“Sabe-se que ... M = C.(1+ i)ⁿ, onde:
M é o montante (capital investido somado aos juros rendidos);
C é o valor do capital investido;
i é a taxa de juros (compostos);
n é o tempo que dura a aplicação.”
Vamos justificar esta fórmula agora. Para tanto consideremos o seguinte exemplo:
Supõe que você faz uma aplicação financeira de R$ 30000,00 que rende juros anuais de 20%. Se você deixar o dinheiro aplicado por 15 anos qual vai ser o montante acumulado?
(é claro que estamos nos referindo a juros compostos)
Lembre-se que se x é um valor qualquer, para achar 20% de x basta multiplicar x por 20 e depois dividir por 100 ou, equivalentemente, multiplicar x por 0,2.
Vamos chamar o valor inicial (30000) de a₀, o valor acumulado (montante) após um ano de a₁, o valor acumulado após dois anos de a₂ e assim por diante.
Então temos
a₀ = 30000
Após um ano vamos ter o valor inicial somado aos juros:
a₁ = 30000 + (0,2×30000) = 30000 + 6000 = 36000
Após dois anos vamos ter o valor acumulado (36000) mais os juros que incidem sobre ele (e não mais sobre os 30000 inicial, pois na vida real não existe juros simples):
a₂ = 36000 + (0,2×36000) = 36000 + 7200 = 43200
a₃ = 43200 + (0,2×43200) = 36000 + 7200 = 51840
E você pode ir fazendo isso até chegar no 15º ano, ou seja no termo a₁₅.
Mas observe como tornar o cálculo operacionalmente mais simples: o "segredo" é manipular as expressões de modo a conseguir colocar o valor inicial (neste caso 30000) em evidencia (não efetuando a multiplicação por 0,2):
a₀ = 30000
a₁ = 30000 + (0,2×30.000) = 30000×(1+0,2)
a₂ = 30000×(1+0,2) + (0,2×[30000×(1+0,2)])
= [30000×(1+0,2)]×(1+0,2) = 30000×(1+0,2)²
a₃ = 30000×(1+ 0,2)² + (0,2×[30000×(1+0,2)²])
= [30000×(1+ 0,2)²]×(1+0,2) = 30000×(1+0,2)³
a₀ = 30000
a₁ = 30000×(1+0,2)
a₂ = 30000×(1+0,2)²
a₃ = 30000×(1+0,2)³
Note que para avançar um termo (um ano) devemos multiplicar o valor inicial por (1+0,2) uma vez, para avançarmos dois termos devemos multiplicar por (1+0,2) duas vezes, para avançarmos três termos devemos multiplicar por (1+0,2) três vezes e assim por diante.
Então, sem desenvolver aquelas contas, podemos, por exemplo, concluir que:
C₅ = 30000×(1+0,2)⁵
C₇ = 30000×(1+0,2)⁷
Para avançar 15 termos, ou seja, 15 anos devemos multiplicar o valor inicial pela razão 15 vezes:
a₁₅ = 30000×(1+0,2)¹⁵= 462210,65 (recomendo que use a calculadora)
De um modo mais geral, se a taxa for i em vez de 0,2 e se o capital inicial for C em vez de 30000, pelo mesmo procedimento acima (colocando o capital inicial em evidência) podemos deduzir que:
a₁₅ = C×(1+i)¹⁵
Generalizando ainda mais, para avançar n termos em vez de 15, ou seja, para determinarmos o montante após n períodos (que no caso acima foi ano, mas que pode ser mês, trimestre, etc) basta multiplicar por (1+i) n vezes:
an = 30000×(1+i)ⁿ
E, por fim, se chamarmos o montante de M em vez de chamarmos de an obtemos a fórmula como é usualmente escrita (a menos do n no expoente que em geral é substituído por t):
Observação:
A fórmula M = C.(1+i)ⁿ é justamente a fórmula do termo geral de uma PG na qual o primeiro termo é a₀=C e a razão é q=(1+i).
Usualmente a fórmula do termo geral da PG é dada por an=a₁.qⁿ⁻¹ que tem "n-1" no expoente da razão em vez de "n" simplesmente devido ao fato de chamarmos o 1º termo de a₀ em vez de a₁.
Na PG é mais conveniente chamar o 1º termo de a₁, pois assim o n-ésimo termo será dado por an e não por an₋₁.
Já na matemática financeira esta fórmula é mais convenientemente arranjada chamando o primeiro termo de a₀, pois assim o montante acumulado após n períodos será dado multiplicando o capital investido por (1+i)ⁿ e não por (1+i)ⁿ⁻¹.
Referência:
LIMA, Elon Lages. et al. Progressões. In: A Matemática do Ensino Médio: Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006, p. 1-40. (Coleção do Professor de Matemática).
*Erros contidos no conteúdo acima exposto podem ser apontados aqui.
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