sexta-feira, 13 de maio de 2011

Mais um erro sutil (sobre intersecção)


Sejam $r$ e $s$ duas retas num mesmo plano e seja $P$ um ponto deste plano. Observe a figura:
A pergunta é: A reta $r$ intercepta a reta $s$?

Naturalmente, pois de acordo com a figura acima notamos que o ponto $P$ pertence a ambas as retas. Certo?

Não, não está certo! Mas desta vez o erro não ocorre devido a uma confusão entre conceitos (como no caso da pertinência e inclusão, ou da igualdade e congruência) mas sim devido ao mau uso do nosso idioma (o português, evidentemente).

A reta $r$ não pode interceptar a reta $s$ no ponto $P$, pois o ponto $P$ não é a interceptação, mas sim a intersecção das retas $r$ e $s$. A ideia de intersecção pode ser definida da seguinte maneira: 
Sejam $A$ e $B$ subconjuntos de um conjunto $U$. Chama-se intersecção de $A$ e $B$ ao conjunto de todos os elementos $x$ de $U$, tais que $x\in A$ e $x\in B$. 
A intersecção de conjuntos é representada pelo símbolo $\cap$. No nosso caso, podemos pensar em $U$ como sendo o conjunto de todos os pontos que formam o plano cartesiano e $A$ e $B$ como sendo, respectivamente, os conjuntos dos pontos que formam as retas $r$ e $s$.

Em face desta definição fica claro que $P$ é a intersecção de $r$ e $s$, pois $P$ é um elemento que pertence a $r$ e que pertence a $s$. Porém, estritamente falando, também é errado dizer que “$P$ é a intersecção de $r$ e $s$”, pois P não é um conjunto mas sim um ponto - já uma intersecção sempre é um conjunto. Logo, a maneira correta de expressar esta ideia é dizer que o a intersecção de $r$ e $s$ é o conjunto cujo único elemento é o ponto $P$, ou simplesmente escrever “$\{P\}$ é a intersecção de $r$ e $s$”, ou ainda $r\cap s=\{P\}$. Contudo, neste caso, a distinção entre $P$ e $\{P\}$ seja, talvez, não só desnecessária como também desapropriada, pois (dependendo das circunstâncias - no nível médio por exemplo) pode gerar o desinteresse do aluno pela matéria em virtude de um aparente excesso de formalidade e rigor.

Mas que fique clara a distinção existente entre a palavra interceptar (que segundo os dicionários da Língua Portuguesa, significa colocar obstáculo, deter, fazer parar) e a noção matemática expressa pela palavra intersectar. 

Em resumo: uma reta jamais intercepta outra, pois ela não a obstrui, não a impede, não a faz parar. Uma reta pode apenas encontrar outra reta em algum ponto, por este motivo a maneira correta de dizer que duas retas possuem um ponto $P$ em comum é dizer que as retas se intersectam no ponto $P$ e não que elas se interceptam neste ponto.

Alternativamente, de acordo com os dicionários, se pode dizer interseção em vez de intersecção. Contudo, não é raro ver algum texto de matemática empregando a palavra interceptar (que não é sinônimo de intersectar) como sinônimo de intersectar.

Se o leitor conhece algum dicionário que traz estes dois termos como sinônimos um do outro deixe nos comentários.

Referências: 
LIMA, Elon Lages. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006. (Coleção do Professor de Matemática)
MONTEIRO, L. H. Jacy. Elementos de Álgebra. Rio de janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A, 1974.
Erros podem ser relatados aqui.

2 comentários :

  1. Quando se fala em duas retas que se cruzam, pode-se aceitar o fato de que uma deixa cada lado da outra em regiões disjuntas, portanto houve uma interrupção, ou uma interceptação, dessa forma uma reta intercepta outra. O que não acontece para um segmento e uma reta.

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  2. Olá anônimo, concordo que podemos utilizar um ponto de intercessão para obter dois subconjuntos disjuntos. Na reta r da figura acima, por exemplo, se chamarmos de (a,b) as coordenadas do ponto P podemos tomar o subconjunto dos pontos (x,y)∈r tais que x é menor do que a e o subconjunto dos pontos (x,y)∈r tais que x é maior do que a; tais subconjuntos são disjuntos (um está do lado direito da intercessão e o outro do lado esquerdo). E, ao contrário de você, acredito que raciocínio análogo pode sim ser aplicado para segmentos de retas. Agora não vejo como isso representa uma interrupção da reta r, pois não aconteceu nada com a reta r.

    Pedro R.

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