Sobre a irracionalidade da soma e do produto dos números "e" e "pi".

Existe, se eu não estou enganado, um mundo inteiro que é a totalidade das verdades matemáticas, ao qual temos acesso somente em nossas mentes, assim como existe um mundo da realidade física, tanto um como o outro é independente de nós mesmos e são ambos de criação divina.

(Charles Hermite)

Um número $x$ é chamado de "algébrico" quando ele é solução de uma equação da forma

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_2x^2+a_1x+a_0=0,$$

onde os coeficientes $a_n$, $a_{n-1}$, ..., $a_2$, $a_1$ e $a_0$ são todos racionais. Por exemplo, o número $7$ é um número algébrico, pois ele é uma das soluções da equação $x^2-9x+14=0$. Embora as demonstrações não sejam simples, é um fato conhecido que os números $\pi$ e $e$ não são algébricos.

Um outro fato também conhecido, é que os números $\pi$ e $e$ não são racionais. Mas, o que dizer dos números $\pi+e$ e $\pi e$? Será que algum deles é racional? Será que são ambos irracionais? Na verdade, até o presente momento, este é um problema aberto da matemática. Isto significa que nenhum matemático, até hoje, foi capaz de responder a esta pergunta. Entretanto, é possível obter uma informação bem curiosa sobre este assunto, a qual apresento a seguir para comemorarmos o DIA DO PI.

Proposição: os números $\pi+e$ e $\pi e$ não são ambos racionais.

Prova: suponha que a proposição seja falsa. Então, a equação

$$x^2-(\pi+e)x+\pi e=0\tag{$*$}$$

possui todos os coeficientes racionais. Seque-se que as suas soluções são números algébricos. ABSURDO! Logo a proposição é verdadeira e, portanto, no máximo um dos números $\pi+e$ e $\pi e$ é racional.

$\square$

Pergunta para o leitor: porque dizer que "as raízes da equação $(*)$ são números algébricos" é um absurdo? O primeiro que responder não ganhará nada. Pelo contrário, ganhará alguma coisa: os parabéns!

Note que a proposição apresentada não exclui a possibilidade de $\pi+e$ e $\pi e$ serem ambos irracionais (e nem garante que um deles seja racional).

Observações:

- A primeira prova de que $e$ não é algébrico foi publicada em 1873 e é devida ao matemático francês Charles Hermite (retrato da direita);

- A primeira prova de que $\pi$ não é algébrico foi publicada em 1882 e é devida ao matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann (retrato da esquerda);

- Uma prova da irracionalidade de π pode ser vista aqui no BLOG MANTHANO;

- É possível que a soma de dois números irracionais seja racional, pois os números $1+\sqrt{2}$ e $1-\sqrt{2}$ são ambos irracionais, mas $$(1+\sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2;$$
- É possível que o produto de dois números irracionais seja racional, pois $$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=-1;$$
- Não é possível que a soma de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}+\frac{p}{q}=\frac{aq+bp}{bq};$$
- Não é possível que a soma de um racional com um irracional seja racional. Com efeito, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;

- Não é possível que o produto de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}=\frac{ap}{bq};$$
- Não é possível que o produto de um racional com um irracional seja racional. De fato, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;

Referências: Wikipedia, WolframAlpha, Ask Dr. Math, e MacTutor.

Erros podem ser relatados aqui.