Provando um limite [dúvida de um leitor]

A pedido de um leitor, nesta postagem apresento solução para um problema envolvendo a noção de limite. O enunciado pede para provar a seguinte igualdade: 

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2}{3x - 4} = -1$$

De acordo com a definição formal de limite, devemos demonstrar que dado qualquer $$\varepsilon$$ positivo, existe um $$\delta$$ positivo tal que a implicação seguinte vale para todo $$x$$ do domínio de $$f$$ :

$$0 < | x - 1 | < \delta \Rightarrow \left | \frac{x^2}{3x - 4} -  (-1) \right | < \varepsilon$$

Entretanto, dando "uma mexida" na tese da implicação (usando procedimentos algébricos simples e propriedades do valor absoluto), notamos que

$$\left | \frac{x^2}{3x-4}-(-1) \right | = \left | \frac {x^2}{3x-4} + 1 \right | = \left | \frac{x^2+3x-4}{3x-4} \right |=$$

$$= \left | \frac{(x-1)(x+4)}{3x-4} \right | = \frac{|(x-1)(x+4)|}{|3x-4|} = \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}$$

Portanto, tudo o que precisamos fazer é mostrar  que dado $$\varepsilon > 0$$ , existe $$\delta>0$$ tal que

$$0 < | x - 1 | < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x - 4|} < \varepsilon$$

Advertimos que por uma questão de simplicidade, a partir daqui escreveremos apenas $$|x-1|<\delta$$ em vez de $$0<|x-1|<\delta$$ ficando, portanto, implícito que $$x\neq1$$ .

Vale frisar que a implicação acima deverá valer para todo $$x$$ do domínio de $$f$$ que satisfizer a condição da hipótese (isto não será mais mencionado e está implícito em toda a exposição seguinte). Observamos que o domínio não foi dado, mas podemos supor que seja o conjunto que contém todos os reais para os quais a expressão $$f(x)$$ está definida, a saber, o conjunto $$\mathbb{R}-\left \{\frac{4}{3} \right \}$$ . Isto é importante, pois nos diz que o número $$\delta$$  deve ser escolhido de modo a restringir os valores de $$x$$ a um intervalo aberto de centro $$1$$ (pois $$x\rightarrow1$$ ) do qual $$\frac{4}{3}$$ não participe. Sabemos, então, que $$\delta$$ não pode ser maior do que $$\frac{1}{3}\cong 0.3$$ . Assim, $$0.2$$ ou $$0.1$$ são escolhas permitidas. Adiantamos que optamos por esta última. Fazendo, então $$\delta < 0.1$$ concluímos o seguinte:

$$|x - 1| < \delta \Rightarrow |x - 1| < 0.1$$

$$\Rightarrow |x - 1| + 5 < 0.1 + 5$$

$$\Rightarrow |x - 1| + |5| < 5.1$$       (pela definição de valor absoluto)

$$\Rightarrow |x - 1 + 5| < 5.1$$       (pois |a + b| ≤ |a| + |b|)

$$\Rightarrow |x + 4| < 5.1$$

$$\Rightarrow |x + 4| < \frac{51}{10} \;\;\;\;\;[I]$$

Além disso,

$$|x - 1| < \delta \Rightarrow |x - 1| < 0.1$$

$$\Rightarrow 3|x - 1| < 0.3$$

$$\Rightarrow |3||x - 1|< 0.3$$       (pela definição de valor absoluto)

$$\Rightarrow |3(x - 1)|< 0.3$$        (pelas propriedades dos módulos)

$$\Rightarrow |3x - 3| < 0.3$$

$$\Rightarrow |3x - 3+0| < 0.3$$

$$\Rightarrow |3x - 3 -1 + 1| < 0.3$$

$$\Rightarrow |3x - 4 + 1| < 0.3$$

$$\Rightarrow |3x - 4 -(-1)| < 0.3$$

$$\Rightarrow |(-1) - (3x - 4)| < 0.3$$       (pois |a − b| = |b − a|)

$$\Rightarrow |-1| - |3x - 4| < 0.3$$     (pois |a| − |b| ≤ |a − b|)


$$\Rightarrow  1 - |3x - 4| < 0.3$$     (pela definição de valor absoluto)

$$\Rightarrow  - |3x - 4| < 0.3-1$$


$$\Rightarrow  - |3x - 4| < -0.7$$


$$\Rightarrow   |3x - 4| > 0.7$$


$$\Rightarrow \frac{1}{0.7} > \frac{1}{|3x-4|}$$


$$\Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{1}{0.7}$$


$$\Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{1}{\frac{7}{10}}$$


$$\Rightarrow \frac{1}{|3x-4|} < \frac{10}{7} \;\;\;\;\; [II]$$


Agora, usando $$[I]$$ , $$[II]$$ e a monotonicidade da multiplicação, concluímos que

$$|x-1| < \delta \Rightarrow |x-1| \cdot |x+4| \cdot \frac{1}{|3x-4|} < \delta \cdot \frac{51}{10} \cdot \frac{10}{7}$$

$$\Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \delta$$


Esta última desigualdade nos mostra que se $$\delta$$ for escolhido de modo que $$\frac{51}{7} \cdot \delta < \varepsilon$$ então nosso problema estará resolvido.  Isto evidentemente acontece se for $$\delta < \frac{7}{51} \varepsilon$$ .


Deste modo, se valer $$\delta <0.1$$ e $$\delta < \frac{7}{51} \varepsilon$$ , então podemos afirmar que


$$|x-1| < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \delta$$


$$\Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \frac{51}{7} \cdot \frac{7}{51} \varepsilon$$

$$\Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x-4|}< \varepsilon$$


Resumindo: acabamos de mostrar uma escolha conveniente para o valor de $$\delta$$ a partir da qual se pode concluir que, para qualquer que seja o $$\varepsilon$$ dado,

$$| x - 1 | < \delta \Rightarrow \frac{|x-1||x+4|}{|3x - 4|} < \varepsilon$$

Assim, o $$\delta$$ requerido existe, pois já o exibimos. Especificamente, tudo o que precisamos fazer é colocar  $$\delta = \min \left \{\frac{1}{10},\frac {7}{51} \varepsilon \right \}$$ . A demonstração está, portanto, completa pois é exatamente isto o que precisávamos fazer.

Leu até o fim? Comente! Eventuais dúvidas também podem ser mencionadas nos comentários que dentro do possível as esclarecerei.

Referência: LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. 3. ed. São Paulo, Editora Harbra ltda, 1994.

Detectou algum erro acima? Relate aqui, por favor.