Sobre a definição formal de limite

O conceito de limite, embora usualmente seja estudado no nível superior, está presente em alguns pontos estudados no nível básico, como por exemplo no caso da dedução da fórmula que fornece a soma dos infinitos termos de uma PG.

O conceito de limite é essencial no Cálculo - continuidade, derivada e integral são três conceitos importantíssimos definidos em termos de limites.

O objetivo desta postagem (a primeira de uma série) é explicar a definição formal de limite. As próximas postagens da série se dedicarão a demonstrar alguns teoremas básicos que envolvem limites. 

A primeira tentativa de definição formal de limite, que ocorreu em 1821 pelo matemático francês Cauchy (imagem ao lado), é a seguinte:

Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável aproximam-se indefinidamente de um valor fixo, chegando a diferir dele tão pouco quanto se deseje, este último é chamado limite de todos os outros.

Atualmente, a definição formal de limite contida na maioria dos livros de Cálculo é devida ao matemático alemão Karl Weierstrass (imagem ao lado) e diz o seguinte:

Diz-se que L é um limite da função f(x) para o valor x = c se, dado qualquer número positivo ε, existe um número positivo δ tal que |f(x) – L| < ε para qualquer x que verifique 0 < |x - c| < δ.

Usualmente, para representar limites, utiliza-se a seguinte notação que chamaremos de # e que pode ser lida como “o limite de f(x), para x tendendo a c, é L”:

Algumas maneiras equivalentes de apresentar a definição formal são as seguintes:

•  Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo c (exceto possivelmente em c) e seja L um número real. A afirmação # significa que para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - c|< δ, então |f(x) - L| < ε. 

• Sejam f uma função e c um ponto no domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em c, se, para todo ε > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x no domínio de f, 0 < |x - c| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε.

• Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente no próprio c. O limite de f(x) quando x tende a c será L, escrito como # se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado ε > 0 qualquer, existe um δ > 0 tal que se 0 < |x - c| < δ, então |f(x) - L| < ε. 

• Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número c, exceto possivelmente no próprio c. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e escrevemos # se para todo ε > 0 há um número correspondente δ > 0 tal que |f(x) - L| < ε sempre que 0 < |x - c|< δ.

Basicamente o significado da definição formal é este:

Se o valor de x se aproxima de c, então o valor de f(x) se aproxima de L. 

Veja um gráfico animado aqui. Esta interpretação gráfica nos ajuda a entender a ideia de limite, que tem a intenção de expressar o seguinte: 

Se a distância entre x e c se torna menor, então a distância entre  f(x) e L também diminui. 

Ainda de outro modo:

Se a distância entre x e c fica bem pequena então a distância entre f(x) e L também fica bem pequena.

A sentença acima pode ser reformulada da seguinte maneira:

Se a distância entre x e c fica menor do que que algum número pequeno então a distância entre f(x) e L também fica menor do que que algum número pequeno.

Se convencionarmos que, como de costume, as letras gregas δ (delta) e ε (épsilon) representam números pequenos, torna-se possível escrever:

Se a distância entre x e c fica menor do que δ então a distância entre f(x) e L  fica menor do que ε.

Pode-se interpretar a distância entre dois pontos como o módulo da diferença entre eles, portanto pode-se escrever:

Se |x - c| fica menor do que δ então |f(x) - L| fica menor do que ε.

Ou seja:

Se |x - c| é menor do que δ então |f(x) - L| é menor do que ε.

Fazendo uso do símbolo <, que significa "é menor do que", obtém-se:

Se |x - c| < δ então |f(x) - L| < ε

Notando agora que sentenças da forma Se "isso" então "aquilo" são ditas implicações e podem ser abreviadas pelo uso da seta “⇒”chega-se a seguinte expressão:

|x - c| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

Um detalhe importante é que, nos limites, apesar de x se aproximar tanto quanto quisermos de c ele nunca chegará em c. Disto resulta, evidentemente, que a diferença x - c jamais será igual a zero e, por conseguinte, sempre teremos |x - c| > 0, ou equivalentemente, 0 < |x - c|. Portanto, para explicitar este detalhe, geralmente se escreve:

0 < |x - c| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

Mas não estamos interessados em uma distância pequena em particular, ou seja, não estamos nos referindo a algum ε específico. Quando dizemos que L é o limite de f para x tendendo a c, estamos querendo dizer que para qualquer que seja o ε, não importando o quão pequeno ele seja, sempre vai existir um δ tal que

0 < |x - c| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε

As definições contidas nos livros ainda dizem que f(c) não precisa estar definida, basta que f esteja definida nalgum intervalo do qual o ponto c seja um extremo (exige-se isto a fim de que seja possível "se aproximar" do ponto c). Um caso típico é o representado neste gráfico animado. Embora f(2) não esteja definida, ou seja, embora não exista f(2), o ponto 2 é extremo de um intervalo no qual f está definida (a saber, do intervalo (2,3)); além disso quando x tende a 2, f(2) tende a 4, por isso o limite de f para x tendendo a 2 é 4.

Na próxima postagem da série começa as demonstrações baseadas na definição formal.

Referências:

Livros de Cálculo dos seguintes autores: Guidorizzi; Leithold; Stewart; Larson;

Livros de Históra da Matemática de Carl B. Boyer;

Imagens extraídas da Wikipédia;

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