Geralmente, quando nos deparamos com limites como os exemplos que se seguem, não temos dificuldades em resolvê-los:
É comum adotarmos o procedimento da substituição direta, ou seja, apenas trocamos o x na função pelo número a que ele tende e calculamos o valor da expressão:
Quando calculamos limites semelhantes a estes estamos, na verdade, fazendo uso do seguinte teorema:
Para demonstrar este teorema vamos, primeiramente, enunciá-lo novamente nos moldes da definição formal: Se b e c são números reais quaisquer e m é um número real diferente de zero, então para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que
0 < |x – c| < δ ⇒ |(mx + b) – (mc + b)| < ε
Mas como o vamos provar? Ora, mostraremos que de fato existe um δ para qualquer que for o ε dado.
E como mostraremos que “existe um δ”? Vamos exibí-lo, como se segue – começando por reescrever o lado direito da implicação por meio de algumas manipulações algébricas:
|(mx + b) – (mc + b)| = |mx + b – mc – b|
= |mx – mc + b – b|
= |(mx – mc) + (b – b)|
= |m(x – c) + 0|
= |m(x – c)|
= |m||x – c|
Portanto (substituindo este último resultado na primeira implicação) o que temos que fazer é mostrar que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que
0 < |x – c| < δ ⇒ |m||x – c| < ε
Como m é diferente de zero (pois o enunciado do teorema diz isso) podemos reescrever a desigualdade |m||x – c| < ε do seguinte modo:
Note que para qualquer que for o ε dado existe uma particular escolha para δ que torna a implicação acima válida. De fato, basta escolher:
Observe que o que aconteceu nesta demonstração, e acontecerá nas demonstrações seguintes, é que expressamos o δ em função do ε. Assim, uma vez que o ε for dado o δ também fica dado.
Observe ainda que o que acabamos de fazer foi mostrar que podemos tornar o valor de mx + b tão próximo de mc + b quanto quisermos. Basta para isso tomar x suficientemente próximo de c (mas nunca igual a c). Transferindo isso para o caso do primeiro exemplo dado no início da postagem: podemos tornar o valor de 8x + 1 tão próximo de 1 quanto quisermos. Basta para isso tomar x suficientemente próximo de 0 (mas nunca igual a 0).
Segue imediatamente do Teorema 1 o seguinte resultado:
O teorema acima é, evidentemente, o Teorema 1 para o caso em que b = 0 e, portanto, já está demonstrado. Contudo sua demonstração pode ser feita diretamente pela definição de modo análogo ao que foi feito acima – fica a sugestão para o leitor fazê-la. A aplicação do Teorema 2 está ilustrada no segundo exemplo dado no início da postagem.
Agora, pondo m = 1 no Teorema 2 obtemos:
Agora, pondo m = 1 no Teorema 2 obtemos:
O Teorema 3 por sua vez, está ilustrado no último exemplo dado no início da postagem e também pode ser demonstrado diretamente por meio da definição de limite, tal qual fizemos no primeiro teorema.
Nesta postagem abordamos o Teorema 1 para o caso em que m = 0.
Muito bom mesmo, parabéns!
ResponderExcluirObrigado Vini!
ResponderExcluirAbraço.
Pedro R.
EXCELENTE !
ResponderExcluirJá passei pelos limites, derivadas e integrais, estou nas EDOs agora xD, mas é sempre bom rever o conteúdo, e mais, de uma forma ÚNICA ! melhor explicação sobre limites que vi na vida (e olha que li todos os livros de cálculo que pode imaginar, e alguns idiomas xD rs)!
Gostaria de que se possivel você resolvesse limites pela definição de funções racionais, pois peno muito nisso (na vdd nunca entende bem esta parte). Ex:
lim (3x + 4)/3 = 10/3
x->2
abs
Olá anônimo, muito obrigado pelo elogio. Sem dúvidas é sempre bom rever o conteúdo. Olha tentei responder a sua questão nesta postagem:
ResponderExcluirhttp://manthanos.blogspot.com/2012/01/duvida-do-leitor-sobre-limites.html
Dê uma olhada lá.
Até+
Pedro R.
Olá, gostei do texto,mas ainda estou com muitas dúvidas nas demonstrações.Fui fazer uns exercícios e não consegui.Um deles é este aqui:
ResponderExcluirSeja f(x)= x²/3x-4 , mostre que lim . f(x)= -1
x-> 1
Aguardo a resposta.
Olá anonimo. Sugiro que visite este link: http://manthanos.blogspot.com.br/2012/06/provando-um-limite-duvida-de-um-leitor.html
ExcluirPedro R.
Este comentário foi removido pelo autor.
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ResponderExcluirExcelentes demonstrações! Bem explicado.
ResponderExcluirGostei muito! continue postando.
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