Questão de Concurso: BB 2011

Seguem-se o enunciado e a resolução de um problema que caiu no último concurso do Banco do Brasil:

Saulo Aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa?

Dado:

Use a aproximação log 3 = 0,48

Resolução:

Sabe-se que o montante de uma aplicação financeira pode ser dado pela seguinte fórmula:

Na expressão acima:

M é o montante (capital investido somado aos juros rendidos);

C é o valor do capital investido;

i é a taxa de juros (compostos);

t é o tempo que dura a aplicação.

Portanto, de acordo com o enunciado, podemos escrever que:

onde M_A representa o montante da aplicação que Saulo fez após t anos.

Do mesmo modo, podemos escrever que

onde V_C representa o valor da casa após t anos.

O problema pergunta: “quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa” ou, equivalentemente, quanto tempo será necessário para que tenhamos M_A = V_C? Ou ainda: qual é o valor de t que satisfaz a seguinte equação:

Esta equação se resolve usando logaritmos. Veja uma maneira de organizar o desenvolvimento:

Isto significa que o valor de t que satisfaz a equação acima é 12 ou, equivalentemente, serão necessários 12 anos para que tenhamos M_A = V_C, ou ainda: "serão decorridos 12 anos até que Saulo consiga comprar tal casa”.

Observações: 

A chave da resolução deste exercício é "tirar" o logaritmo de ambos os lados da equação, na quarta linha do desenvolvimento (interessante notar que só podemos fazer isso devido ao fato de a função logarítmica ser injetiva - há uma forte ligação entre injetividade e resolução de equações).

O exercício não diz explicitamente, mas estamos tratando com logaritmos na base dez (isso se subentende tanto devido a convecção de se representar logaritmo decimal omitindo-se a base - ou seja, usualmente não escrevemos log₁₀ 3 mas apenas log 3 - como também pelo valor apresentado para log 3).

Na resolução se utilizou três das principais propriedades dos logaritmos: log a + log b = log (a.b) (quinta linha), log a - log b = log (a/b) (nona e décima segunda linhas), log aⁿ = n.log a (sexta e décima quarta linhas).

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Referência:

Em geral, qualquer livro que trata sobre logaritmos traz as propriedades utilizadas no desenvolvimento (tão necessário quanto saber aplicar as propriedades é entender suas demonstrações, evidentemente não para fazer o concurso, mas para ter uma melhor visão do que é a matemática).

*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.

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