quarta-feira, 10 de maio de 2017

Elon: um exímio expositor.

Aos 87 anos, o matemático brasileiro Elon Lages Lima faleceu no último domingo - dia 7 de maio de 2017. Para saber um pouco mais sobre sua vida e seu legado, veja a nota no site do IMPA e a nota no site da SBM.

Elon Lages Lima
Elon Lages Lima num momento da
última aula que lecionou no PAPMEM, em julho de 2012.

Embora eu não o tenha conhecido pessoalmente, aprendi muito com ele. Como uma forma de prestar uma homenagem póstuma, mencionarei nesta postagem algumas de suas obras que marcaram minha vida de estudos.

Na época da faculdade (licenciatura), a coleção A Matemática do Ensino Médio (volumes 1, 2, 3 e 4), o livro Meu Professor de Matemática e Outras Histórias, o livro Exames de Textos e as suas aulas no programa PAPMEM tiveram grande influência sobre mim. O livro Exame de Textos inclusive inspirou a elaboração de um trabalho (realizado em grupo), motivo que me fez contatar o professor Elon por email - que, para minha satisfação, se mostrou bastante gentil e solícito ao me atender. No fim da faculdade, às vésperas de prestar seleção para um programa de mestrado, Elon foi meu primeiro professor de análise através do seu curso de análise real em vídeo (meu curso de graduação não ofertava a disciplina de análise). Durante a preparação para entrar no mestrado, bem como no decorrer do curso, os seus livros Análise Real (1 e 2), Curso de Análise (1 e 2) e Álgebra Linear também foram decisivos. Hoje em dia, no doutorado, seu livro Curso de Análise 2 ainda se revela bastante útil em alguns momentos.

O prof. Elon disse
Sempre senti a necessidade de expor as coisas para as pessoas entenderem. ([1], p. 50)
e complementou
Eu sempre achei que eu era, antes de tudo e acima de tudo, um professor. Sempre achei isso e que o meu maior desafio era pegar as coisas difíceis, que me deram trabalho para aprender, procurar refazer aquilo de forma a ser atraente, elegante e claro. ([2], p. 101)
Quem tem o privilégio de estudar suas obras não tem dúvidas de que ele supriu a necessidade e cumpriu o desafio.

Para finalizar, deixo uma lista de postagens publicadas aqui no BLOG MANTHANO e que tiveram influência das obras do Elon:

Referências:

[1] Entrevista com Elon Lages Lima publicada na RMU nº 09, dezembro de 1989.
[2] Entrevista com Elon Lages Lima publicada na RMU nº 33, dezembro de 2002.

sexta-feira, 10 de fevereiro de 2017

Equações de Navier-Stokes

Nesta postagem apresentamos um resultado de existência e unicidade de solução fraca para as equações de Navier-Stokes num domínio limitado do plano. O material é proveniente de um seminário apresentado pelo autor (em parceria com um colega) em disciplina de doutorado na UFRJ.

1 Considerações iniciais

Em sua formulação clássica$^{\text{(i)}}$ o PVIF para as equações de Navier-Stokes completas$^{\text{(ii)}}$ é o seguinte:
Problema 1.1 (PVIF para Navier-Stokes). Sejam $\Omega$ um aberto de $\mathbb{R}^n$ e $T>0$. Dados uma constante $\nu>0$, uma função vetorial $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função vetorial $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^n$, encontrar uma função vetorial $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^n$ e uma função escalar $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que
$$\left\{\begin{aligned} \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\
\end{aligned}\right.\tag{1.1}$$
Este sistema descreve a velocidade $\mathbf{u}$ e a pressão $p$ de um fluído incompressível viscoso que possui viscosidade constante $\nu$, preenche permanentemente uma região $\Omega$ do espaço e está sob a influência de uma força externa $\mathbf{f}$.

Curiosidade: As seguintes questões referentes ao Problema 1.1 estão em aberto e valem um milhão de dólares:$^{\text{(iii)}}$
  1. Existência de Solução. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$, $T=\infty$, $\mathbf{f}\equiv 0$ e $\mathbf{u}_0$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e $$|\partial_x^\alpha\mathbf{u}_0(x)|\leq C_{\alpha,K}(1+|x|)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,\alpha\in\mathbb{N}^3,K>0.\tag{1.2}$$ Mostre que existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e $$\int_{\mathbb{R}^3}|\mathbf{u}(x,t)|^2\;dx<C,\quad\forall\ t\geq 0.\tag{1.3}$$
  2. Não Existência de Solução. Considere o Problema 1.1 com $n=3$, $\Omega=\mathbb{R}^3$ e $T=\infty$. Mostre que existem $\mathbf{f}:\mathbb{R}^3\times[0,\infty)\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $$|\partial_x^\alpha\partial_t^m\mathbf{f}(x,t)|\leq C_{\alpha,m,K}(1+|x|+t)^{-K},\quad\forall\ x\in\mathbb{R}^n,t\geq 0,\alpha\in\mathbb{N}^3,m\in\mathbb{N},K>0$$ e $\mathbf{u}_0:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ suave satisfazendo $\operatorname{div}\mathbf{u}_0=0$ e (1.2) para os quais não existem $\mathbf{u}\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}^3\big)$ e $p\in C^{\infty}\big(\Omega\times[0,\infty);\mathbb{R}\big)$ satisfazendo (1.1)$_{1,2,4}$ e (1.3).
Nesta exposição, vamos considerar o Problema 1.1 para $n=2$ e $\Omega$ limitado com fronteira regular. O objetivo será provar existência e unicidade de solução fraca. Todo o exposto está baseado em [4, 11, 12, 17].

2 Navier-Stokes em domínios limitados de $\mathbb{R}^2$

Em tudo o que segue, $T>0$ é um número real fixo (e finito), $\Omega$ é um aberto limitado de $\mathbb{R}^2$ com fronteira regular e $\nu>0$ é uma constante.

2.1 Motivação para a formulação fraca

A versão clássica do problema que vamos considerar é a seguinte:
Problema 2.1 (Navier-Stokes no plano). Dados $\mathbf{f}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $\mathbf{u}_0:\Omega\to\mathbb{R}^2$, encontrar $\mathbf{u}:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}^2$ e $p:\Omega\times[0,T]\to\mathbb{R}$ tais que
$$ \left\{\begin{aligned} \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}-\nu\Delta\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=\mathbf{f}-\nabla p&\quad\text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\operatorname{div}\mathbf{u}=0&\quad \text{em}\quad \Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=0&\quad\text{em}\quad \partial\Omega\times(0,T),\\
\mathbf{u}=\mathbf{u}_0&\quad\text{em}\quad \Omega\times\{0\}.\\
\end{aligned}\right.\tag{2.1}$$
Escreva $Q=\Omega\times(0,T)$. Suponhamos que, para uma função $\mathbf{f}=(f^1,f^2)\in C(\bar{Q})\times C(\bar{Q})$, o Problema 2.1 possua uma solução $(\mathbf{u},p)$ com $\mathbf{u}=(u^1,u^2)\in C^2(\bar{Q})\times C^2(\bar{Q})$ e $p\in C^1(\bar{Q})$.$^{\text{(iv)}}$ Note que a equação (2.1)$_1$ se reescreve como
$$u^i_t-\nu\Delta u^i+\sum_{j=1}^2 u^ju^i_{x_j}=f^i-p_{x_i},\qquad i=1,2.$$
Multiplicando por $v^i\in \mathcal{D}(\Omega)$, integrando sobre $\Omega$ e mantendo implícita a dependência de $t$, segue que
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}-\nu\int_\Omega v^i\Delta u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}-\int_\Omega p_{x_i}v^i\;dx.$$
Integrando por partes (e utilizando que $v^i$ se anula sobre $\partial\Omega$), obtemos
$$(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega pv^i_{x_i}\;dx.$$
Somando com respeito ao índice $i$, resulta que
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i=1}^2\int_\Omega \nabla v^i\nabla u^i\;dx+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}+\int_\Omega p\operatorname{div}\mathbf{v}\;dx,$$
onde $\mathbf{v}=(v^1,v^2)$. Supondo adicionalmente que $\operatorname{div}\mathbf{v}=0$, esta última igualdade se reduz a
$$\sum_{i=1}^2(u^i_t,v^i)_{L^2}+\nu\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2}+\sum_{i,j=1}^2 (u^ju^i_{x_j},v^i)_{L^2}=\sum_{i=1}^2(f^i,v^i)_{L^2}.$$
Definindo
$$a(\mathbf{u},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(\mathbf{u},\mathbf{w},\mathbf{v})=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2},$$
a expressão anterior pode ser reescrita como
$$(\mathbf{u}_t,\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u},\mathbf{v})+b(\mathbf{u}, \mathbf{u},\mathbf{v})=(\mathbf{f},\mathbf{v}),$$
onde $(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $L^2(\Omega)\times L^2(\Omega)$. Escrevendo $\mathbf{u}(\cdot,t)=\mathbf{u}(t)$, $\mathbf{f}(\cdot,t)=\mathbf{f}(t)$ e tornando explícita a dependência de $t$ na expressão anterior, obtemos
$$(\mathbf{u}_t(t),\mathbf{v})+\nu a(\mathbf{u}(t),\mathbf{v})+b(\mathbf{u}(t), \mathbf{u}(t),\mathbf{v})=(\mathbf{f}(t),\mathbf{v}),\quad\forall\ t\in(0,T).\tag{2.2}$$
Estas considerações motivam a definição dos espaços funcionais, a definição das aplicações e a formulação fraca estabelecidas na seção seguinte.

2.2 Formulação fraca

Defina os espaços
$$\mathcal{V}=\{v\in \mathcal{D}(\Omega)\times\mathcal{D}(\Omega)\mid \operatorname{div}v=0\},\qquad V=\overline{\mathcal{V}}^{[H^1(\Omega)]^2},\qquad H=\overline{\mathcal{V}}^{[L^2(\Omega)]^2}.\tag{2.3}$$
Defina também a forma bilinear $a:V\times V\to\mathbb{R}$ e a forma trilinear $b:V\times V\times V\to\mathbb{R}$ por
$$a(u,v)=\sum_{i,j=1}^2(u^i_{x_j}, v^i_{x_j})_{L^2},\qquad b(u,w,v)=\sum_{i,j=1}^2 (u^jw^i_{x_j},v^i)_{L^2}.\tag{2.4}$$
Note que $a(\cdot,\cdot)$ é o produto interno usual em $[H_0^1(\Omega)]^2$. A seguir, vamos considerar o seguinte problema:
Problema 2.2 (Formulação fraca). Dados uma função $f:[0,T]\to V'$ e um vetor $u_0\in H$, provar que existe uma função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)^{\text{(v)}}$ tal que, para todo $v\in V$,
$$\left\{\begin{aligned} &\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\;\text{ em }\;\mathcal{D}'(0,T),\\
&u(0)=u_0.
\end{aligned}\right.\tag{2.5}$$
Como antes, $(\cdot,\cdot)$ representa o produto interno usual em $[L^2(\Omega)]^2$. Note que (2.5)$_1$ é uma versão mais fraca de (2.2). A função $u$ deverá ter regularidade suficiente para que a condição (2.5)$_2$ tenha sentido.

2.3 Preliminares

Nesta seção apresentaremos alguns resultados que serão necessários na seção seguinte. Começamos com dois resultados gerais.
Teorema 2.3. Seja $\{e_j\}_{j\in J}$ uma família ortonormal em um espaço de Hilbert $\mathcal{H}$. São equivalentes:
(I) $\{e_j\}_{j\in J}$ é maximal (no sentido de inclusão de conjuntos).
(II) $ x=\sum_{j\in J}(x,e_j)e_j$ para todo $x\in \mathcal{H}$.
(III) $ \|x\|^2=\sum_{j\in J}|(x,e_j)|^2$ para todo $x\in \mathcal{H}$.
(IV) $\overline{\operatorname{span}\{e_j\mid j\in J\}}=\mathcal{H}$.
Prova: Para (I) $\Rightarrow$ (II) $\Rightarrow$ (III) $\Rightarrow$ (I), ver [10] (Corolário 12.8, p. 532). A implicação (II) $\Rightarrow$ (IV) é imediata. Para (IV) $\Rightarrow$ (II) ver [3] (Corolário 5.10, p. 143). $\square$

Observação 2.4. No contexto do método de Galerkin, a "base" de um espaço normado separável $X$ geralmente é definida como sendo uma família L.I. contável cujo espaço gerado é denso em $X$ (a separabilidade do espaço garante a existência de tal família - ver Lema 4.1, p. 83, em [8]). Por outro lado, no contexto dos espaços de Hilbert, a "base" às vezes é definida como sendo uma família ortonormal maximal. Segue do Teorema 2.3 que, se $X$ é Hilbert separável, então estes dois conceitos de base coincidem.  A seguir, a expressão "sistema ortonormal completo" será utilizada como sinônimo de "família ortonormal maximal".
Teorema 2.5. Sejam $V$ e $H$ espaços de Hilbert tais que $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas. Então,
$$W(a,b;V,V'):=\{u\in L^2(a,b;V)\mid u'\in L^2(a,b;V')\}\hookrightarrow C([a,b]; H).$$ Mais ainda, dadas $u,v\in W(a,b; V,V')$, vale a fórmula de integração por partes
$$\begin{gathered}\int_a^b\langle u'(t),v(t)\rangle_{V'\times V}\;dt\\=(u(b),v(b))_H-(u(a),v(a))_H-\int_a^b\langle u(t),v'(t)\rangle_{V\times V'}\;dt.\end{gathered}\tag{2.6}$$
Prova: Ver [6] (teoremas 1 e 2, p. 473 e 477). $\square$

Agora, vejamos alguns resultados que se referem especificamente aos espaços e às aplicações definidas na seção precedente.
Lema 2.6. Os espaços $V$ e $H$ definidos em (2.3) possuem as seguintes propriedades:
(a) $V$ e $H$ são dados por$^{\text{(vi)}}$ $$V=\{\mathbf{w}\in [H_0^1(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0\},\;H=\{\mathbf{w}\in [L^2(\Omega)]^2\mid \operatorname{div}\mathbf{w}=0,\;(\mathbf{w}\cdot\mathbf{N})|_{\partial\Omega}=0\}.$$ (b) $V$ e $H$ com as normas induzidas de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente, são espaços de Hilbert separáveis.
(c) $V\hookrightarrow H\cong H'\hookrightarrow V'$, onde ambas as inclusões são contínuas e densas.
(d) A inclusão $V\hookrightarrow H$ é compacta.
Prova: (a) Ver [7] (Teoremas 4 e 6, p. 8 e 10) ou [11] (p. 67-68) ou [17] (Teoremas 1.4 e 1.6, p. 15 e 18). (b) Segue de $V$ e $H$ serem subespaços fechados de $[H_0^1(\Omega)]^2$ e $[L^2(\Omega)]^2$, respectivamente. (c) Ver [7] (p. 22) ou [17] (p. 248). (d) Ver [11] (Lema 6.8, p. 74). $\square$

Seja $A:V\to V'$ o operador associado à forma bilinear $a(\cdot,\cdot)$, definida em (2.4). Então (ver [12], p. 15), $A$ é uma bijeção linear contínua com inversa contínua que satisfaz
$$\langle Au,v\rangle_{V'\times V}=a(u,v),\quad \forall\ u,v\in V.\tag{2.7}$$ Em particular, se $u\in V$ é tal que $Au\in H$, então $(Au,v)=a(u,v)$ para toda $v\in V$.
Lema 2.7. O espaço $H$ definido em (2.3) possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in \mathbb{N}}$ formado por autofunções do operador $A$. Mais ainda, se $\{\lambda_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ são os autovetores correspondentes, então:
(a) $(v,w_j)_V=\lambda_j(v,w_j)$ para todo $v\in V$.
(b) $\left\{\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right\}_{j\in \mathbb{N}}$ é um sistema ortonormal completo em $V$.
Prova: Defina $X=\{u\in V\mid Au\in H\}$. Das propriedades de $A$, segue que $\tilde{A}:=A|_{X}$ é uma bijeção linear contínua com inversa $\tilde{A}^{-1}:H\to X$ contínua. Segue do item (d) do Lema 2.6 que $\tilde{A}^{-1}:H\to H$ é compacta. Mais ainda, $\tilde{A}^{-1}$ é simétrica porque, dados $f,g\in H$,
\begin{align*} (\tilde{A}^{-1}h,g)&=(g,\tilde{A}^{-1}h)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)=a(\tilde{A}^{-1}g,\tilde{A}^{-1}h)\\
&=a(\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(\tilde{A}\tilde{A}^{-1}h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,\tilde{A}^{-1}g).
\end{align*} Segue do teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos em espaços de Hilbert (Teorema 15.39, p. 673, em [9]) que $H$ possui um sistema ortonormal completo $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ formado por autovetores de $\tilde{A}^{-1}$, associados a uma família $\{\mu_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ de autovalores não nulos. Como este sistema coincide com as autofunções de $A$, a primeira afirmação está provada. O item (a) segue de um cálculo direto. Da parte já provada, o item (II) do Teorema 2.3 se verifica para $e_j=w_j$ e $\mathcal{H}=H$. Usando isto e o item (a), concluímos que o item (II) do Teorema 2.3 também se verifica para $e_j=w_j/\sqrt{\lambda_j}$ e $\mathcal{H}=V$, onde $\lambda_j=\mu_j^{-1}$. Logo, o item (b) está provado. $\square$

Combinando o Teorema 2.3 como o Lema 2.7 concluímos que, para todo $v\in V$,
$$\|v\|_V^2=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(v,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(v,w_j\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\lambda_j\left|\left(v,w_j\right)\right|^2.\tag{2.8}$$ Analogamente, usando (2.7) concluímos que, para todo $h\in V'$,
$$\begin{aligned} \|{A^{-1}}h\|_{V}^2&=\sum_{j=1}^\infty\left|\left(A^{-1}h,\frac{w_j}{\sqrt{\lambda_j}}\right)_V\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|a(A^{-1}h,w_j)\right|^2\\
&=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle AA^{-1}h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2
=\sum_{j=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left\langle h,w_j\right\rangle_{V'\times V}\right|^2.
\end{aligned}\tag{2.9}$$
Lema 2.8. A forma trilinear definida em (2.4) é contínua e, para quaisquer $u,\tilde{u},v,w\in V$, satisfaz:
(a) $b(u,w,v)=-b(u,v,w)$.
(b) $|b(w,w,u)|\leq C\|w\|_H\|w\|_V\|u\|_V$.
(c) $b(u,u,v)-b(\tilde{u},\tilde{u},v)=b(u-\tilde{u},u,v)-b(u-\tilde{u},u-\tilde{u},v)+b(u,u-\tilde{u},v)$.
Prova: (a) Ver [4] (Lemas 1 e 2, p. 126) ou [11] (Lema 6.5, p. 72) ou [12] (Lemas 1 e 3, p. 115 e 119) ou [17] (Lemas 1.2 e 1.3, p. 162 e 163). (b) Ver [4] (p. 155 e 156) ou [12] (p. 122) ou [17] (p. 293). (c) Ver [12] (Observação 3, p. 122). $\square$

Observação 2.9. Fixado $(u,w)\in V\times V$, segue do Lema 2.8 que a aplicação $v\mapsto b(u,w,v)$ é um funcional linear contínuo. Logo, pelo Teorema de Representação de Riesz, podemos definir uma aplicação bilinear contínua $B:V\times V\to V'$ satisfazendo $\langle B(u,w),v\rangle_{V'\times V}=b(u,w,v)$ para quaisquer $u,w,v\in V$.
Lema 2.10. Se $u,v\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$, então existe uma constante positiva $C$ tal que
$$\|B(u(t),v(t))\|_{V'}\leq C\|u(t)\|_V^{1/2}\|v(t)\|_V^{1/2},\quad\text{q.s. em}\quad[0,T]\tag{2.10}$$ e, consequentemente, $B(u(\cdot),v(\cdot))\in L^2(0,T;V')$.
Prova: Ver [4] (Lema 4, p. 130) ou [12] (Lema 4, p. 120) ou [17] (p. 293). $\square$
Lema 2.11 (De Rham, Nečas). Sejm $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ um aberto limitado com fronteira regular e $S\in[H^{-1}(\Omega)]^2$. Se
$$\langle S,v\rangle_{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=0,\quad\forall \ v\in\mathcal{V},$$ então existe uma única função $P\in L^2(\Omega)$ com média nula satisfazendo $S=\nabla P$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$ e verificando
$$\|P\|_{L^2(\Omega)}\leq a\|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2},\quad \|S\|_{[H^{-1}(\Omega)]^2}\leq b\|P\|_{L^2(\Omega)},\tag{2.11}$$ onde $a$ e $b$ são constantes positivas que dependem apenas de $\Omega$.
Prova: Ver [2] (Proposição IV.1.7, p. 238, e Teorema IV.2.3, p. 242) ou [15] (Lema 2.2.2, p. 75) ou [17] (proposições 1.1 e 1.2, p. 14, e Nota 1.4, p. 15). $\square$

2.4 Existência e unicidade de solução fraca

O teorema a seguir resolve o Problema 2.2.
Teorema 2.12. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo,$^{\text{(vii)}}$ para todo $v\in V$,
$$\left\{\begin{aligned} &\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)+\nu a(u(\cdot),v)+b(u(\cdot), u(\cdot),v)=\langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T),\\
&u(0)=u_0.
\end{aligned}\right.\tag{2.12}$$
Prova:
  • Existência
PROBLEMA APROXIMADO

Seja $\{w_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ a base de $H$ dada pelo Lema 2.7. Para cada $m\in\mathbb{N}$, defina $V_m=\mathrm{span}\{w_1,...,w_m\}$. O primeiro passo é mostrar que, para cada $m\in\mathbb{N}$ e cada $j=1,...,m$, existem
$$\left\{\begin{aligned} u_m(t)=\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_j\in V_m,&\\
\quad {u_0}_m\in V_m,&
\end{aligned}\right.\tag{2.13}$$ satisfazendo o "problema aproximado"
$$\left\{\begin{aligned} &(u'_m(t),w_j)+\nu a(u_m(t),w_j)+b(u_m(t), u_m(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T]\\
&u_m(0)={u_0}_m,\\
&{u_0}_m\overset{m\to\infty}{\longrightarrow} u_0\quad\text{em}\quad H.
\end{aligned}\right.\tag{2.14}$$ Seja
$${u_0}_m=\sum_{i=1}^m(u_0,w_i)w_i\tag{2.15}$$ a projeção de $u_0=\sum_{i=1}^\infty(u_0,w_i)w_i$ sobre $V_m$. Então $({u_0}_m)$ é uma sequência em $H$ satisfazendo (2.13)$_2$ e (2.14)$_3$. Assim, substituindo (2.13)$_1$ e (2.15) em (2.14)$_{1,2}$, concluímos que resolver o problema aproximado equivale a resolver o seguinte sistema de EDOs com $1\leq j\leq m$:
$$\left\{\begin{aligned} &g'_{jm}(t)+\lambda_jg_{jm}(t)+\sum_{i,k=1}^mb(g_{im}(t), g_{km}(t),w_j)=\langle f(t),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ q.s. em }[0,T],\\
&g_{jm}(0)=(u_0,w_j),\\
\end{aligned}\right.\tag{2.16}$$ onde $\lambda_j\in \mathbb{R}$ é o autovalor correspondente à autofunção $w_j$. Pelo Teorema de Carathéodory, para cada $m\in\mathbb{N}$ o sistema (2.16), e por conseguinte o sistema de interesse (2.14), possui uma única solução local absolutamente contínua definida sobre um intervalo $[0,t_m]$. A primeira estimativa feita a seguir garante que tal solução pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$.

1ª ESTIMATIVA

Multiplicando (2.14)$_1$ por $g_{jm}(t)$ e somando com respeito a $j$, segue que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))+\nu a(u_m(t),u_m(t))+b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=\langle f(t),u_m(t)\rangle_{V'\times V}\\
&\leq \|f(t)\|_{V'}\|u_m(t)\|_{V}.
\end{align*}$$ Note que
$$\begin{align*} (u'_m(t),u_m(t))&=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2,\\
a(u_m(t),u_m(t))&=\|u_m(t)\|^2_V,\\
b(u_m(t), u_m(t),u_m(t))&=0,
\end{align*}$$ onde na segunda igualdade usamos a definição de $a(\cdot,\cdot)$ e, na terceira, usamos o Lema 2.8. Portanto, pela desigualdade de Young,
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+\nu \|u_m(t)\|^2_V\leq C_\varepsilon\|f(t)\|_{V'}^2+\varepsilon\|u_m(t)\|_{V}^2.$$ Tomando $\varepsilon$ suficientemente pequeno (de modo que $\nu-\varepsilon>0$), obtemos
$$\frac{d}{dt}|u_m(t)|_H^2+ \|u_m(t)\|^2_V\leq C_1\|f(t)\|_{V'}^2.$$ Integrando de $0$ até $t\in[0,t_m]$, resulta de (2.14)$_2$ que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq |{u_0}_m|_H^2+C_1\|f\|_{L^2(0,T;V')}.$$ De (2.14)$_3$, obtemos uma constante $C$ (independente de $t_m$) tal que
$$|u_m(t)|_H^2+\int_0^t\|u_m(s)\|^2_V\;ds\leq C,\quad\forall\ t\in[0,t_m].
\tag{2.17}$$ Assim, a solução $Y_m=(g_{1m},...,g_{mm})$ do sistema (2.16) satisfaz
$$|Y_m(t)|_{\mathbb{R}^m} =\sum_{i=1}^mg_{im}^2(t)=\left(\sum_{i=1}^mg_{im}(t)w_i,\sum_{k=1}^mg_{km}(t)w_k\right)
=(u_m(t),u_m(t))
=|u_m(t)|^2_H\leq C$$ para todo $t\in [0,t_m]$. Isto implica que $Y_m$, e por conseguinte a solução $u_m$ de (2.14), pode ser estendida ao intervalo $[0,T]$. Uma vez que dispomos de uma solução definida sobre $[0,T]$, podemos repetir os cálculos anteriores com $T$ no lugar de $t_m$ e concluir que (2.17) vale com $T$ no lugar de $t_m$. Portanto,
$$\begin{align*} (u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.18}\\
(u_m)\quad&\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V).\tag{2.19} \end{align*}$$
2ª ESTIMATIVA

Como o operador $\tilde{A}:X\to H$ tem inversa simétrica (ver Seção 2.3), segue do item (a) do Lema 2.7 que
$$(A^{-1}h,g)_V=\lambda_j(\tilde{A}^{-1}h,g)=\lambda_j(h,\tilde{A}^{-1}g)=(h,A^{-1}g)_V,\quad \forall\ h,g\in H.$$ Logo, por (2.8),
\begin{align*}\|u'_m(t)\|_{V'}^2=\|AA^{-1}u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\|A^{-1}u'_m(t)\|_V^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(A^{-1}u'_m(t),w_j\right)_V\right|^2\\
&=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j}\left|\left(u'_m(t),A^{-1}w_j\right)_V\right|^2
=c\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{\lambda_j^2}|(u'_m(t),w_j)_V|^2\\
&=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|(u'_m(t),w_j)|^2
=c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle u'_m(t),w_j\rangle_{V'\times V}|^2.
\end{align*} Escrevendo $h_m(t)=f(t)-\nu Au_m(t)-B(u_m(t),u_m(t))$, segue de (2.14)$_1$, (2.9) e (2.10) que
\begin{align*} \|u'_m(t)\|_{V'}^2&\leq c\sum_{i=1}^m\frac{1}{\lambda_j}|\langle h_m(t),w_j\rangle _{V'\times V}|^2=c\|{A^{-1}}h_m(t)\|_{V}^2\leq c_1\|h_m(t)\|_{V'}^2\\
&\leq c_1\big(\|f(t)\|_{V'}+\nu \|Au_m(t)\|_{V'}+\|B(u_m(t),u_m(t))\|_{V'}\big)^2\\
&\leq c_2\big(\|f(t)\|_{V'}^2+\|u_m(t)\|^2_{V}+\|u_m(t)\|^2_{V}\big).
\end{align*} Como $f\in L^2(0,T;V')$, segue de (2.19) que
$$(u'_m)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.20}$$
PASSAGEM AO LIMITE

Resulta de (2.18), (2.19) e (2.20) que existe $u\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ tal que
$$\begin{align*} u_m&\overset{*}{\rightharpoonup} u\quad\text{ em}\quad L^\infty(0,T;H),\tag{2.21}\\
u_m&\rightharpoonup u\quad\text{ em}\quad L^2(0,T;V),\tag{2.22}\\
u'_m&\rightharpoonup u'\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V').\tag{2.23} \end{align*}$$ De (2.14)$_1$ resulta que, para $1\leq j\leq m$,
$$\label{} (u'_m(\cdot),w_j)+\nu a(u_m(\cdot),w_j)+b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\text{ em }\mathcal{D}'(0,T)\tag{2.24}.
$$ Vejamos que
$$\left.\begin{aligned}(u'_m(\cdot),w_j)&\to \frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)\\
a(u_m(\cdot),w_j)&\to a(u(\cdot),w_j)\\
b(u_m(\cdot), u_m(\cdot),w_j)&\to b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)
\end{aligned}\right\}\quad \text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T)^{\text{(viii)}}.\tag{2.25}$$
A seguir provaremos a terceira convergência, que envolve o termo não linear da equação (graças à linearidade, as duas primeiras convergência são obtidas de maneira mais simples e, por isso, omitiremos os detalhes). Das limitações (2.19) e (2.20), concluímos que
$$(u_m)\quad\text{é limitada em}\quad W:= \{g\in L^2(0,T;V)\mid g'\in L^2(0,T;V')\}.\tag{2.26}$$ Pelo Teorema de Aubin-Lions, $W\overset{\mathrm{c}}{\hookrightarrow} L^2(0,T; H)$ (aqui estamos usando os itens (b), (c) e (d) do Lema 2.6). Logo, passando a uma subsequência,
$$u_m\to u\quad\text{em}\quad L^2(0,T;H).$$ Consequentemente,
$$u_m^i\to u^i\quad\text{em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i=1,2$$ onde $Q=\Omega\times(0,T)$ (para detalhes sobre o isomorfismo acima, ver p. 24 em [13]). Resulta disto que, passando a uma subsequência,
$$u_m^iu_m^k\to u^iu^k\quad\text{q.s. em}\quad Q,\qquad i,k=1,2.\tag{2.27}$$ Como $n=2$, temos $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^4(\Omega)$ (ver Teorema 4.12, p. 85, em [1]). Consequentemente, $L^2(0,T;V)\hookrightarrow L^2(0,T;[L^4(\Omega)]^2)$ e
\begin{align*} \|u_m^iu_m^k\|_{L^2}^2&=\int_\Omega|u_m^i|^2|u_m^k|^2\;dx
\leq\left(\int_\Omega|u_m^i|^4\;dx\right)^{1/2}\left(\int_\Omega|u_m^k|^4\;dx\right)^{1/2}=\|u^i_m\|_{L^4}^2\|u^k_m\|_{L^4}^2\\
&\leq \frac{1}{2}\|u^i_m\|_{L^4}^4+\frac{1}{2}\|u^k_m\|_{L^4}^4.
\end{align*} Logo, de (2.19),
$$(u_m^iu_m^k)\quad\text{é limitada em}\quad L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(Q),\qquad i,k=1,2.\tag{2.28}$$ De (2.27), de (2.28) e do Lema de Lions, segue que
$$u_m^iu_m^k\rightharpoonup u^iu^k\quad\text{em}\quad L^2(Q)\cong L^2(0,T;L^2(\Omega)),\qquad i,k=1,2.$$ Isto implica que
$$\int_0^T(u^k_m(t)v(\cdot,t),u_m^i(t))_{L^2}\;dt=\int_Q u^i_mu^k_mv\;dz\to\int_Q u^iu^kv\;dz=\int_0^T(u^k(t)v(\cdot,t),u^i(t))_{L^2}\;dt$$ para toda $ v\in L^2(Q)$. Tomando $v(x,t)=\theta(t)\frac{d}{dx_k}w_j^i(x)$ com $\theta\in L^2(0,T)$ e somando com respeito aos índices $i,k$, segue que
$$\int_0^Tb(u_m(t),\theta(t)w_j,u_m(t))\;dx\to\int_0^Tb(u(t),\theta(t)w_j,u(t))\;dx.$$ Do Lema 2.8, obtemos
$$\int_0^Tb(u_m(t),u_m(t),w_j)\theta(t)\;dt\to\int_0^Tb(u(t),u(t),w_j)\theta(t)\;dt,\quad\forall\ \theta\in L^2(0,T).$$ A última convergência vale, em particular, para todo $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e, portanto,
$$b(u_m(\cdot),u_m(\cdot),w_j)\to b(u(\cdot),u(\cdot),w_j)\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T).$$ Isto conclui a prova de (2.25). Assim, fixando $j\in\mathbb{N}$ e tomando o limite em (2.24) com $m\to\infty$, concluímos que
$$\frac{d}{dt}(u(\cdot),w_j)+\nu a(u(\cdot),w_j)+b(u(\cdot), u(\cdot),w_j)=\langle f(\cdot),w_j\rangle_{V'\times V}\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(0,T),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Multiplicando por $\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}$, segue do item (b) do Lema 2.7 (e do Teorema 2.3) que vale (2.12)$_1$.

CONDIÇÃO INICIAL

Já vimos que $u$ pertence ao espaço $W$ definido em (2.26). Logo, o Teorema 2.5 implica que $u\in C([0,T];H)$ e, portanto, $u(0)$ tem sentido. De (2.21) e (2.23),
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),v(t))\;dt&\to \int_0^T(u(t),v(t))\;dt,\quad\forall\ v\in L^1(0,T;H),\\
\int_0^T(u_m'(t),z(t))\;dt=\int_0^T\langle u_m'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),z(t)\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ z\in L^2(0,T;V).
\end{align*} Tome $\theta\in C^1[0,T]$ tal que $\theta(0)=1$ e $\theta(T)=0$. Das últimas duas convergências com $v(t)=\theta'(t)w_j$ e $z(t)=\theta(t)w_j$ segue que
\begin{align*} \int_0^T(u_m(t),\theta'(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T(u(t),\theta'(t)w_j)\;dt=\int_0^T\langle u(t),\theta'(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N},\\
\int_0^T(u'_m(t),\theta(t)w_j)\;dt&\to \int_0^T\langle u'(t),\theta(t)w_j\rangle_{V'\times V}\;dt,\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.
\end{align*} Somando as duas últimas convergências, segue da fórmula de integração por partes (2.6) que
$$(u_m(0),w_j)\to (u(0),w_j),\quad\forall\ j\in\mathbb{N}.$$ Como $\operatorname{span}\{w_j\mid j\in\mathbb{N}\}$ é denso em $H$ (veja Teorema 2.3), segue de (2.14)$_2$ e da última convergência que
$${(u_0}_m,v)=(u_m(0),v)\to (u(0),v),\quad\forall\ v\in H.$$ Mas, de (2.14)$_3$,
$$({u_0}_m,v)\to (u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$ Logo, vale (2.12)$_2$ porque, pela unicidade do limite, as duas últimas convergências implicam que
$$(u(0),v)=(u_0,v),\quad\forall\ v\in H.$$
REGULARIDADE EXTRA

A igualdade já provada (2.12)$_1$ significa que, para quaisquer $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ e $v\in V$,
$$\left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle+ \big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle+\big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle.%,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V.
\tag{2.29}$$ Mas,
\begin{align*} \big\langle b(u(\cdot),u(\cdot),v),\theta\big\rangle&=\int_0^T b(u(t),u(t),v)\theta(t)\;dt
=\int_0^T\langle B(u(t),u(t)),v\rangle_{V'\times V}\theta(t)\;dt\\
&=\int_0^T\langle B(u(t),u(t))\theta(t),v\rangle_{V'\times V}\;dt
=\left\langle \int_0^TB(u(t),u(t))\theta(t)\;dt,v\right\rangle_{V'\times V}\\
&=\Big\langle \langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}.
\end{align*} Observe que na penúltima igualdade estamos usando o Lema 2.10, de acordo com o qual a integral que aparece dentro da dualidade está bem definida. Analogamente,
\begin{gather*} \left\langle \frac{d}{dt}(u(\cdot),v),\theta\right\rangle=\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\qquad\qquad
\big\langle \nu a(u(\cdot),v),\theta\big\rangle=\Big\langle \langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}\\
\big\langle \langle f(\cdot),v\rangle_{V'\times V},\theta\big\rangle=\Big\langle \langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V} \end{gather*} Logo, por (2.29),
$$\Big\langle \langle u'(\cdot),\theta\rangle+\langle\nu Au(\cdot),\theta\rangle+\langle B(u(\cdot),u(\cdot)),\theta\rangle-\langle f(\cdot),\theta\rangle,v\Big\rangle_{V'\times V}=0,\quad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T),\;v\in V$$ donde
$$\big\langle u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot),\theta\big\rangle =0\quad\text{em}\quad V',\qquad\forall\ \theta\in\mathcal{D}(0,T).$$ Isto implica que
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))-f(\cdot)=0\quad\text{em}\quad \mathcal{D}'(0,T;V').$$ Por hipótese, $f(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Já vimos que $u\in L^2(0,T;V)$ e $u'\in L^2(0,T;V')$. Como $A:V\to V'$ é limitado, segue que $Au(\cdot)\in L^2(0,T;V')$. Do Lema 2.10, $B(u(\cdot),u(\cdot))\in L^2(0,T;V')$. Logo, a última igualdade vale em $L^2(0,T;V')$ e pode ser reescrita como
$$u'(\cdot)+\nu Au(\cdot)+B(u(\cdot),u(\cdot))=f(\cdot)\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V')$$ donde
$$u'(t)+\nu Au(t)+B(u(t),u(t))=f(t)\quad\text{em}\quad V',\qquad\text{q.s. em}\quad [0,T].$$
  • Unicidade
Sejam $u,\tilde{u}\in L^\infty(0,T;H)\cap L^2(0,T;V)$ duas soluções do problema (2.12) com $u',\tilde{u}'\in L^2(0,T;V')$. Então, de (2.30), a função $w:=u-\tilde{u}$ satisfaz
$$\left\{\begin{aligned} &w'(t)+\nu Aw(t)+B(u(t), u(t))-B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t))=0\quad\text{em}\quad V',\text{ q.s. em }[0,T],\\
&w(0)=0.
\end{aligned}\right.\tag{2.31}$$ De (2.31)$_1$ segue que, para todo $v\in V$,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle \nu Aw(t),v\rangle_{V'\times V}+\langle B(u(t), u(t)),v\rangle_{V'\times V}-\langle B(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v\rangle_{V'\times V}=0$$ q.s. em $[0,T]$, ou ainda,
$$\langle w'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),v)+b(u(t), u(t)),v)-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),v)=0\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Em particular,
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))+b(u(t), u(t)),w(t))-b(\tilde{u}(t), \tilde{u}(t)),w(t))=0$$ q.s. em $[0,T]$. Pelo Lema 2.8, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu a(w(t),w(t))=-b(w(t),u(t),w(t))\leq C\|w(t)\|_{H}\|w(t)\|_{V}\|u(t)\|_V$$ q.s. em $[0,T]$. Da definição de $a(\cdot,\cdot)$ e da desigualdade de Young, segue que
$$\langle w'(t),w(t)\rangle_{V'\times V}+\nu\|w(t)\|_V^2\leq \nu\|w(t)\|_{V}^2+ C\|w(t)\|_{H}^2\|u(t)\|_V^2\quad\text{q.s. em}\quad[0,T].$$ Integrando sobre $(0,t)$ e usando (2.31)$_2$, concluímos que
$$\|w(t)\|_H=\int_0^t\frac{d}{dt}\|w(s)\|_H\;ds = 2\int_0^t\langle w'(s),w(t)\rangle_{V'\times V}\;ds \leq C\int_0^t\|w(s)\|_{H}^2\|u(s)\|_V^2\;ds.$$ Pela desigualdade de Grönwall concluímos que $w=0$ e, portanto, $u=\tilde{u}$. $\square$

Observação 2.13. Note que provamos mais do que enunciamos no Teorema 2.12. Na verdade, demonstramos o seguinte resultado:
Teorema 2.14. Dados $f\in L^2(0,T;V')$ e $u_0\in H$, existe uma única função $u\in L^\infty(0,T; H)\cap L^2(0,T;V)$ com $u'\in L^2(0,T;V')$ satisfazendo $$\left\{\begin{aligned}&u'+\nu Au+B(u,u)=f\quad\text{em}\quad L^2(0,T;V'),\\&u(0)=u_0.\end{aligned}\right.$$
Isto implica que
$$\langle u'(t),v\rangle_{V'\times V}+\nu a(u(t),v)+b(u(t), u(t),v)=\langle f(t),v\rangle_{V'\times V}\quad\text{q.s em}\quad[0,T],\quad\forall\ v\in V$$ que também é uma versão fraca de (2.2), porém, "melhor" do que a formulação fraca original (2.5)$_1$.

2.5 Recuperação da pressão

Note que a pressão $p$ que aparece no problema original (2.1) foi "perdida" no processo da formulação fraca. Nesta seção vamos "recuperá-la", também em um sentido fraco - diferente, porém, daquele que foi considerado anteriormente. Especificamente, vamos "recuperá-la" no sentido das distribuições sobre $Q:=\Omega\times (0,T)$.

Observação 2.15. No que segue, o valor de uma distribuição $g\in\mathcal{D}'(\Omega)$ em $v\in\mathcal{D}(\Omega)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}$. Analogamente, o valor de $g\in\mathcal{D}'(Q)$ em $v\in\mathcal{D}(Q)$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}$ e o valor de $g\in\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))$ em $v\in\mathcal{D}(0,T;H^{-1}(\Omega))$ será representado por $\langle g,v\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))}$.

Observação 2.16. Pelo Teorema de Extensão de Hahn-Banach, todo funcional $g\in V'$ pode ser visto como um elemento de $([H_0^1(\Omega)]^2)'\cong [(H_0^1(\Omega))']^2=[H^{-1}(\Omega)]^2$ satisfazendo $\|g\|_{V'}=\|g\|_{[{H^{-1}(\Omega)]^2}}$ e
$$\langle g,v\rangle_{V'\times V}=\langle g,v\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)},\quad\forall\ v\in V.\tag{2.33}$$
Observação 2.17. Seja $v\in L^2(0,T;L^2(\Omega))$. Como $L^2(0,T;L^2(\Omega))\cong L^2(\Omega\times (0,T))\subset\mathcal{D}'(Q)$, a função vetorial $v$ pode ser vista como uma distribuição em $\mathcal{D}'(Q)$, especificamente, a distribuição definida pela função escalar $(x,t)\mapsto [v(t)](x)$. Assim, para toda $\varphi \in \mathcal{D}(Q)$,$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_{Q}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dz=\int_0^T\int_{\Omega}[v(t)](x)\varphi(x,t)\;dx\;dt=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt.$$ 
Observação 2.18. Seja $v\in C([0,T];H^{-1}(\Omega))$ tal que $v'\in L^2(0,T; H^{-1}(\Omega))$. A função $v$ pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q).$$ Seja $\partial_t v$ a derivada distribucional de $v$ com respeito a $t$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Para quaisquer $\phi\in \mathcal{D}(\Omega)$ e $\theta\in \mathcal{D}(0,T)$,
\begin{align*} \langle \partial_tv,\phi\theta\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} &=-\langle v,\phi\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =-\int_0^T\langle v(t), \phi\theta'(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=-\int_0^T\langle v(t)\theta'(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt\\
&=-\left\langle\int_0^T v(t)\theta'(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =-\left\langle\langle v,\theta'\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\left\langle\langle v',\theta\rangle_{\mathcal{D}'(0,T;H^{-1}(\Omega))} , \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)} =\left\langle\int_0^T v'(t)\theta(t)\;dt, \phi\right\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\\
&=\int_0^T \langle v'(t)\theta(t), \phi\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\int_0^T \langle v'(t), \phi\theta(t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
\end{align*} donde
$$\langle \partial_tv,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T \langle v'(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ porque $\operatorname{span}\{\phi\theta\in \mathcal{D}(Q) \mid\phi\in \mathcal{D}(\Omega),\;\theta\in \mathcal{D}(0,T)\}$ é denso em $\mathcal{D}(Q)$ (ver Teorema 39.2, p. 409, em [18]. Logo, a função $v'$ também pode ser vista como um elemento de $\mathcal{D}'(Q)$, definido por
$$\langle v',\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}=\int_0^T\langle v'(t),\varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt,\quad\forall\ \varphi\in\mathcal{D}(Q)$$ e satisfazendo $v'=\partial_t v$ em $\mathcal{D}'(Q)$.

Agora, defina $U,F,\beta:[0,T]\to V'$ por
$$U(t)=\int_0^tu(s)\;ds,\quad F(t)=\int_0^tf(s)\;ds,\quad \beta(t)=\int_0^t B(u(s),u(s))\;ds.$$ Sabemos que $u,f,B\in L^2(0,T;V')$. Logo, $U$, $F$ e $\beta$ são absolutamente contínuas. Em particular,
$$ U,F,\beta\in C([0,T]; V')\tag{2.35}$$ Integrando (2.32)$_1$ concluímos que, para todo $t\in[0,T]$,
$$u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)=\int_0^tu'(s)\;ds+\nu \int_0^tAu(s)\;ds+\beta(t)=F(t)\text{ em } V'.\tag{2.36}$$ Defina $S:[0,T]\to V'$ por $S(t)=u(t)-u_0+\nu AU(t)+\beta(t)-F(t)$. De (2.35) e da Observação 2.16,
$$S\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2).\tag{2.37}$$ De (2.33) e de (2.36),
$$\langle S(t),v\rangle _{[H^{-1}(\Omega)]^2\times [H_0^1(\Omega)]^2}=\langle S(t),v\rangle _{V'\times V}=\langle 0,v\rangle _{V'\times V}=0,\quad \forall\ v\in V,\; t\in[0,T].$$ Resulta do Lema 2.11 que, para cada $t\in[0,T]$, existe $P(t)\in L^2(\Omega)$ tal que $S(t)=\nabla (P(t))$ em $[H^{-1}(\Omega)]^2$. Escrevendo $S(t)=(S_1(t),S_2(t))$, obtemos
$$S_i(t)=\partial_{x_i}(P(t))\quad\text{em}\quad H^{-1}(\Omega),\tag{2.38}$$ onde $\partial_{x_i}P(t)$ representa a derivada distribucional de $P(t)$ com respeito a $x_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Além disso, por (2.37), $\nabla (P(\cdot))\in C([0,T]; [H^{-1}(\Omega)]^2)$ e isto implica que $P\in C([0,T];L^2(\Omega))$ por causa da estimativa (2.11). Assim, a função $P$ (pela Observação 2.17) e a função $S_i$ (pela Observação 2.18) podem ser vistas como elementos de $\mathcal{D'}(Q)$ satisfazendo
\begin{align*}&\langle \partial_{x_i} P,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)} =\;\langle P, \varphi_{x_i}\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}
=-\int_0^T\langle P(t), \varphi_{x_i}(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt
=\int_0^T\langle \partial_{x_i} (P(t)), \varphi(\cdot,t)\rangle_{\mathcal{D}'(\Omega)}\;dt\\
&\hspace{2.08cm}\overset{(2.38)}{=}\int_0^T\langle S_i(t), \varphi(\cdot,t)\rangle_{H^{-1}(\Omega)\times H_0^1(\Omega)}\;dt
=\langle S_i,\varphi\rangle_{\mathcal{D}'(Q)}\end{align*} para toda $\phi\in \mathcal{D}(Q)$. Isto mostra que $\partial_{x_i}P=S_i$ em $\mathcal{D}'(Q)$. Derivando ambos os membros com respeito $t$ no sentido distribucional de $\mathcal{D}'(Q)$, segue da segunda parte da Observação 2.18 que
$$\partial_{x_i} \partial_tP=\partial_t\partial_{x_i}P=\partial_tS_i=S_i'\quad\text{em}\quad\mathcal{D}'(Q).$$ Definindo $p=-\partial_t P$, concluímos que
$$-\nabla p =(\partial_{x_1} \partial_tP,\partial_{x_2} \partial_tP)=(S_1',S_2')=S'=u'+\nu Au+B(u,u)-f\quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$ Isto prova o seguinte resultado, que nos dá uma versão fraca da equação original (2.1)$_1$:
Teorema 2.19. Existe uma distribuição $p\in\mathcal{D}'(Q)$ tal que a função $u$ dada pelo Teorema 2.14 satisfaz
$$u'+\nu Au+B(u,u)=f-\nabla p \quad\text{em}\quad [\mathcal{D}'(Q)]^2.$$
Notas

(i) De acordo com [17], p. 280.
(ii) A palavra "completas" refere-se ao fato de que não estamos considerando as equações estacionárias e nem linearizadas; estamos considerando as equações de evolução não lineares. O caso estacionário linearizado pode ser encontrado no Capítulo 1 de [17] e no Capítulo XIX de [7]. O Capítulo XIX de [7] também contém o caso não estacionário linearizado. E o Capítulo 2 de [17] contém o caso estacionário não linearizado.
(iii) Prêmio oferecido pelo The Clay Mathematics Institute. Os enunciados dos problemas foram extraídos da página oficial.
(iv) Esta regularidade é utilizada nas integrações por partes feitas neste parágrafo.
(v) De acordo com [16], p. 35, é natural procurar uma solução com essa regularidade porque, do ponto de vista físico, a condição $u\in L^\infty(0,T; H)$ expressa o fato de que a energia cinética do sistema permanece limitada e a condição $u\in L^2(0,T;V)$ expressa o fato de que a energia perdida para a viscosidade é finita.
(vi) Estas caracterizações de $V$ e $H$ não serão utilizadas explicitamente na próxima seção.
(vii) Pela regularidade de $u'$, o termo $\frac{d}{dt}(u(\cdot),v)$ pode ser escrito como $\langle u'(\cdot),v\rangle_{V'\times V}$.
(viii) Dizer que $T_m\to T$ em $\mathcal{D}'(0,T)$ significa que $\langle T_m,\theta\rangle\to \langle T,\theta\rangle$, para toda $\theta\in\mathcal{D}(0,T)$ (ver página 464 de [5] ou seção 1.19 em [8] ou parágrafo 6.16 em ]14]).

Referências

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