sábado, 18 de junho de 2011

Sobre a definição formal de limite


O conceito de limite, embora usualmente seja estudado no nível superior, está presente em alguns pontos estudados no nível básico, como por exemplo no caso da dedução da fórmula que fornece a soma dos infinitos termos de uma PG.

O conceito de limite é essencial no Cálculo - continuidade, derivada e integral são três conceitos importantíssimos definidos em termos de limites.

O objetivo desta postagem (a primeira de uma série) é explicar a definição formal de limite. As próximas postagens da série se dedicarão a demonstrar alguns teoremas básicos que envolvem limites. 


A primeira tentativa de definição formal de limite, que ocorreu em 1821 pelo matemático francês Cauchy (imagem ao lado), é a seguinte:

Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável aproximam-se indefinidamente de um valor fixo, chegando a diferir dele tão pouco quanto se deseje, este último é chamado limite de todos os outros.

Atualmente, a definição formal de limite contida na maioria dos livros de Cálculo é devida ao matemático alemão Karl Weierstrass (imagem ao lado) e diz o seguinte:

Diz-se que L é um limite da função f(x) para o valor x = c se, dado qualquer número positivo ε, existe um número positivo δ tal que |f(x) – L| < ε para qualquer x que verifique 0 < |x - c| < δ.

Usualmente, para representar limites, utiliza-se a seguinte notação que chamaremos de # e que pode ser lida como “o limite de f(x), para x tendendo a c, é L”:

Algumas maneiras equivalentes de apresentar a definição formal são as seguintes:
  •  Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo c (exceto possivelmente em c) e seja L um número real. A afirmação # significa que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que se 0 < |c|< δ, então |f(x) - L| < ε. 
  • Sejam f uma função e c um ponto no domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em c, se, para todo ε 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x no domínio de f0 < |c| < δ  |f(x) - L| < ε.
  • Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente no próprio c. O limite de f(x) quando x tende a c será L, escrito como # se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado ε 0 qualquer, existe um δ > 0 tal que se 0 < |c| < δ, então |f(x) - L| < ε. 
  • Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número c, exceto possivelmente no próprio c. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e escrevemos # se para todo ε > 0 há um número correspondente δ > 0 tal que |f(x) - L| < ε sempre que 0 < |c|< δ.


Basicamente o significado da definição formal é este:

Se o valor de x se aproxima de c, então o valor de f(x) se aproxima de L

Veja um gráfico animado aqui. Esta interpretação gráfica nos ajuda a entender a ideia de limite, que tem a intenção de expressar o seguinte: 

Se a distância entre x e c se torna menor, então a distância entre  f(x) e L também diminui. 
Ainda de outro modo:

Se a distância entre x e c fica bem pequena então a distância entre f(x) e L também fica bem pequena.

A sentença acima pode ser reformulada da seguinte maneira:

Se a distância entre x e c fica menor do que que algum número pequeno então a distância entre f(x) e L também fica menor do que que algum número pequeno.


Se convencionarmos que, como de costume, as letras gregas δ (delta) e ε (épsilon) representam números pequenos, torna-se possível escrever:

Se a distância entre x e c fica menor do que δ então a distância entre f(x) e L  fica menor do que ε.

Pode-se interpretar a distância entre dois pontos como o módulo da diferença entre eles, portanto pode-se escrever:

Se |x - c| fica menor do que δ então |f(x) - L| fica menor do que ε.

Ou seja:

Se |x - c| é menor do que δ então |f(x) - L| é menor do que ε.

Fazendo uso do símbolo <, que significa "é menor do que", obtém-se:

Se |x - c| < δ então |f(x) - L| < ε

Notando agora que sentenças da forma Se "isso" então "aquilo" são ditas implicações e podem ser abreviadas pelo uso da seta “”chega-se a seguinte expressão:

|x - c| < δ  |f(x) - L| < ε

Um detalhe importante é que, nos limites, apesar de x se aproximar tanto quanto quisermos de c ele nunca chegará em c. Disto resulta, evidentemente, que a diferença x - c jamais será igual a zero e, por conseguinte, sempre teremos |x - c| > 0, ou equivalentemente, 0 < |x - c|. Portanto, para explicitar este detalhe, geralmente se escreve:

0 < |x - c| < δ  |f(x) - L| < ε

Mas não estamos interessados em uma distância pequena em particular, ou seja, não estamos nos referindo a algum ε específico. Quando dizemos que L é o limite de f para x tendendo a c, estamos querendo dizer que para qualquer que seja o ε, não importando o quão pequeno ele seja, sempre vai existir um δ tal que

0 < |x - c| < δ  |f(x) - L| < ε

As definições contidas nos livros ainda dizem que f(c) não precisa estar definida, basta que f esteja definida nalgum intervalo do qual o ponto c seja um extremo (exige-se isto a fim de que seja possível "se aproximar" do ponto c). Um caso típico é o representado neste gráfico animado. Embora f(2) não esteja definida, ou seja, embora não exista f(2), o ponto 2 é extremo de um intervalo no qual f está definida (a saber, do intervalo (2,3)); além disso quando x tende a 2, f(2) tende a 4, por isso o limite de f para x tendendo a 2 é 4.

Na próxima postagem da série começa as demonstrações baseadas na definição formal.

Referências:

Livros de Cálculo dos seguintes autores: Guidorizzi; Leithold; Stewart; Larson;
Livros de Históra da Matemática de Carl B. Boyer;
Imagens extraídas da Wikipédia;
Este site.

Erros podem ser apontados aqui.

10 comentários :

  1. Bom material! Pouco se explora essa parte inicial. Porém ela é muito importante para uma boa compreensão de limites e seu significado, que fará toda a diferença na iniciação ao cálculo.

    Parabéns pelo post e pela iniciativa de tratar de forma mais ampla estes conceitos.

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  2. Olá Profª Paula, fico muito grato pelo elogio!
    Visite sempre o BLOG MANTHANO.
    A propósito, seu blog matematica100limite é muito bom!
    Abraço.
    Pedro R.

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  3. Teria como dar algum exemplo, como atividade, definindo para que tenhamos uma ideia melhor?
    Gostei muito da explicação!

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  4. Olá Ariel C. S. Em primeiro lugar, peço desculpa por demorar para lhe responder. Em segundo lugar peço que, se possível, esclareça melhor o que você espera desta atividade proposta que, sem dúvidas, eu lhe apresentarei uma. Que bom que gostou!!
    Abraço.
    Pedro R.

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  5. Passei 1 ano sem entender uma parte muito importante e aprendi agora =D
    Muito obrigado!

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  6. Este comentário foi removido pelo autor.

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  7. Olá Pedro!

    Ótimo artigo acerca da definição formal de limites, aprendi bastante com suas explicações, obrigado. Também tenho alguns artigos que falam desse assunto que estou lançando em meu curso de cálculo...

    Sempre que possível irei referenciar seus artigos por lá caso não tenha problemas...

    Romirys Cavalcante

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  8. Interessante, mas qual seria a utilização pratica de limite no dia a dia? poderia nos dar um exemplo?

    Parabens pelo material!

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  9. Muito esclarecedor! obrigado pelo post :]

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