Solução: como "construir um triângulo equilátero sobre a reta limitada dada"?

[veja o problema]

Consideremos a solução apresentada por Euclides:

Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.

Fique descrito, por um lado, com o centro A, e, por outro lado, com a distância AB, o círculo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distância BA, o círculo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.

E, como o ponto A é centro do círculo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do círculo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; Portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mas as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.

Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.

[Portanto, sobre a reta limitada dada, foi construído um triângulo eqüilátero]; o que era preciso fazer. (Trad. Bicudo)

Hoje, para construir um triângulo equilátero na prática, diríamos: faça um círculo com centro em A e raio AB e outro, de mesmo raio, com centro em B. Seja C a intersecção dos círculos. Ligue o ponto A ao ponto C e o ponto B ao ponto C. Os segmentos AB e AC são iguais, pois são raios do mesmo círculo. O mesmo acontece com os segmentos AB e BC, que também são raios do mesmo circulo e portanto iguais. Então temos: AB = AC e AB = BC que acarreta AC = BC, ou seja: AB = AC = BC. O  triângulo equilátero está construído.


(Contudo note que "construir dois círculo de mesmo raio" pode não ser a mesma coisa para você do que foi para Euclides - o compasso euclidiano fechava ao ser tirado do papel, logo transportar medidas era mais trabalhoso. Na última referência há um texto sobre construções euclidianas).

Toda a obra de Euclides possui demonstrações similares a esta. Embora os postulados, noções comuns e definições não sejam, em sua totalidade, aceitos hoje (devido á falta de rigor em alguns pontos) percebe-se claramente que as demonstrações possui um elevado e admirável grau de lógica.

Observe que Euclides usa nessa ordem: o postulado 3, o postulado 1, a definição 15, a 1ª noção comum, e a definição 20:

Seja a reta limitada dada AB. É preciso, então, sobre a reta AB construir um triângulo equilátero.

Fique descrito, por um lado, com o centro A, e, por outro lado, com a distância AB, o círculo BCD, e, de novo, fique descrito, por um lado, com o centro B, e, por outro lado, com a distância BA, o círculo ACE, e, a partir do ponto C, no qual os círculos se cortam, até os pontos A, B, fiquem ligadas as retas CA, CB.

E, como o ponto A é centro do círculo CDB, a AC é igual à AB; de novo, como o ponto B é centro do círculo CAE, a BC é igual à BA. Mas a CA foi também provada igual à AB; Portanto, cada uma das CA, CB é igual à AB. Mas as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si; portanto, também a CA é igual à CB, portanto, as três CA, AB, BC são iguais entre si.

Portanto, o triângulo ABC é equilátero, e foi construído sobre a reta limitada dada AB.

[Portanto, sobre a reta limitada dada, foi construído um triângulo eqüilátero]; o que era preciso fazer.

Eis acima um belo (e muito antigo!) exemplo de matemática dedutiva. Que aqueles que lecionam matemática não a apresentem a seus alunos como um conjunto de dogmas e cuidem de não deixar despercebido este importante aspecto: a dedução lógica (veja, por exemplo, os mandamentos para professores de matemática, em particular o sétimo)

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Referências:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. (Tradução de Elza F. Gomide)

EUCLIDES. Os Elementos. São Paulo: Editora UNESP, 2009. (Tradução de Irineu Bicudo)

EUCLIDES. Euclid’s Elements of Geometry, 2008. (traduzido por Richard Fitzpatrick)

EUCLIDES. Elementos de Geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944. (tradução de Frederico Commandino)

EVES, Howard. Geometria. São Paulo: Actaul, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em Sala de Aula) (Traduzido por Hygino H. Domingues)


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