Como provar que log de 2 é irracional?

Em postagens anteriores, tivemos ocasião de apresentar demonstrações para a irracionalidade de raiz de dois e para a irracionalidade de pi. Respondendo a pergunta de um leitor, demonstraremos, nesta postagem, a seguinte

Proposição: o número $$\log_{10}2$$ é irracional.

Para tanto, utilizaremos a técnica da "prova por contradição": assumiremos que aquilo o que queremos provar é falso e deduziremos, por meio de procedimentos matemáticos válidos, um absurdo. O absurdo será construído com base na lei da tricotomia.

Lei da tricotomia: se $$p$$ e $$q$$ são números inteiros, então uma, e somente uma, das seguintes possibilidades ocorre: $$q<p$$ , $$q>p$$ ou $$q=p$$ .

Vamos, então, para a prova da proposição:

Se $$\log_{10}2$$ é um número racional, então existem inteiros $$p>0$$ e $$q\neq 0$$ tais que

$$\frac{p}{q}=\log_{10}2$$

Segue da igualdade acima que

$$10^{\frac{p}{q}}=10^{\log_{10}2}$$

Pelas propriedades dos logaritmos, obtemos:

$$10^\frac{p}{q}=2$$

Elevando ambos os lados à q-ésima potência:

$$\left( 10^\frac{p}{q}\right)^q=2^q$$

Simplificando o lado esquerdo:

$$10^p=2^q$$

Como $$10=2\cdot 5$$ , concluímos que:

$$(2\cdot 5)^p=2^q$$

Pelas propriedades das potências:

$$2^p\cdot 5^p=2^q$$

Fazendo permanecer apenas o número $$5^p$$ no primeiro membro:

$$5^p=\frac{2^q}{2^p}$$

Pelas propriedades das potências:

$$5^p=2^{q-p}$$

Conforme mencionamos no início, $$p$$ é um inteiro estritamente positivo. Portanto, o lado esquerdo da última igualdade é um número inteiro. Consequentemente, o lado direito também é um inteiro. Note que se tivéssemos $$q<p$$ , então o expoente do $$2$$ seria negativo e, consequentemente, o lado direito da última igualdade não seria um inteiro (pois estaria entre zero e um). Logo $$q<p$$ não é possível;

Se, de outro modo, tivéssemos $$q>p$$ , então o lado esquerdo da última igualdade seria um número inteiro múltiplo de dois e, consequentemente, o lado esquerdo também seria. Mas o lado esquerdo não é um múltiplo de dois, pois ele é da forma $$5\cdot 5\cdots 5$$ (com $$p$$ parcelas iguais a cinco e nenhuma igual a dois). Logo $$q>p$$ não é possível;

Por fim, se tivéssemos $$p=q$$ , então teríamos $$5^p=2^{p-p}=2^0=1$$ . Seguir-se-ia que $$5=\sqrt[p]{1}=1$$ - o que, como sabemos, não é verdade. Logo $$q=p$$ também não é possível.

Em resumo: não temos $$q<p$$ , nem $$q=p$$ e nem $$q>p$$ . Mas isso é um absurdo, pois viola a lei da tricotomia. Logo a nossa hipótese deve ser falsa e, portanto, sua negação é verdadeira, ou seja, $$\log_{10}2$$ é irracional.

Desafio para o leitor: prove que o número $$\log_{10}\sqrt{2}$$ é irracional. Dica: use propriedades dos logaritmos e a proposição que acabamos de provar.

Referências: adaptado de alguns sites.

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