Dúvida do leitor [EDO]

Recentemente recebi uma dúvida de um leitor sobre equações diferenciais. A pergunta era a seguinte: "tem algum jeito simples de aprender o passo a passo da resolução dos exercícios?". Creio que uma (se não for a única) maneira de construir este aprendizado é praticando bastante. Como diz Elon Lages Lima (no prefácio de seu curso de análise volume 1):

Não se lê um livro de matemática como se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão...

Embora ele não se esteja se referindo exatamente às EDO, creio que esta afirmação se aplique a todos os ramos da matemática e eu a tomo como um conselho matemático universal, a partir do qual concluo que matemática se aprende fazendo. Deste modo, sugiro que você observe os exercícios resolvidos, tentando entender quais são as regras envolvidas e depois pratique bastante as aplicações destas regras. Livros e professores podem ser inestimáveis neste processo. Aqui vai, através de algumas Equações Diferenciais Ordinárias resolvidas, minha pequena contribuição:

Problema: reolver as seguintes equações diferenciais de variável separável:

$$1) \;\; \frac{dy}{dx} + 2xy=0$$

$$2) \;\; \frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x}$$

$$3) \;\; 2\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}= 2 \frac{x}{y}$$

Solução:

$$1) \;\; \frac{dy}{dx} + 2xy=0$$

Comece separando as variáveis (coloque tudo o que tem x de um lado e o que tem y do outro):

$$\frac{dy}{dx}=-2xy$$

Nunca deixe o termo dx (ou o dy) no denominador:

$$\frac{dy}{y}=-2x\;dx$$

Integre ambos os lados:

$$\int \frac{dy}{y} = \int -2x\;dx$$

Pelas regras básicas de integração:

$$\ln{y} = -2 \frac{x^2}{2} + C$$

Simplificando a fração do lado esquerdo:

$$\ln{y} = -x^2 + C$$

Tomando a exponencial de ambos os lados (este procedimento é muito utilizado para simplificar expressões com logaritmo; você torna cada lado da igualdade o expoente de uma potência cuja base é a mesma base do logaritmo - neste caso o e):

$$e^{\ln{y}}= e^{-x^2+C}$$

Pelas propriedades dos logaritmos e das potências:

$$y = e^{-x^2}e^{C}$$

Observe que o segundo fator do produto acima (no lado direito da igualdade) é constante. Chamando ele de K, obtemos:

$$y = e^{-x^2}K$$

Pelo comutatividade da multiplicação:

$$y = Ke^{-x^2}$$

$$2) \;\; \frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x}$$

Separe as variáveis:

$$\frac{dy}{y+1} = \frac{dx}{x}$$

Integre ambos os lados:

$$\int \frac{dy}{y+1} = \int \frac{dx}{x}$$

Regras básicas de integração:

$$\ln{(y+1)} = \ln{x} + C$$

Tomando a exponencial de ambos os lados:

$$e^{ \ln{(y+1)}} = e^{\ln{x} + C}$$

Aplique propriedades de potências e logaritmos:

$$y+1 = e^{\ln{x}}e^{C}$$

Novamente, a mesma propriedade já utilizada (devida ao fato de a função exponencial ser a inversa da logarítmica):

$$y+1 = x e^{C}$$

Dê outro nome para o coeficiente de x (só para ficar mais bonito) e subtraia 1 de ambos os lados da igualdade:

$$y = Kx -1$$

$$3)\;\;2\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}= \frac{2x}{y}$$

Para separa as variáveis, use algumas manipulações algébricas:

$$2\frac{dy}{dx}= \frac{2x}{y}+\frac{1}{y}$$

Somando as frações:

$$2\frac{dy}{dx}= \frac{2x+1}{y}$$

Desta vez, os denominadores desaparecem:

$$2y\;dy= 2x+1\;dx$$

Integre ambos os lados:

$$\int 2y\;dy= \int 2x+1\;dx$$

Aplique as propriedades das integrais:

$$2\int y\;dy= \int 2x\;dx+\int 1\;dx$$

Aplique as regras básicas de integração:

$$2 \frac{y^2}{2}= 2\frac{x^2}{2}+x+C$$

Simplifique:

$$y^2= x^2+x+C$$

Extrai a raiz quadrada de ambos os lados:

$$y= \sqrt{x^2+x+C}$$

Referência: livros de equações diferenciais.

*Erros podem ser relatados aqui.