Como "construir um triângulo equilátero sobre a reta limitada dada"?

Quando um estudante perguntou para que servia o estudo da geometria, Euclides disse a seu escravo que desse três moedas ao estudante, “pois ele precisa ter lucro com o que aprende” (Boyer, p.69)

Considere o seguinte problema:

Construa, com régua e compasso, um triângulo equilátero no qual um dos lados é o seguinte segmento:

Curiosamente este é o primeiro problema apresentado no mais bem sucedido livro de matemática da história da humanidade: Os elementos, de Euclides de Alexandria.

Euclides teria sido um excelente expositor e professor do Museu de Alexandria por volta de 300 a.C, que cuidou de organizar um livro com muitos resultados matemáticos elementares, logicamente deduzidos.

Esta obra é constituída de 13 livros (ou volumes ou capítulos), dentre os quais o primeiro é dedicado à geometria plana.

Este Livro, dependendo da versão (pois o original já não existe mais), começa com vinte e três definições, seguidas de cinco postulados e nove noções comuns.

As definições, como o próprio nome sugere, tinham (e ainda tem!) a função de definir alguns termos em função de outros mais bem conhecidos. Os postulados e as noções comuns seriam os equivalentes dos modernos axiomas que seriam as verdades aceitas por serem autoevidentes. São estas informações dadas previamente que Euclides usa para provar cada uma das 48 proposições do primeiro Livro.

Contudo, a matemática evoluiu de tal modo que algumas definições euclidianas hoje são inaceitáveis. Mas vamos por hora ignorar isso (bem como todas as outras críticas à falta de rigor de sua obra) e, de certo modo, entrar no pensamento euclidiano.

Antes disso, é interessante notar que os bem conhecidos fatos de que “a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º”

e que “num triângulo retângulo a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa” 

estão demonstradas neste primeiro livro (respectivamente, proposições 32 e 47).

Vemos então que há milênios já figuram nos livros matemáticos (devidamente demonstrados! - de acordo com a lógica de seus dias) estes resultados utilizados por nós cotidianamente.

Mas nos concentremos na primeira proposição de Euclides:

Construir um triângulo equilátero sobre a reta limitada dada.

Para executar esta tarefa, Euclides usa duas definições, dois postulados, e uma noção comum:

Círculo é uma figura plana contida por uma linha [que é chamada circunferência], em relação à qual todas as retas que a encontram [até a circunferência do círculo], a partir de um ponto dos pontos no interior da figura, são iguais entre si. (definição 15)


...das figuras triláteras... triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais... (definição 20)

Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. (1º postulados)

E, com todo centro e distância, descrever um círculo. (3º postulados)

As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si. (1ª noção comum)

Foi apenas disto que Euclides precisou para construir um triângulo equilátero sobre um segmento de reta dado.

Fica a sugestão para o leitor que desconhece a solução: antes de ler a resposta dada por Euclides pegue uma régua, um lápis, um compasso e um papel e tente deduzir o resultado. Deste modo, ainda que falhe, certamente o beneficio que este problema lhe causará será maior.

Observe que:

De acordo com as definições: os segmentos de reta que ligam os pontos de uma mesma circunferência ao seu centro são iguais; e o triângulo equilátero tem lados iguais.

De acordo com os postulados você pode: traçar uma reta por dois pontos e descrever um círculo, com qualquer centro e qualquer distância (ou seja - e para nossos propósitos - você pode construir segmentos e círculos).

E de acordo com a noção comum: se a=b e b=c então a=c.

Tente então construir o triângulo!!!


[solução]

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Referências:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. (Tradução de Elza F. Gomide)

EUCLIDES. Os Elementos. São Paulo: Editora UNESP, 2009. (Tradução de Irineu Bicudo)

EUCLIDES. Euclid’s Elements of Geometry, 2008. (traduzido por Richard Fitzpatrick)

EUCLIDES. Elementos de Geometria. São Paulo: Edições Cultura, 1944. (tradução de Frederico Commandino)

EVES, Howard. Geometria. Saõ Paulo: Actaul, 1992. (Tópicos de História da Matemática para uso em Sala de Aula) (Traduzido por Hygino H. Domingues)

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