Sobre demonstrações envolvendo limites e a definição δ-ε

Recapitulando a definição formal: Dizer que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L significa que para qualquer que seja ε > 0 existe um δ > 0 tal que, para todo x diferente de c, se 0 < | x – c | < δ então |f(x) – L| <  ε. Utiliza-se a seguinte notação:

Conforme foi visto na última postagem isso é um modo formal de dizer que quando x se aproxima de c, f(x) se aproxima de L com o valor de f(x) podendo ficar tão próximo de L quanto quisermos, bastando para isso aproximar x de c o suficiente.

Então, para provar que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L temos que mostrar que para qualquer ε dado existe um δ que torna a seguinte implicação verdadeira:

0 < | x – c | < δ ⇒ | f(x) – L | < ε

Muitas vezes o que temos que fazer é reescrever o lado direito da implicação. No exemplo considerado na última postagem vimos graficamente que:

Se a intenção fosse provar isso utilizando a definição formal teríamos que mostrar que para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que para todo x diferente de c:

Mas observe o seguinte:

Portanto, tudo se resume em mostrar que para qualquer ε positivo existe um δ positivo tal que a seguinte implicação é válida:

0 < |x – 2| < δ ⇒ |x – 2| < ε

Veja, por exemplo, que se ε = 0,01 temos que mostrar que existe um δ tal que

0 < |x – 2| < δ ⇒ |x – 2| < 0,01

Este é um dos casos mais simples. Evidentemente existe um δ que torna a implicação acima válida. Basta escolher δ = 0,01. De fato:

0 < |x – 2| < 0,01 ⇒ |x – 2| < 0,01

Agora se for dado, por exemplo, ε = 0,0001 tudo o que temos que fazer é escolher δ = 0,0001. Para esta função em particular basta sempre escolher δ = ε, para qualquer que for o ε dado.

Observação:

Antes de considerar qualquer teorema sobre limite, talvez seja conveniente relembrar o significado de uma implicação lógica – já que as demonstrações se baseiam nelas.

Sejam A e B dois conjuntos definidos como se segue:

A = {x, tal que x cumpre a condição P}

B = {x, tal que x cumpre a condição Q}

Dizer algumas das sentenças abaixo (que são todas equivalentes) significa que A ⊂ B. 

• P implica Q
• Se P então Q
• P é condição suficiente para Q
• P somente se Q
• Q é condição necessária para P

 Se dissermos, portanto, que “cumprir a condição P” significa satisfazer a desigualdade 0 < | x – c | < δ e que “cumprir a condição Q” significa satisfazer a desigualdade |f(x) – L| <  ε, a demonstração se resume a encontrar um δ conveniente que torne o conjunto A um subconjunto do conjunto B, para qualquer que for o ε dado.

Continua aqui.

Referências: Guidorizzi; Leithold; Stewart; Larson.

Erros podem ser apontados aqui.

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VEJA TAMBÉM

Sobre a definição formal de limite


Demonstrações de teoremas sobre limites

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