Alguns Exercícios Resolvidos de Álgebra Linear

A pedido de um leitor apresento, logo abaixo, soluções para algumas questões de Matemática da Prova 7 - Grupo F - Nível Superior - Área Ambiental - 2010 do PROMINP (Programa de Mobilização da Indústria Nacional de Petróleo e Gás Natural).

Nesta postagem apresento, especificamente, soluções para algumas das questões referentes à disciplina de Álgebra Linear do referido caderno.

[Veja a primeira postagem aqui]

Questão 13: Considere a transformação linear $T$ de $\mathbb{R}^2$ em $\mathbb{R}^3$ definida por $T(x,y)=(2x+y,3y)$ e o triângulo de vértices $A(2,0)$, $B(0,3)$ e $C(-2,3)$. Sejam $A'$, $B'$ e $C'$ as imagens dos pontos $A$, $B$ e $C$ pela transformação $T$. A área do triângulo de vértices $A'$, $B'$ e $C'$ é

(A) $3$

(B) $6$

(C) $9$

(D) $12$

(E) $18$

Solução: A fim de resolver este problema, lembremos que a área $S$ de um triângulo cujos vértices são os pontos $(a_1,a_2)$, $(b_1,b_2)$ e $(c_1,c_2)$ pode ser dada pela expressão

$$S=\frac{1}{2}\cdot\det\left[\begin{matrix}
a_1 & a_2 & 1\\
b_1 & b_2 & 1\\
c_1 & c_2 & 1
\end{matrix}\right]$$

De acordo com o enunciado, $T(x,y)=(2x+y,3y)$. Portanto:

$$A'=T(2,0)=(2\cdot2+0,3\cdot 0)=(4,0)$$

$$B'=T(0,3)=(2\cdot {0}+3,3\cdot 3)=(3,9)$$

$$C'=T(-2,3)=(2\cdot (-2)+3,3\cdot 3)=(-1,9)$$

Assim,

$$S=\frac{1}{2}\cdot\det\left[\begin{matrix}
4 & 0 & 1\\
3 & 9 & 1\\
-1 & 9 & 1
\end{matrix}\right]=\frac{1}{2}\cdot 36=18$$

Resposta: Alternativa (E).

Questão 16: O determinante de uma matriz $A$ com $3$ linhas e $3$ colunas é igual a $4$. Sendo $A^{-1}$ a inversa da matriz $A$, o determinante da matriz $2A^{-1}$ é igual a

(A) $\tfrac{1}{2}$

(B) $1$

(C) $2$

(D) $8$

(E) $12$

Solução: Como $A^{-1}$ é a inversa da matriz $A$ sabemos (em virtude da definição de matriz inversa) que $A A^{-1}=I$, onde $I$ representa a matriz identidade.

Uma vez que as matrizes $A A^{-1}$ e $I$ são iguais, elas possuem o mesmo determinante, ou seja:

$$\det(A A^{-1})=\det I$$

Como a matriz identidade tem determinante igual a $1$, concluímos que

$$\det(AA^{-1})=1$$

Como o determinante de um produto é igual ao produto dos determinantes, segue que

$$\det(A)\cdot\det (A^{-1})=1$$

Utilizando a informação dada no enunciado, obtemos

$$4\cdot \det(A^{-1})=1$$

$$\det(A^{-1})=\frac{1}{4}$$

Quando multiplicamos uma matriz quadrada de ordem $n$ por uma constante $k$, o seu determinante fica multiplicado por $k^n$. Logo, como a matriz $A^{-1}$ tem ordem $3$, concluímos que

$$\det (2A^{-1})=2^3\det (A^{-1})=8\times\frac{1}{4}=2$$

Resposta: Alternativa (C).

Questão 17: O espaço vetorial formado pelos pontos $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ do $\mathbb{R}^6$ tais que $x_1=0$ e $x_5+x_6=0$ tem dimensão

(A) $1$

(B) $2$

(C) $3$

(D) $4$

(E) $5$

Solução:  O problema pede para determinarmos a dimensão do espaço vetorial

$$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)\in\mathbb{R^6};\; x_1=0,\; x_5+x_6=0)\}$$

Lembremos que

- A dimensão de $S$ é, por definição, o número de elementos de uma base de $S$. 

- Uma base para $S$ é um subconjunto $B$ de $S$ com as seguintes propriedades: (i) todo elemento de $S$ pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de $B$ e (ii) os elementos de $B$ sãi linearmente independentes.

Agora, note que se $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ pertence a $S$, então

$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=(0,x_2,x_3,x_4,x_5,-x_5)$$

$$=x_2(0,1,0,0,0,0)+x_3(0,0,1,0,0,0)+x_4(0,0,0,1,0,0)+x_5(0,0,0,0,1,-1)$$

Isto mostra que qualquer vetor de $S$ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores $(0,1,0,0,0,0)$, $(0,0,1,0,0,0)$, $(0,0,0,1,0,0)$ e $(0,0,0,0,1,-1)$.

Além disso, se

$$a_1(0,1,0,0,0,0)+a_2(0,0,1,0,0,0)+a_3(0,0,0,1,0,0)+a_4(0,0,0,0,1,-1)=(0,0,0,0,0,0)$$

então

$$(0,a_1,a_2,a_3,a_4,-a_4)=(0,0,0,0,0,0)$$

de onde segue que

$$a_1=a_2=a_3=a_4=0$$

Isto mostra que os vetores $(0,1,0,0,0,0)$, $(0,0,1,0,0,0)$, $(0,0,0,1,0,0)$ e $(0,0,0,0,1,-1)$ são linearmente independentes.

Os argumentos apresentados mostram que o conjunto

$$B=\{(0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,1,-1)\}$$

é uma base de $S$. Como este conjunto tem quatro elementos, a dimensão de $S$ é $4$.

Resposta: Alternativa (D).

Eventuais dúvidas podem ser mencionadas nos comentários que, dentro do possível, serão respondidas.

Referência: LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Linear. Coleção Schaum.

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