domingo, 26 de junho de 2011

Sobre demonstrações envolvendo limites e a definição δ-ε



Recapitulando a definição formal: Dizer que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L significa que para qualquer que seja ε > 0 existe um δ > 0 tal que, para todo x diferente de c, se 0 < | x c | < δ então |f(x) L| <  ε. Utiliza-se a seguinte notação:


Conforme foi visto na última postagem isso é um modo formal de dizer que quando x se aproxima de c, f(x) se aproxima de L com o valor de f(x) podendo ficar tão próximo de L quanto quisermos, bastando para isso aproximar x de c o suficiente.

Então, para provar que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L temos que mostrar que para qualquer ε dado existe um δ que torna a seguinte implicação verdadeira:

0 < | x c | < δ | f(x)L | < ε

Muitas vezes o que temos que fazer é reescrever o lado direito da implicação. No exemplo considerado na última postagem vimos graficamente que:


Se a intenção fosse provar isso utilizando a definição formal teríamos que mostrar que para qualquer ε > 0 existe um δ > 0 tal que para todo x diferente de c:

Mas observe o seguinte:


Portanto, tudo se resume em mostrar que para qualquer ε positivo existe um δ positivo tal que a seguinte implicação é válida:

0 < |x 2| < δ |x – 2| < ε

Veja, por exemplo, que se ε = 0,01 temos que mostrar que existe um δ tal que

0 < |x 2| < δ |x – 2| < 0,01

Este é um dos casos mais simples. Evidentemente existe um δ que torna a implicação acima válida. Basta escolher δ = 0,01. De fato:

0 < |x 2| < 0,01 |x – 2| < 0,01

Agora se for dado, por exemplo, ε = 0,0001 tudo o que temos que fazer é escolher δ = 0,0001. Para esta função em particular basta sempre escolher δ = ε, para qualquer que for o ε dado.

Observação:

Antes de considerar qualquer teorema sobre limite, talvez seja conveniente relembrar o significado de uma implicação lógica – já que as demonstrações se baseiam nelas.

Sejam A e B dois conjuntos definidos como se segue:

A = {x, tal que x cumpre a condição P}
B = {x, tal que x cumpre a condição Q}

Dizer algumas das sentenças abaixo (que são todas equivalentes) significa que ⊂ B. 
  • P implica Q
  • Se P então Q
  • P é condição suficiente para Q
  • P somente se Q
  • Q é condição necessária para P

 Se dissermos, portanto, que “cumprir a condição P” significa satisfazer a desigualdade 0 < | x c | < δ e que “cumprir a condição Q” significa satisfazer a desigualdade |f(x) L| <  ε, a demonstração se resume a encontrar um δ conveniente que torne o conjunto A um subconjunto do conjunto B, para qualquer que for o ε dado.

Continua aqui.

ReferênciasGuidorizzi; Leithold; Stewart; Larson.
Erros podem ser apontados aqui.
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VEJA TAMBÉM

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5 comentários :

  1. Acompanho o seu blog aqui da Alemanha. Parabens! A seriedade e o conteudo fazem do seu blog o melhor blog de matematica em lingua portuguesa!

    fmfgerard@gmail.com (Uni Tübingen)

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  2. Olá Fabrício, muito obrigado pelo elogio!
    Alemanha... terra de gigantes da matemática...
    Abraço.
    Pedro R.

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  3. oi preciso de uma ajuda neste questão....

    Determine o lim ( 3 - 3cosx )
    x 0 x

    usando a regra de L´Hôpital e justifique matematicamente o porque de tal regra pode ser aplicada..

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