segunda-feira, 14 de fevereiro de 2011

Como demonstrar que só há três polígonos regulares que pavimentam o plano?


Em postagem anterior eu disse que os únicos polígonos que pavimentam o plano são o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono. Vamos tentar justificar isso agora.

Duas observações:
Pavimentar significa cobrir totalmente com encaixes perfeitos, ou seja, não sobra fresta (uma definição precisa de pavimentação poder ser vista na referência). 
Aqui neste texto polígono é sinônimo de polígono regular.

Comecemos olhando os três casos conhecidos para então provar que é impossível encontrar outro polígono regular com a mesma propriedade:


O que há em comum nos três casos? Observe os detalhes:



Agora observe o pentágono, que não pavimenta o plano:



Na tentativa de pavimentação:


As figuras apresentadas parecem ser suficientes para fazer perceber que:


Sendo x o número de lados de um polígono e α o ângulo interno deste polígono, se ele pavimenta o plano então α é divisor de 360º, ou seja, existe um número natural tal que 

y. α 360º 

(caso contrário, ou sobra ou falta polígono e, portanto, o encaixe não é perfeito, ou seja, o polígono não pavimenta o plano).

Acontece que o ângulo interno de um polígono pode ser dado pela seguinte fórmula:


Fazendo a substituição obtemos:



Tudo o que temos que fazer agora é encontrar quais são os valores de x e y que satisfazem a equação acima. Observe que ambos os valores devem ser, necessariamente, naturais.


Uma maneira de resolver é isolar o y do lado esquerdo:



Sabemos que x tem que ser natural (ou seja, inteiro positivo) e maior do que 2 (pois não existe polígono com menos de 3 lados) e sabemos também que y tem que ser natural (pois é a quantidade de polígonos que necessitam ser justapostas pra completar 360º). 

Comecemos então a determinar os valores de y atribuindo valores para x:


Se 3 então:
Ora, a solução acima nós já conhecíamos.

Se 4 então:
Essa última solução nós também já conhecíamos.

Se 5 então:
Note que para 5, y não é natural, o que significa que o pentágono (como nós já sabíamos) não pavimenta.

Se 6 então:
Temos x e y naturais, mas também já sabíamos que o hexágono pavimenta.

Testando 7 obtemos y = 2,8 que não é natural, o que significa que o heptágono, assim como o pentágono, não pavimenta.

Testando 8 obtemos y = 2,666... que novamente não é natural, o que significa que o octógono, também não pavimenta.

Testando 9 obtemos = 2,57... que também não é natural.

Testando 150 obtemos y = 2,027... E, aparentemente, não há mais números naturais que satisfazem a equação.

Conforme podemos perceber nos exemplos apresentados, na medida em que x vai aumentando o valor de y vai diminuindo (teste, por exemplo, o valor 1000).

É razoável supor então que se houver solução elas ocorrerão em = 2 ou = 1 (os únicos naturais menores do que 2,027...)

Mas acontece que nesta função, se y assumir estes valores (1 ou 2) então x não é natural (em um caso é negativo, noutro não existe):


Há outra maneira de chegar a esta conclusão (de que não há outros valores para x e y, ambos naturais, que satisfazem a condição).

Vamos começar encarando y como uma função de x, definindo-a e traçando seu gráfico:




Os pontos abaixo marcados (3,6), (4,4) e (6,3) são as soluções que já encontramos:




Já verificamos que f(3) = 6, f(4) = 4 e f(6) = 3.


Agora, queremos provar que não existem k e k' naturais tal que f(k) = k'. 

Vamos começar provando que a função assim definida é decrescente. Para tanto, vamos utilizar conhecimentos de cálculo diferencial e provar que f ’(x) < 0 para todo x no intervalo:

Observação: para derivar reescrevemos a função e usamos a regra do produto (um fator é o 2x e o outro é (x  2)¹).

Portanto, como f é decrescente resulta que para x > 6, y deve ser menor do que 3. Como y deve ser natural só restam k' = 1 ou k' = 2.


Porém, na medida em que x aumenta ilimitadamente f(x) se tornar arbitrariamente próxima de 2, mas nunca chega em (como já tínhamos observado nos valores testados e como o gráfico sugere), ou seja:

De fato:

Portanto não existe k (real e tampouco natural) para o qual f(k) = 2, logo também não existe k para o qual f(k) = 1 (pois f já foi provada decrescente e se não atinge 2 também não atinge 1, pois 1).

Há ainda uma terceira maneira muito simples de provar, vejamos como:

Basta notar que assim como x, tem que ser ≥ 3. Então obtemos:



Ou seja, x só pode ser igual a 12345 ou 6. No início já substituímos estes valores e verificamos que y natural só ocorre quando = 6, = 4 e = 3 (ou seja, obtemos como esperávamos que os únicos polígonos que pavimentam são o hexágono, quadrado e triângulo).

Uma última observação: Para entender porque ≥ 3 note que y é o número de polígonos que devem ser justapostos para "fechar" 360° no encontro dos ângulos. Observe que se = 2 então os ângulo interno dos polígonos deverão valer 180º. Agora se pergunte: é possível que o ângulo interno de um polígono tenha 180°? A mesma impossibilidade ocorre se for = 1.

Acredito que este texto ajudou a esclarecer o motivo pelo qual há apenas três polígonos que pavimentam o plano.


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Referência:

CASTRO, Rosiane de Fátima C. R. Pavimentações no Plano Euclidiano. 51 f. Monografia (Especialização em Matemática) - Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte, 2008. Acesso em 14 fev. 2011.

*Caso eles existam, apreciarei se erros de qualquer natureza (conceitual, de digitação, de escrita, matemáticos ou não) sejam apontados. Entre em contato aqui.

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3 comentários :

  1. Olá Pedro:
    Li todo o trabalho e gostei bastante. Para o pessoal do último ano do Fundamental e do primeiro do Médio é uma aula espetacular.
    Houve alguns "cochilos"; se não, vejamos:

    6o. parágrafo:
    Deveria pôr um vírgula após a palavra polígono

    12o. parágrafo:
    Em vez de: começamos, deveria ser: comecemos

    24o. parágrafo:
    Em vez de: satisfazem,deveria ser: satisfaçam

    25o. parágrafo:
    Em vez de: na medida em que, deveria ser: à medida que

    28o. parágrafo:
    Em vez de: satisfazem, deveria ser: satisfaçam

    36o. parágrafo:
    Em vez de: a medida em que, deveria ser: à medida que.

    Abraços

    Sebá

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  2. Olá Sebá. Obrigado por avisar dos meus "cochilos". Bom, no 6º parágrafo concordo que faltava uma vírgula; No 12º concordo que "comecemos" se encaixa melhor na frase; no 24º e no 28º acredito que não está errado o uso de "satisfazem"; no 25º e no 36º acredito que não está errado o uso de "na medida em que" (no 36º, preferi colocar um "n" antes do a em vez de colocar crase e tirar o "em"). De qualquer modo, se puder me justificar o motivo de eu estar errado nos pontos que eu não alterei, certamente farei as modificações! Abraço.

    Pedro R.

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  3. Olá Pedro,

    Satisfazem (o verbo está na terceira pessoa do plural do presente do indicativo),que satisfaçam(o verbo está na terceira pessoa do plural do presente do subjuntivo).

    À medida que é uma locução conjuntiva proporcional, logo, expressa ideia de proporção. Esta aí a explicação do por que essa expressão pode ser substituída por “à proporção que”. Uma oração que contenha “à medida que” é subordinada à principal e mantém uma comparação com a mesma de igualdade, de aumento ou diminuição. Confira:

    a) À medida que nós subirmos, ficaremos mais cansados, porque o ar é rarefeito.
    b) Ele foi se acalmando à medida que as boas notícias chegavam.

    Na medida em que é uma locução conjuntiva causal, logo, haverá noções de causa/consequência ou efeito nas orações que tiverem tal expressão. Pode ser substituída pelas equivalentes “uma vez que”, “porque”, “visto que”, “já que” e “tendo em vista que”. Veja:

    a) Nós precisamos ler mais na medida em que crescemos, pois temos maior entendimento ao passar dos anos. (visto que)
    b) A pesquisa dever ser feita antes de dezembro na medida em que vamos estar de férias nesse período. (porque)

    Portanto, se ficar em dúvidas, é só substituir as locuções por formas equivalentes e observar se a oração não perdeu o sentido pretendido.

    Quanto às orações iniciais, as duas estão corretas gramaticalmente, mas, como vimos, possuem sentidos diferentes:

    1. À medida que convivemos com pessoas, tornamo-nos mais maduros.

    Ou: Tornamo-nos mais maduros à proporção que convivemos com pessoas.

    2. Na medida em que convivemos com pessoas, tornamo-nos mais maduros.

    Ou: Tornamo-nos mais maduros porque convivemos com pessoas.

    Avise-me, por favor, do recebimento.

    Abraços

    Sebá

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