domingo, 6 de fevereiro de 2011

O Problema das 3 casas


Em geral, as casas possuem uma rede de água, uma de eletricidade e uma de esgoto.

Consideremos uma situação hipotética (e absurda!) que nos fornece um problema matemático dos mais curiosos:

Supõe a existência de 1 casa. Esta casa, como é de costume, deve ter a ligação de água, de esgoto e de eletricidade.

Contudo, as ligações vão ser necessariamente feitas subterrâneas e exatamente na mesma profundidade (ou seja, não é permitido que uma tubulação passe por cima ou por baixo de outra). Isso significa que se as redes forem representadas por linhas em um papel não haverá intersecção.

Importante: o terreno é totalmente plano.

Problema: traçar a “planta” desta ligação.

Vejamos um exemplo de solução permitida:


A solução acima é permitida, pois as redes não se cruzam (ou seja, as linhas verde, vermelho e azul não se intersectam)

Exemplo de solução não permitida:


A solução acima não é permitida, pois as redes de eletricidade e de água se cruzam (ou seja, a linha verde e a linha azul se intersectam. Na nossa situação isso significaria que os fios teriam de passar por cima ou por baixo dos canos - o que não é permitido).

Vamos modificar um pouquinho o problema: a mesma situação, mas agora com duas casas:

Exemplos de soluções inválidas para o caso de duas casas:


A solução acima é inválida, pois tanto a linha verde quanto a vermelha se cruzam com a azul.


A solução acima é inválida, pois há 4 intersecções.


A solução acima é inválida, pois a linha de esgoto se cruza com a linha de água.

Agora deixamos os seguintes desafios para o leitor interessado e curioso:

Achar a solução para o caso de duas casas:


Achar a solução para o caso de três casas:



Como responder os desafios acima????


Vele lembrar que os vizinhos são muito egoístas entre si, logo é proibido usar o quintal de um para fazer a ligação de outro. Em outras palavras, as ligações não podem passar por dentro das casas. E também não pode haver "emendas" nas ligações. Veja nas figuras abaixo o que é proibido fazer: 

Observe que na figura acima a ligação de eletricidade na 'casa três' é feita através de uma "emenda" na rede da 'casa um' e a ligação de água na 'casa dois' usa o quintal (ou passa por dentro) da casa três, ambos os caminhos são proibidos. Cada rede deve ser totalmente independente e não passar "por dentro" de nenhuma casa.


[Solução: 1ª PARTE]

[Solução: 2ª PARTE]  


[Solução: FINAL]



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