Solucionando o Problema do Gato e Rato (parte 2)

Em postagem anterior, analisamos o problema e concluímos que o próximo passo seria resolver a seguinte equação diferencial:

Observemos, inicialmente, que o valor de f em a é 0, ou seja, f(a) = 0. Isto é fácil ver, basta olhar para a figura:

Além disso, quando o gato está em (a, 0) a direção de sua rota é vertical, ou seja, a inclinação da reta azul é zero. Isto significa que f '(a) = 0 (pois, conforme vimos em postagem anterior, a inclinação desta reta num dado ponto é, justamente, a tangente de f naquele ponto). Este fato também se percebe olhando para a figura:

Antes de prosseguir façamos uma mudança na notação para simplificar a escrita. Vamos colocar f '(z) = y'(z) = y', f ''(z) = y''(z) = y'' e v/u = c, obtendo:

Podemos reescrever a equação acima (que é de segunda ordem, pois o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece é 2) como uma equação de variáveis separáveis de primeira ordem. Para tanto, façamos a seguinte substituição:

y' = p
y'' = p'

Substituindo obtemos:

Utilizando a, assim chamada, "notação de Leibniz" para a derivada:

Separando as variáveis:

Integrando ambos os lados:

Pelas regras de integração obtemos:

Pelas propriedades dos logaritmos:

Tomando a exponencial de ambos os lados:

Pelas propriedades básicas das funções exponencias e logarítmicas (e colocando e^K = K₂):

Desfazendo a última substituição (ou seja, colocando p = y' = y'(z)):

A fim de obter o valor de K₁ colocamos z = a nesta última igualdade:

 Agora usamos o fato de que y'(a) = 0:

Segue-se da expressão acima que:

Portanto:

Com um pouco de manipulação algébrica podemos escrever y' explicitamente:








O próximo passo é resolver a equação diferencial acima. Isto faremos na próxima postagem da série.


Referências: na última postagem da série.

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