domingo, 5 de junho de 2011

Por que √2 é irracional?

Esta postagem se dedica a mostrar que o número cujo quadrado vale $2$ é irracional (usaremos dois argumentos para isso). Além disso mostraremos que $\sqrt[n]{2}$ é irracional (também por dois argumentos).


Vejamos então porque raiz de dois é irracional:


Primeiramente lembremos que são chamados de números racionais aqueles que podem ser escritos na forma $\tfrac{a}{b}$, com $a$ e $b$ inteiros e $b$ diferente de zero. Em outras palavras, são números que podem ser escritos na forma de fração.


Lembremos agora que se um número é racional então ele pode ser escrito como uma expressão decimal finita ou como uma dízima periódica (veja aqui).


Notando agora que são chamados de números irracionais aqueles que não são racionais, resulta das observações acima que um número é irracional se não puder ser escrito na forma de fração, ou seja, se não puder ser representado como uma expressão decimal finita e nem como uma dízima periódica.

Conforme podemos ver, a expressão decimal de $\sqrt{2}$ não é finita e também não é uma dízima periódica:

$$\sqrt{2} = 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694...$$


Portanto podemos concluir que se trata de um número irracional, certo?

Errado!!!

De fato, se a expressão decimal de um número não é finita e também não é uma dízima periódica então o número em questão é irracional (pois um número é irracional se não for racional e todo racional ou é finito ou uma dízima periódica). Porém não podemos chegar à conclusão da irracionalidade de um número simplesmente olhando para algumas de suas casas decimais.

Na expressão acima o que fizemos foi olhar para as primeiras $50$ casas decimais do número $\sqrt{2}$ à direita da vírgula. Ora, isso é insuficiente para concluir que ele é irracional, pois ele poderia ser finito (e ter $51$ casas depois da vírgula) ou ser infinito (com período de $50$ dígitos ou mais).

Ainda que olhássemos um trilhão de casas decimais não poderíamos concluir que o número $\sqrt{2}$ é irracional, pois o período poderia, por exemplo, começar na trilionésima primeira casa (ou ele poderia ser finito - com um quintilhão de casas decimais).

Que fique claro então que a irracionalidade de um número não pode ser concluída a partir da observação de sua expressão decimal, pois você jamais poderá saber se as casas não vistas terminam em algum lugar ou geram um período.

Na verdade $\sqrt{2}$ é irracional, pois supondo o contrário chegamos a uma contradição. Veja:

Vamos supor que $\sqrt{2}$ é racional. Se o número $\sqrt{2}$ é racional então pode ser escrito como uma fração, digamos que seja possível escrever
$$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$
É claro que qualquer fração pode ser simplificada, vamos imaginar que simplificando a fração acima pelo maior número possível obtemos
$$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$$
Por hipótese a fração $\tfrac{p}{q}$ está simplificada ao máximo (pois dividimos tanto $m$ quanto $n$ pelo maior número possível, ou seja, pelo $\operatorname{mdc}(m,n)$). Isto significa que não existe nenhum número diferente de $1$ que divide simultaneamente $p$ e $q$ (neste caso diz-se que $p$ e $q$ são primos entre si). Observe que os números $p$ e $q$ não podem ser simultaneamente pares, pois se fossem pares então poderíamos simplificar a fração por $2$ (mas como não podemos simplificar - pois já está simplificada ao máximo - eles não podem ser ambos números pares).

Elevando ambos os lados da última igualdade ao quadrado, obtemos o seguinte desenvolvimento:
$$\begin{aligned}
(\sqrt{2})^2&=\left(\frac{p}{q}\right)^2\\ \\
2&=\frac{p^2}{q^2}\\ \\
2q^2&=p^2\\ \\
p^2&=2q^2
\end{aligned}$$
Desta última linha resulta imediatamente que $p^2$ é um número par (pois é múltiplo de $2$). Por consequência, $p$ também é um número par (pois se o quadrado de um número é par, então o próprio número é par). Assim somos forçados a concluir que $q$ deve ser um número ímpar (pois já vimos que $p$ e $q$ não podem ser ambos pares), mas note o seguinte:

Dizer que $p$ é par é equivalente a dizer que $p$ é múltiplo de $2$, ou seja, existe um inteiro $k$ tal que $p=2k$. Fazendo esta substituição na expressão anterior obtemos o seguinte resultado:
$$\begin{aligned}
p^2&=2q^2\\ \\
(2k)^2&=2q^2\\ \\
4k^2&=2q^2\\ \\
2q^2&=4k^2\\ \\
q^2&=\frac{4k^2}{2}\\ \\
q^2&=2k^2
\end{aligned}$$
Desta ultima linha concluímos que $q$ é par, pois como podemos ver $q^2$ é múltiplo de  $2$ (ou seja, $q^2$ é par).


Resumindo o raciocínio:
1 - Observamos que $p$ e $q$ não podem ser ambos números pares;
2 - Concluímos que $p$ é um número par;
3 - Somo levados a concluir que $q$ deve ser um número ímpar.
4 - Somos levados a concluir que $q$ deve ser um número par.


Portanto temos um absurdo: $q$ é par e $q$ é ímpar! Como não pode existir contradição na matemática (e como não pode existir um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo) concluímos que $\sqrt{2}$ não pode ser escrito como uma fração (pois este absurdo vem da suposição inicial de que $\sqrt{2}$ pode ser escrito como uma fração). Logo $\sqrt{2}$ deve ser irracional. $\square$

Observação:
O pré-requisito para a demonstração acima é basicamente um só e bem simples: Se um número tem quadrado par, então o próprio número é par, ou seja se $a^2$ é par então $a$ é parProvaremos este resultado mostrando que se por ventura $a$ fosse ímpar então seu quadrado também seria ímpar:

Se a é um número ímpar, então pode ser escrito da seguinte maneira (onde $t$ é um número inteiro):
$$a = 2t + 1$$Elevando ao quadrado, obtemos:

$$\begin{aligned}
a^2 &= (2t + 1)(2t + 1)\\
&= 4t^2 + 4t + 1\\
&= 2(2t^2 + 2t) + 1
\end{aligned}$$

Chamando o inteiro $(2t^2 + 2t)$ de $s$ podemos escrever:
$$a^2 = 2s + 1 = \text{ número ímpar}$$
Como todo número é par ou é ímpar e como todo ímpar tem quadrado ímpar (conforme vimos nas linhas acima) resulta que se o quadrado de um número é par então o número também é par. $\square$


Há um argumento diferente para demonstrar a irracionalidade de $\sqrt{2}$ que se baseia no Teorema Fundamental da Aritmética (que não será demonstrado nesta postagem): todo número inteiro pode ser decomposto de forma única em um produto de fatores primos, a menos da ordem dos fatores.

Com este fato em mente fazemos a suposição de que $\sqrt{2}$ pode ser escrito como fração, ou seja:
$$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$$
Analogamente ao que foi feito anteriormente, elevando ambos os lados ao quadrado obtemos a seguinte expressão, onde a contradição aparece:
$$m^2=2n^2$$
Note que ao decompor $m^2$ em fatores primos, haverá uma quantidade par de fatores iguais a $2$. Já ao decompor $2n^2$ em fatores primos haverá uma quantidade ímpar de fatores iguais a $2$. Como os dois lados da igualdade designam o mesmo número, a decomposição deveria ser única (a quantidade de fatores iguais a $2$ deveria ser a mesma em ambos os lados da igualdade). Temos então uma contradição - proveniente da suposição de $\sqrt{2}$ poder ser escrito como uma fração, logo raiz de dois não pode ser escrito como uma fração e, portanto, não é racional, ou seja, $\sqrt{2}$ é irracional. $\square$

Na verdade não só $\sqrt{2}$ é irracional como também $\sqrt[n]{2}$ é irracional (onde $n$ é um inteiro maior do que $2$). Uma maneira legal de demonstrar este fato é utilizando o Último Teorema de Fermat (cujo enunciado é simples, mas cuja prova é muito sofisticada). Este Teorema foi provado por Andrew Wiles cerca de 350 anos após ter sido formulado por Pierre de Fermat (que em sua época afirmava - ou mentia - ter uma prova). Tal teorema diz: se $n$ é um número inteiro maior do que dois, então não existem inteiros $a$$b$ e $c$ tais que  $a^n = b^n + c^n$.

Vamos utilizar este teorema para demonstrar que $\sqrt[n]{2}$ é irracional. Começamos supondo que $\sqrt[n]{2}$ é racional:
$$\sqrt[n]{2}=\frac{p}{q}$$
Elevando ambos os lados à $n$-ésima potência e desenvolvendo a expressão:
$$\begin{aligned}
(\sqrt[n]{2})^n&=\left(\frac{p}{q}\right)^n\\ \\
2&=\frac{p^n}{q^n}\\ \\
2q^n&=p^n\\ \\
p^n&=2q^n\\ \\
p^n&=q^n+q^n
\end{aligned}$$
Esta última linha contradiz o Último Teorema de Fermat, ou seja, se $\sqrt[n]{2}$ é racional então a equação $a^n=b^n+c^n$ tem solução. Como Wiles já se deu ao trabalho de provar que $a^n=b^n+c^n$ não tem solução (cerca de 7 anos e 200 páginas) concluímos que a suposição de $\sqrt[n]{2}$ ser racional deve ser falsa, logo $\sqrt[n]{2}$ é irracional. $\square$

Outra maneira de provar que $\sqrt[n]{2}$ é irracional é utilizando o Teorema das Raízes Racionais. Por simplicidade, vamos enunciar este teorema para a função polinomial $f(x)=ax^n+k$ (mas também não o vamos demonstrar nesta postagem): Se $\tfrac{p}{q}$ é uma raiz racional da função polinomial $f(x) = ax^n + k$ (onde $a$, $n$ e $k$ são números inteiros e $a$ é diferente de zero) então $q$ divide $a$ e $p$ divide $k$.


Observe então que $\sqrt[n]{2}$ é solução da equação $x^n-2=0$ e, portanto, é raiz da função polinomial $f(x)=x^n-2$. Mas, pelo teorema que acaba de ser enunciado, se esta função possui alguma raiz racional da forma $\tfrac{p}{q}$ então $q$ divide $1$ e $p$ divide $-2$. Disto resulta que $q$ só pode ser igual a $1$ ou $-1$ e $p$ só pode ser igual a $-1$, $1$, $-2$ ou $2$. Deste modo, os únicos candidatos a raízes racionais da função $f$ são os números $1$, $-1$, $2$ e $-2$. Por inspeção (ou seja, colocando os candidatos no lugar de $x$ na expressão $x^n-2=0$) verificamos que nenhum destes números é raiz da função $f$, logo $f$ não tem raiz racional. E como $\sqrt[n]{2}$ é raiz de $f$ concluímos que $\sqrt[n]{2}$ é irracional. $\square$

As demonstrações omitidas e a irracionalidade de outros números ficam para postagens futuras.

Referência: A maioria dos argumentos apresentados (e enunciados dos teoremas) podem ser encontrados em diversas fontes, dentre as quais:
LIMA, Elon Lages. et alA Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006.
FIGUEIREDO, Djairo G. Números Irracionais e Transcedentes. Rio de janeiro: SBM, 2002.
Pesquisas no Google e no Yahoo Respostas.

Erros (de qualquer natureza) no conteúdo acima podem ser indicados e críticas podem ser feitas aqui.

12 comentários :

  1. Muito bom e fácil de compreender! Continue assim!

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  2. Olá Vini! Muito grato pelo elogio!!
    Abraço.
    Pedro Roberto.

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  3. Excelente a postagem, me mostrou várias formas de provar a irracionalidade da raiz de 2. Meus parabéns.

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  4. Olá Profº Fernando. Que bom que gostou. Obrigado!!
    Abraço.
    Pedro R.

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  5. Opa, andei pesquisando sobre algo e não encontrei essa informação: Será que você pode me dizer se é possível, com regua e compasso, obter um segmento que mede exatamente pi?

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  6. Olá Vini! Sugestão de pesquisa: procure sobre o problema da quadratura do círculo e sobre o fato de ser pi um número transcendente que você irá descobrir a resposta para sua questão. Sugestão de página: http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/quadratura.html
    Abraço.
    Pedro R.

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  7. Muito bom.

    A história desse número pode ser vista em:
    http://portalcognoscere.wordpress.com/2011/07/18/os-pitagoricos-e-os-numeros-irracionais/

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  8. Não entendi a parte do MDC, por que considerar em uma fração em que desconhecemos os valores que o maior número que divide tanto o denominador e o numerador é necessariamente 1?

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  9. Comandante como eu posso provar que log de 2 é irracional.
    gilberto.tinho@ig.com.br

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