quarta-feira, 19 de setembro de 2012

Dúvida do leitor [EDO]


Recentemente recebi uma dúvida de um leitor sobre equações diferenciais. A pergunta era a seguinte: "tem algum jeito simples de aprender o passo a passo da resolução dos exercícios?". Creio que uma (se não for a única) maneira de construir este aprendizado é praticando bastante. Como diz Elon Lages Lima (no prefácio de seu curso de análise volume 1):

Não se lê um livro de matemática como se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão...

Embora ele não se esteja se referindo exatamente às EDO, creio que esta afirmação se aplique a todos os ramos da matemática e eu a tomo como um conselho matemático universal, a partir do qual concluo que matemática se aprende fazendo. Deste modo, sugiro que você observe os exercícios resolvidos, tentando entender quais são as regras envolvidas e depois pratique bastante as aplicações destas regras. Livros e professores podem ser inestimáveis neste processo. Aqui vai, através de algumas Equações Diferenciais Ordinárias resolvidas, minha pequena contribuição:

Problema: reolver as seguintes equações diferenciais de variável separável:

$$1) \;\; \frac{dy}{dx} + 2xy=0 $$

$$2) \;\; \frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x} $$

$$3) \;\; 2\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}= 2 \frac{x}{y}$$

Solução:

$$1) \;\; \frac{dy}{dx} + 2xy=0 $$
Comece separando as variáveis (coloque tudo o que tem x de um lado e o que tem y do outro):
$$\frac{dy}{dx}=-2xy $$
Nunca deixe o termo dx (ou o dy) no denominador:
$$\frac{dy}{y}=-2x\;dx $$
Integre ambos os lados:
$$ \int \frac{dy}{y} = \int -2x\;dx$$
$$\ln{y} = -2 \frac{x^2}{2} + C $$
Simplificando a fração do lado esquerdo:
$$\ln{y} = -x^2 + C $$
Tomando a exponencial de ambos os lados (este procedimento é muito utilizado para simplificar expressões com logaritmo; você torna cada lado da igualdade o expoente de uma potência cuja base é a mesma base do logaritmo - neste caso o e):
$$ e^{\ln{y}}= e^{-x^2+C} $$
Pelas propriedades dos logaritmos e das potências:
$$ y = e^{-x^2}e^{C} $$
Observe que o segundo fator do produto acima (no lado direito da igualdade) é constante. Chamando ele de K, obtemos:
$$ y = e^{-x^2}K $$
Pelo comutatividade da multiplicação:
$$ y = Ke^{-x^2} $$


$$2) \;\; \frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x} $$
Separe as variáveis:
$$ \frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x} $$
Integre ambos os lados:
$$ \int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x} $$
$$ \ln{(y+1)} = \ln{x} + C $$
Tomando a exponencial de ambos os lados:
$$ e^{ \ln{(y+1)}} = e^{\ln{x} + C} $$
Aplique propriedades de potências e logaritmos:
$$ y+1 = e^{\ln{x}}e^{C} $$
Novamente, a mesma propriedade já utilizada (devida ao fato de a função exponencial ser a inversa da logarítmica):
$$ y+1 = x e^{C} $$
Dê outro nome para o coeficiente de x (só para ficar mais bonito) e subtraia 1 de ambos os lados da igualdade:
$$ y = Kx -1 $$


$$3)\;\;2\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}= \frac{2x}{y}$$
Para separa as variáveis, use algumas manipulações algébricas:
$$2\frac{dy}{dx}= \frac{2x}{y}+\frac{1}{y}$$
Somando as frações:
$$2\frac{dy}{dx}= \frac{2x+1}{y}$$
Desta vez, os denominadores desaparecem:
$$2y\;dy= 2x+1\;dx$$
Integre ambos os lados:
$$\int 2y\;dy= \int 2x+1\;dx$$
Aplique as propriedades das integrais:
$$2\int y\;dy= \int 2x\;dx+\int 1\;dx$$
$$2 \frac{y^2}{2}= 2\frac{x^2}{2}+x+C$$
Simplifique:
$$y^2= x^2+x+C$$
Extrai a raiz quadrada de ambos os lados:
$$y= \sqrt{x^2+x+C}$$

Referência: livros de equações diferenciais.
*Erros podem ser relatados aqui.

3 comentários :

  1. Obrigado Pedro sua ajuda foi de grande importância,
    e pela sua resolução me ajudou a entender um pouco melhor como resolver as equações, já que em sala de aula é mais difícil devido a correria do professor.
    Att Cícero Moraes

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  2. Excelente! Uma ajuda de grande importância. Parabéns

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