_B<\frac{C}{n},\quad\forall\ n\in\mathbb{N}.\tag{4.3}$$
Como a inclusão $A\subset X$ é compacta, existem $w_0\in X$ e uma subsequência de $(w_n)$, que será representada da mesma forma, tais que
$$\|w_n- w_0\|_X\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.\tag{4.4}$$
Como a inclusão $X\subset B$ é contínua, resulta que
$$\|w_n- w_0\|_B\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.\tag{4.5}$$
Combinando (4.3) com (4.5), concluímos que $w_0=0$. Logo, de (4.1) e (4.4),
$$\|w_n\|_X>\eta_0>0,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}\qquad\text{e}\qquad \|w_n\|_X\to 0\quad\text{em}\quad \mathbb{R}.$$
ABSURDO!
$\square$

Demonstração do Teorema de Aubin-Lions. Seja $(v_n)$ uma sequência limitada em $W$. Então, existe uma constante $\tilde{M}$ tal que
$$\|v_n\|_{L^a(0,T;A)}+\|v_n'\|_{L^b(0,T;B)}\leq \tilde{M},\qquad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$
Queremos mostrar que existem $v\in L^a(0,T;X)$ e uma subsequência de $(v_n)$, que será representada da mesma forma, tais que
$$v_n\to v\quad\text{em}\quad L^a(0,T;X),\tag{4.6}$$
pois isto implicará que a inclusão (2.1) é compacta. Como $A$ e $B$ são reflexivos, $L^a(0,T;A)$ e $L^b(0,T;B)$ são reflexivos pelo Teorema 3.2. Logo, pelos teoremas 3.1 e 3.5, existem $v\in W$ e uma subsequência de $(v_n)$, que será representada da mesma forma, tais que
$$v_n\rightharpoonup v\quad\text{em}\quad L^a(0,T;A).$$
Defina $u_n:= v_n-v$. Então, $(u_n)$ é uma sequência em $W$, existe uma constante $M>0$ tal que
$$\|u\|_W=\|u_n\|_{L^a(0,T;A)}+\|u_n'\|_{L^b(0,T;B)}\leq M,\qquad\forall \ n\in\mathbb{N}$$
e
$$u_n\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad L^a(0,T;A).\tag{4.7}$$
O nosso objetivo é mostrar que
$$u_n\to 0\quad\text{em}\quad L^a(0,T;X),\tag{4.8}$$
pois isto implicará (4.6). Pelo Lema 4.1, para cada $\eta>0$, existe $C_\eta>0$ tal que
$$\|u_n(t)\|_X\leq\eta\|u_n(t)\|_A+C_\eta\|u_n(t)\|_B,\quad\forall\ t\in (0,T),\;n\in\mathbb{N}.$$
Elevando ambos os lados à potência $a$ e integrando sobre $(0,T)$, concluímos que
para cada $\delta>0$, existe $C_\delta>0$ tal que
$$\|u_n\|_{L^a(0,T;X)}^a\leq\delta\|u_n\|_{L^a(0,T;A)}^a+C_\delta\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$
Assim, para cada $\varepsilon>0$, podemos tomar $\delta=\frac{\varepsilon}{2M^a}$ e concluir que existe uma constante $C_\varepsilon>0$ tal que
$$\|u_n\|_{L^a(0,T;X)}^a\leq\frac{\varepsilon}{2}+C_\varepsilon\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a,\quad\forall\ n\in \mathbb{N}.$$
Portanto, basta mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\int_0^T\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt}_{\|u_n\|_{L^a(0,T;B)}^a}= 0,$$ pois isto implicará (4.8). A estratégia será aplicar o Teorema da Convergência Dominada (TCD) à sucessão de funções $$\begin{aligned} f_n:(0,T)&\longrightarrow\mathbb{R}\\ t&\longmapsto\|u_n(t)\|_B^a \end{aligned}\qquad (n\in\mathbb{N}).$$ Pela definição do espaço $L^a(0,T;B)$, já sabemos que cada $f_n$ é integrável. Verifiquemos as demais hipóteses do TCD.
  • $(f_n)$ é dominada por uma função integrável.
Pelo Teorema 3.3, existe uma constante $K>0$ tal que
$$\|u_n(t)\|_B\leq\max_{t\in[0,T]}\|u_n(t)\|_B=\|u_n\|_{C([0,T];B)}\leq K\|u_n\|_W\leq KM,\quad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$
Portanto, $$|f_n(t)|=\|u_n(t)\|_B^a\leq (KM)^a,\quad\forall \ n\in\mathbb{N}.$$
  • $f_n(s)\to 0$ para quase todo $s\in(0,T)$.
Seja $s\in(0,T)$. Fixe uma função $\phi\in C^1([0,T];\mathbb{R})$ tal que $\phi(0)=-1$ e $\phi(T)=0$. Tome $\lambda\in(0,1-s/T)$ (para ser escolhido posteriormente) e defina $w_n(t)=u_n(s+\lambda t)$. Então
$$u_n(s)=w_n(0)=\phi(t)w_n(t)\Big|_0^T=\int_0^T(\phi w_n)'\;dt=\int_0^T\phi' w_n\;dt+\int_0^T\phi w_n'\;dt:=\alpha_n+\beta_n.$$
Assim, basta mostrar que para todo $\varepsilon>0$ existe $n_0\in\mathbb{N}$ tal que $$n\geq n_0\qquad\Longrightarrow\qquad \|\alpha_n+\beta_n\|_B<\varepsilon,\tag{4.9}$$
para algum $\lambda$ convenientemente escolhido (e dependente de $\varepsilon)$, pois isto implicará $f_n(s)=\|u_n(s)\|_B^a\to 0$. Note que
$$\beta_n=\int_0^T\lambda\phi(t) u_n'(s+\lambda t)\;dt=\int_s^{s+\lambda T}\phi(\lambda^{-1}(\tau-s)) u_n'(\tau)\;d\tau.$$
Logo, pela desigualdade de Hölder,
$$\begin{aligned} \|\beta_n\|_{B}&\leq C\int_s^{s+\lambda T}\|u_n'(\tau)\|_B\;d\tau\\
&\leq C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\left(\int_s^{s+\lambda T}\|u_n'(\tau)\|_B^b\;d\tau\right)^{\frac{1}{b}}\\
&\leq C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\left(\int_0^T\|u_n'(\tau)\|_B^b\;d\tau\right)^{\frac{1}{b}}\\
%&= C(\lambda T)^{1-\frac{1}{b}}\|u_n'\|_{L^b(0,T;B)}\\
&\leq CT^{1-\frac{1}{b}}M\lambda^{1-\frac{1}{b}}.
\end{aligned}$$
Portanto, podemos escolher $\lambda$ suficientemente pequeno de forma que se obtenha
$$\|\beta_n\|_{B}\leq\frac{\varepsilon}{2},\quad \forall \ n\in\mathbb{N}.\tag{4.10}$$
Agora, de (4.7) resulta que
$$u_n|_{(s,s+\lambda T)}\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad L^a(s,s+\lambda T;A).$$
Logo, pelo Teorema 3.4,
$$\alpha_n=\int_0^T\phi' w_n\;dt=\lambda^{-1}\int_s^{s+\lambda T}\phi'(\lambda^{-1}(\tau-s)) u_n(\tau)\;d\tau\rightharpoonup 0\quad\text{em}\quad A.\tag{4.11}$$
Isto implica que $(\alpha_n)$ é limitada em $A$. Como $A\subset X$ é compacta e $X\subset B$ é contínua, $A\subset B$ é compacta. Portanto, $(\alpha_n)$ possui uma subsequência, que será representada da mesma forma, tal que
$$\alpha_n \to 0\quad\text{em}\quad B.\tag{4.12}$$
Note que, para concluir que o limite da subsequência é zero, estamos usando (4.11) (pois convergência forte implica convergência fraca). De (4.10) e (4.12) obtemos $n_0$ satisfazendo (4.9).

Terminamos, assim, a verificação das hipóteses do TCD concluindo que
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^T\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt= \int_0^T\lim_{n\to\infty}\|u_n(t)\|^a_{B}\;dt=\int_0^T0\;dt=0,$$
conforme desejado.
$\blacksquare$

5 Outra versão do Teorema de Aubin-Lions

Nesta seção apresentaremos a versão do Teorema de Aubin-Lions que se encontra exposta em [6].

Teorem 5.1 (Aubin-Lions). Sejam $A$, $B$, $X$ espaços de Banach tais que $A\subset X\subset B$ e $(u_n)$ uma sequência limitada em $L^\infty(0,T;A)$. Suponha que
  • a inclusão $A\subset X$ é compacta;
  • a inclusão $X\subset B$ é contínua;
  • a coleção $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ é equicontínua.
Então, $(u_n)$ é pré-compacta em $C([0,T];X)$.

Prova. A demonstração será dividida em quatro etapas. São elas:

  1.  Mostrar que $u_n\in C([0,T];X)$ para todo $n\in\mathbb{N}$;
  2.  Mostrar que $(u_n)$ possui uma subsequência $(v_k)$ tal que, para cada $t_i$ fixado num certo subconjunto denso enumerável de $[0,T]$, $(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ converge em $B$;
  3.  Mostrar que $(v_k)$ é de Cauchy em $C([0,T];B)$;
  4.  Mostrar que $(v_k)$ é de Cauchy em $C([0,T];X)$.

Etapa 1. Como $(u_n)$ é limitada em $L^\infty(0,T;A)$, existe uma constante $C_1$ tal que
$$\|u_n(t)\|_A\leq C_1\quad\text{quase sempre em}\quad [0,T],\qquad \forall\ n\in\mathbb{N}.$$
Tome $\varepsilon>0$. Escolha $\eta>0$ tal que $2C_1\eta<\frac{\varepsilon}{2}$ e seja $C_\eta$ a constante dada pelo Lema 4.2. Como $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ é equicontínua, existe $\delta>0$ tal que
$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|u_n(t)-u_n(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{2C_\eta}, \qquad\forall \ n\in \mathbb{N}.$$
Assim, pelo Lema 4.1,
$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|u_n(t)-u_n(s)\|_X\leq \eta\|u_n(t)-u_n(s)\|_A+C_\eta\|u_n(t)-u_n(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$
para todo $n\in\mathbb{N}$.

Etapa 2. Seja $M:=\{t_i\;|\;i\in\mathbb{N}\}$ um subconjunto enumerável denso de $[0,T]$. Vejamos que $(u_n)$ possui uma subsequência $(v_k)$ tal que
$$(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}\quad\text{converge em}\quad  B,\qquad\forall\ i\in\mathbb{N}.\tag{5.1}$$
Como $u_n\in L^\infty([0,T];A)$, a sequência $(u_n(t_1))_{n\in\mathbb{N}}$ é limitada. Como a inclusão $A\subset X$ é compacta, tal sequência possui uma subsequência $(u_k^1(t_1))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$. Analogamente: $(u_k^1(t_2))_{k\in\mathbb{N}}$ possui uma subsequência $(u_k^2(t_2))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$; $(u_k^2(t_3))_{k\in\mathbb{N}}$ possui uma subsequência $(u_k^3(t_3))_{k\in\mathbb{N}}$ que converge em $X$ e assim por diante. Este procedimento nos permite construir uma sequência
\begin{align*}
(u^1_k)&=u^1_1,\;u^1_2,\;u^1_3,\;u^1_4,\;...\\
(u^2_k)&=u^2_1,\;u^2_2,\;u^2_3,\;u^2_4,\;...\\
(u^3_k)&=u^3_1,\;u^3_2,\;u^3_3,\;u^3_4,\;...\\
\vdots\;\;\;
\end{align*}
de subsequências de $(u_n)$ com a propriedade de que $(u_k^{m})_{k\in\mathbb{N}}$ é uma subsequência de $(u_k^i)_{k\in\mathbb{N}}$ sempre que $m\geq i$. Consequentemente, $u^m_m$ é um termo de $(u^i_k)_{k\in\mathbb{N}}$ sempre que $m\geq i$. Assim, $(u_k^k)_{k\geq i}$ é uma subsequência de $(u^i_k)_{k\in\mathbb{N}}$. Considere a sequência diagonal
$$(v_k):=(u^1_1,\;u^2_2,\;u^3_3,\;...,\;u^k_k,\;...).$$
Tome $i\in\mathbb{N}$. Pelo que vimos, $(v_k(t_i))_{k\geq i}=(u_k^k(t_i))_{k\geq i}$ é uma subsequência de $(u^i_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$. Por construção, $(u^i_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ converge em $X$ donde $(v_k(t_i))_{k\in\mathbb{N}}$ também converge. Logo, vale (5.1) (porque a inclusão $X\subset B$ é contínua).

Etapa 3. Como $\{u_n:[0,T]\to B\;|\;n\in\mathbb{N}\}$ é equicontínua, existe $\delta>0$ tal que
$$|t-s|<\delta\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_k(s)\|_B<\frac{\varepsilon}{3},\qquad\forall\ k\in\mathbb{N}.$$
Como é $M$ é denso em $[0,T]$, a família $\{(t_i-\delta,t_i+\delta)\;|\;i\in\mathbb{N}\}$ forma uma cobertura de $[0,T]$, a qual possui uma subcobertura finita $\{(t_{i_1}-\delta,t_{i_1}+\delta),...,(t_{i_M}-\delta,t_{i_M}+\delta)\}$. Por (5.1), $(v_k(t_{i_1})),...,(v_k(t_{i_M}))$ são de Cauchy em $B$. Logo, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que
$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t_{i_r})-v_m(t_{i_r})\|_B<\frac{\varepsilon}{3},\qquad\forall\ r=1,...,M.$$
Dado $t\in[0,T]$, tome $t_{i_r}$ tal que $t\in(t_{i_r}-\delta,t_{i_r}+\delta)$. Então, para $k,m>N$ tem-se
\begin{align*}
\|v_k(t)-v_m(t)\|_B&\leq \|v_k(t)-v_k(t_{i_r})\|_B+\|v_k(t_{i_r})-v_m(t_{i_r})\|_B+\|v_m(t_{i_r})-v_m(t)\|_B\\
&\leq\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}.
\end{align*}
Tomando o supremo com respeito a $t$, segue que $(v_k)$ é de Cauchy em $C([0,T];B)$.

Etapa 4. Tome $\varepsilon>0$. Escolha $\eta>0$ tal que $2C_1\eta<\frac{\varepsilon}{2}$ e seja $C_\eta$ a constante dada pelo Lema 4.1. Como $(v_k)$ é de Cauchy em $C([0,T];B)$, existe $N\in\mathbb{N}$ tal que
$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_m(t)\|_B<\frac{\varepsilon}{2C_\eta},\qquad\forall\ t\in[0,T].$$
Assim, pelo Lema 4.1,
$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \|v_k(t)-v_m(t)\|_X\leq \eta\|v_k(t)-v_m(t)\|_A+C_\eta\|v_k(t)-v_m(t)\|_B<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}$$
para todo $t\in[0,T]$. Portanto,
$$k,m>N\quad\Longrightarrow\quad \sup_{t\in[0,T]}\|v_k(t)-v_m(t)\|_X\leq \varepsilon,$$
ou seja, $(v_k)$ é de Cauchy em $C([0,T];X)$.
$\square$

Referências

[1] ADAMS, R. A., AND FOURNIER, J. J. F. Sobolev Spaces. Academic Press, Amsterdam, 2003.

[2] BOYER, F., AND FABRIE, P. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models. Springer, New York, NY, 2013.

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