Como demonstrar que só há três polígonos regulares que pavimentam o plano?

Em postagem anterior eu disse que os únicos polígonos que pavimentam o plano são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono. Vamos tentar justificar isso agora.

Duas observações:
Pavimentar significa cobrir totalmente com encaixes perfeitos, ou seja, não sobra fresta (uma definição precisa de pavimentação poder ser vista na referência). 
Aqui neste texto polígono é sinônimo de polígono regular.

Comecemos olhando os três casos conhecidos para então provar que é impossível encontrar outro polígono regular com a mesma propriedade:

O que há em comum nos três casos? Observe os detalhes:

Agora observe o pentágono, que não pavimenta o plano:

Na tentativa de pavimentação:

As figuras apresentadas parecem ser suficientes para fazer perceber que:

Sendo x o número de lados de um polígono e α o ângulo interno deste polígono, se ele pavimenta o plano então α é divisor de 360º, ou seja, existe um número natural y tal que 

y. α = 360º 

(caso contrário, ou sobra ou falta polígono e, portanto, o encaixe não é perfeito, ou seja, o polígono não pavimenta o plano).

Acontece que o ângulo interno de um polígono pode ser dado pela seguinte fórmula:

Fazendo a substituição obtemos:

Tudo o que temos que fazer agora é encontrar quais são os valores de x e y que satisfazem a equação acima. Observe que ambos os valores devem ser, necessariamente, naturais.

Uma maneira de resolver é isolar o y do lado esquerdo:

Sabemos que x tem que ser natural (ou seja, inteiro positivo) e maior do que 2 (pois não existe polígono com menos de 3 lados) e sabemos também que y tem que ser natural (pois é a quantidade de polígonos que necessitam ser justapostas pra completar 360º). 

Comecemos então a determinar os valores de y atribuindo valores para x:

Se x = 3 então:

Ora, a solução acima nós já conhecíamos.

Se x = 4 então:

Essa última solução nós também já conhecíamos.

Se x = 5 então:

Note que para x = 5, y não é natural, o que significa que o pentágono (como nós já sabíamos) não pavimenta.

Se x = 6 então:

Temos x e y naturais, mas também já sabíamos que o hexágono pavimenta.

Testando x = 7 obtemos y = 2,8 que não é natural, o que significa que o heptágono, assim como o pentágono, não pavimenta.

Testando x = 8 obtemos y = 2,666... que novamente não é natural, o que significa que o octógono, também não pavimenta.

Testando x = 9 obtemos y = 2,57... que também não é natural.

Testando x = 150 obtemos y = 2,027... E, aparentemente, não há mais números naturais que satisfazem a equação.

Conforme podemos perceber nos exemplos apresentados, na medida em que x vai aumentando o valor de y vai diminuindo (teste, por exemplo, o valor x = 1000).

É razoável supor então que se houver solução elas ocorrerão em y = 2 ou y = 1 (os únicos naturais menores do que 2,027...). 

Mas acontece que nesta função, se y assumir estes valores (1 ou 2) então x não é natural (em um caso é negativo, noutro não existe):

Há outra maneira de chegar a esta conclusão (de que não há outros valores para x e y, ambos naturais, que satisfazem a condição).

Vamos começar encarando y como uma função de x, definindo-a e traçando seu gráfico:

Os pontos abaixo marcados (3,6), (4,4) e (6,3) são as soluções que já encontramos:

Já verificamos que f(3) = 6, f(4) = 4 e f(6) = 3.

Agora, queremos provar que não existem k e k' naturais tal que f(k) = k'. 

Vamos começar provando que a função assim definida é decrescente. Para tanto, vamos utilizar conhecimentos de cálculo diferencial e provar que f ’(x) < 0 para todo x no intervalo:

Observação: para derivar reescrevemos a função e usamos a regra do produto (um fator é o 2x e o outro é (x − 2)⁻¹).

Portanto, como f é decrescente resulta que para x > 6, y deve ser menor do que 3. Como y deve ser natural só restam k' = 1 ou k' = 2.

Porém, na medida em que x aumenta ilimitadamente f(x) se tornar arbitrariamente próxima de 2, mas nunca chega em 2 (como já tínhamos observado nos valores testados e como o gráfico sugere), ou seja:

De fato:

Portanto não existe k (real e tampouco natural) para o qual f(k) = 2, logo também não existe k para o qual f(k) = 1 (pois f já foi provada decrescente e se não atinge 2 também não atinge 1, pois 2 > 1).

Há ainda uma terceira maneira muito simples de provar, vejamos como:

Basta notar que assim como x, tem que ser y ≥ 3. Então obtemos:

Ou seja, x só pode ser igual a 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. No início já substituímos estes valores e verificamos que y natural só ocorre quando x = 6, x = 4 e x = 3 (ou seja, obtemos como esperávamos que os únicos polígonos que pavimentam são o hexágono, quadrado e triângulo).

Uma última observação: Para entender porque y ≥ 3 note que y é o número de polígonos que devem ser justapostos para "fechar" 360° no encontro dos ângulos. Observe que se y = 2 então os ângulo interno dos polígonos deverão valer 180º. Agora se pergunte: é possível que o ângulo interno de um polígono tenha 180°? A mesma impossibilidade ocorre se for y = 1.

Acredito que este texto ajudou a esclarecer o motivo pelo qual há apenas três polígonos que pavimentam o plano.

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Referência:

CASTRO, Rosiane de Fátima C. R. Pavimentações no Plano Euclidiano. 51 f. Monografia (Especialização em Matemática) - Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, 2008. Acesso em 14 fev. 2011.

*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.

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