Por que, afinal, cabe mais mel no hexágono?

Os favos de mel têm formato hexagonal. Uma pergunta bastante intrigante (e muito antiga) é porque as abelhas escolhem o hexágono em vez de outra forma geométrica? Porque não o triângulo ou o pentágono?


Já disse Papus de Alexandria (aprox. 300 a.C): As abelhas... em virtude de uma certa intuição geométrica... sabem que o hexágono é maior que o quadrado e o triângulo, e conterá mais mel com o mesmo gasto de material.

De fato, a escolha das abelhas é meticulosa, vejamos por que, mas para tanto se coloque no lugar das abelhas:

Supõe que você é a abelha responsável por decidir o formato do alvéolo onde será depositado o mel (que responsabilidade!).

É razoável supor que você queira o melhor formato possível. Então você tem a grande idéia: o melhor formato para guardar um determinado volume é aquele cuja construção gaste a menor quantidade de material possível.

A primeira observação que você faz é que, a fim de evitar o desperdício (de espaço e de material), cada parede deve ser aproveitada por dois alvéolos (exceto as paredes exteriores). Assim, na “planta” do favo não haveria espaço vazio. 

Exemplo:

Esse princípio óbvio é largamente utilizado (é bem provável que na sua casa - na sua mesmo, não da abelha - a parede do banheiro seja também parede do quarto, assim economiza-se espaço e material) e exclui a possibilidade de os alvéolos terem formato cilíndrico o quê sem dúvida iria esbanjar material, já que não haveria paredes em comum.

Observe que construindo as bases do favo quadradas elas se encaixam perfeitamente, ou seja, não sobram frestas. Deste modo, as construções levantadas sobre estas bases servirão de paredes para exatamente dois alvéolos (a cada quatro alvéolos, um sai de graça).

Mas você, uma abelha muito exigente, ainda não está contente. Você quer ter certeza de que o quadrado é a melhor base a ser escolhida que cobre a superfície se encaixando perfeitamente e sem deixar frestas.

Felizmente você é uma abelha geômetra e se lembra que há apenas mais duas possibilidades de formas geométricas: o triângulo eqüilátero e o hexágono regular:

            

(você só considera polígonos regulares, é claro, afinal por simplicidade no trabalho você quer dividir a superfícies em regiões idênticas de modo que cada abelha execute exatamente o mesmo trabalho em toda a extensão da colméia - usando polígonos regulares a construção sempre envolve o mesmo ângulo e lados de mesma medida).

É possível provar - e as abelhas devem saber disso - que os únicos polígonos regulares que pavimentam o plano são: o triângulo eqüilátero, o quadrado e o hexágono regular (veja a prova). Pra perceber que, por exemplo, o pentágono não tem essa propriedade basta justapor três deles:

Observe que no caso do pentágono “sobra um triângulo isósceles”, ou seja, o encaixe não é perfeito. Isto já acrescenta medidas de ângulos e lado diferentes na construção.

Agora o seu problema se reduz em determinar qual dos três prismas (triangular, hexagonal ou quadrangular) que construídos com a mesma quantidade de material possui maior volume. Ou, equivalentemente, qual dos prismas que para guardar um determinado volume necessita de menos material em sua construção.

Para realizar tal cálculo, você faz o seguinte:

Fixa um volume V que todos os prismas devem ter.

Fixa um lado l para os três prismas.

Supõe que para o prisma hexagonal atingir o volume V com o lado medindo l a altura necessária é x. Feito isso, escreve a altura x em função do volume V e do lado l:

Supõe que para o prisma quadrangular atingir o volume V com o lado igualmente medindo l a altura necessária é y. Feito isso, escreve a altura y em função do volume V e do lado l:

Supõe que para o prisma triangular atingir o mesmo volume V, também com o lado medindo l a altura necessária é z. Feito isso, escreve a altura z em função do volume V e do lado l:

Então você usa os resultados acima para calcular a área lateral de cada prisma (evidentemente o prisma de menor área lateral é aquele que necessita de menos material para ser construído):

Área lateral do prisma hexagonal (Ah):

Área lateral do prisma quadrangular (Aq):

Área lateral do prisma triangular (At):

A sua conclusão foi imediata:

Ou seja, a área lateral do prisma hexagonal é a menor das três, portanto o formato adequado para os alvéolos (que minimiza o material) é o formato hexagonal (pois este, se comparado com o triangular e com o quadrangular que possuem a mesma capacidade, necessita de menos material para ser confeccionado)

Feito isso, você uma abelha muito empolgada, foi relatar o resultado ao seu superior. Ele aprovou o argumento e acatou a sugestão. As abelhas começaram então a edificar os favos com alvéolos hexagonais.

Você se sentia uma abelha que havia cumprido com o dever! Contudo seu superior chegou e lhe zumbiu: “Ainda temos um problema: temos que fechar o fundo dos alvéolos, qual é a maneira mais indicada de se fazer isso?”

Você pensou um pouco e disse: “podemos fechá-los de modo que o fundo fique plano... ou então usar losangos com alguma inclinação...”. 

Você interrompeu bruscamente a frase que dizia e foi saindo ao que seu superior lhe perguntou: “Aonde vai?”

Você lhe respondeu: “vou me matricular em um curso de cálculo diferencial!”

Observação: As abelhas (não de uma determinada região, mas em todo o mundo) edificam favos nos quais o ângulo do losango que fecha o fundo do alvéolo é de exatamente 70° 32’. Esse é o melhor ângulo possível (este é o tipo de coisa onde se pode notar a perfeição da criação).

Se sua curiosidade não aguentar até que nossa abelha termine seu curso de cálculo sugerimos que consulte as referências (em particular esta).


Consultando as outras referências, em particular esta e esta, você encontrará também outras maneiras de concluir que o prisma hexagonal é mais indicado (numa eles fixam a área da base em vez de fixar o volume e então procuram quais das três bases tem menor perímetro, noutra eles usam palitos para fechar uma região retangular).


Um último esclarecimento: Foi dito que "evidentemente o prisma de menor área lateral é aquele que necessita de menos material para ser construído" pois a quantidade de material gasto para construir será dada em volume. Este volume será obtido multiplicando três valores: o perímetro do polígono da base pela altura do prisma pela espessura da parede, ou equivalentemente, multiplicando a área lateral (perímetro vezes altura) pela espessura. Assim, quanto menor a área lateral menor volume (quantidade de material), pois, uma vez que fixamos a medida do lado, o perímetro é constante.

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Referências:

TAHAN, Malba. As Maravilhas da Matemática. 2 . ed. Rio de Janeiro: Bloch Editores S.A.,1973. p.105-112.
República Editorial: as abelhas geômetras
Fatos Matemáticos: A Matemática na vida das Abelhas: parte 1/parte 2/parte 3/parte 4
+ mat: áreas e perímetros com abelhas
Acessos em 31/Jan/2010.

*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.