Quem é maior: 2^∞ ou ∞^2? ("dois elevado ao infinito" ou "infinito ao quadrado"?)

O que é maior: um produto de infinitos fatores, cada um igual a 2 ou um produto de apenas dois fatores, cada um igual ao infinito?

A pergunta acima reflete apenas um caso particular do problema que iremos propor: se a é um número real maior do que 1 e se e b é um número natural qualquer (eventualmente iguais, tal qual no título desta postagem) então quem é maior: a∞ (um produto de infinitos fatores iguais a  a) ou ∞b (um produto de  b fatores iguais ao infinito)?

Na verdade a pergunta do modo como está formulada não faz muito sentido, pois ∞ não é um número (e, geralmente, quando falamos em potências estamos lidando com números). Mas vamos explicar o que ela está querendo significar. Para tanto observe a seguinte tabela que mostra o caso do título (o caso em que a = 2 e b = 2):

A tabela acima nos sugere que a partir da quinta linha o número 2ⁿ é sempre maior do que o número n². Deste modo, para números arbitrariamente grandes sempre temos 2ⁿ > n². Daí vem a "brincadeira" da figura inicial, na qual escrevemos 2∞ > ∞² (o que, no nosso texto, significa que para um natural m suficientemente grande sempre tem-se 2ⁿ > n², desde que n seja maior do que m. Neste caso, olhando para a tabela concluímos que é suficiente que m seja igual a quatro. Em outros termos: se n > 4 então  2ⁿ > n²).


Vejamos agora um outro caso, o caso em que a = 5 e b = 8:

Neste caso, conforme nos sugere a tabela, o número 5ⁿ só será maior do que n⁸ a partir da  décima terceira linha.


Vejamos um terceiro caso, no qual a = 3 e b = 8.

No caso acima, a tabela nos induz a crer que é necessário n ser maior do que vinte e dois para se ter 3ⁿ > n⁸.


Comparando as tabelas podemos notar que, aparentemente, quanto mais b for maior do que a, tanto mais vai demorar para que se tenha aⁿ > n^b (se colocássemos, por exemplo, a = 2 e b = 25 então a referida desigualdade só ocorreria na centésima noningentésima linha!). Imagine, agora, se colocássemos a = 2 e b = 1000000. Será que haveria uma linha a partir da qual 2ⁿ seria sempre maior do que n^1000000? Com esta motivação fazemos a seguinte


PERGUNTA: Para quaisquer que sejam os valores de a e b (desde que seja a > 1 e b ∈ ℕ) sempre existe uma linha a partir da qual aⁿ > n^b (independentemente de quão maior do que a seja b)? Em outros termos: escolhendo de modo totalmente arbitrário os valor de a e b, exceto pela restrição já mencionada, sembre é possível encontrar um natural m tal que aⁿ é maior do que n^b para todo natural n maior do que  m?


Dizer que não significa que é possível montar uma tabela (parecida com aquelas que foram apresentadas acima) na qual, numa mesma linha, o valor da coluna central será sempre menor do que o valor da coluna da direita. Por outro lado, dizer que sim significa que em qualquer tabela, se escrevermos um número suficiente de linhas vamos encontrar uma delas a partir da qual o valor da coluna central será sempre maior do que o valor da coluna da direita.


Confira uma resposta em breve aqui no BLOG MANTHANO.


Observação: grosso modo, pode-se dizer que para qualquer natural k, k∞ é infinito assim como ∞k, logo não faz sentido dizer que um é maior do que o outro. Então, que fique claro: quando usamos o "infinito" nas perguntas, nas desigualdades e nas tabelas acima ele representou um número arbitrariamente grande.


Referências: na postagem da solução.
Erros podem ser relatados aqui.