Por que todo número racional, quando não é um decimal finito, é uma dízima periódica?

Não é raro encontrarmos um indivíduo que saiba que números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma $\tfrac{a}{b}$, onde $a$ é um número inteiro e $b$ é um número inteiro diferente de zero.

A maioria deles talvez saiba que tais números podem ser escritos como uma expressão decimal finita (por exemplo $\tfrac{53}{20}=2,65$) ou como uma dízima periódica (por exemplo $\tfrac{10}{3}=3,333333333...$).

O que talvez a minoria saiba é explicar a periodicidade das dízimas, afinal porque é que todo racional não finito é uma dízima periódica?

O número racional (como sabemos, já dissemos e repetiremos), são aqueles que podem ser escritos na forma $\tfrac{a}{b}$, com $a$ e $b$ pertencentes ao conjunto dos números inteiros e $b$ diferente de zero.

Vejamos alguns exemplos: 

Suponha, então, que você tem o número racional $\tfrac{a}{b}$.

Imagine que você quer efetuar a divisão para obter uma expressão decimal:

Como de costume, você vai obter um cociente e um resto:

(Obs.: na figura acima considere que há a necessidade de escrever um zero ao lado do resto r para efetivamente fazer a conta, mas vamos omitir estes zeros nas nossas figuras – mas eles estão lá!)

É claro que o processo não para por aí. A divisão continua até obtermos um resto zero e, quando isso ocorre, dizemos que a divisão é exata e obtemos uma expressão decimal finita:

Mas vamos supor que dividindo $a$ por $b$ não obtemos resto zero.

Importante: Note que o resto não pode ser um número qualquer. Ele deverá, necessariamente, ser menor do que o divisor. Portanto haverá $b-1$ possibilidades para o resto.

Suponha, então, que você fique dividindo e dividindo, aumentando os dígitos no cociente e não apareça um resto zero:

Sabe o que acontecerá?

Em algum momento haverá um resto repetido. Na verdade, no máximo o $b$-ésimo resto será repetido:

E a partir deste momento os dígitos do cociente começam a se repetir gerando o que chamamos de período da dízima:

E a conta prossegue... sem fim...

Vejamos, a seguir, um exemplo numérico pra melhor elucidar a ideia. 

Suponha, então, que você tem o racional $\tfrac{14}{5}$. Imagine que você quer efetuar a divisão pra obter um valor na forma de uma expressão decimal:

Como de costume, você vai obter um cociente e um resto:

Continuando a conta:

 (Obs.: daqui em diante não omitiremos os zeros)

A divisão continua até obtermos um resto zero e, quando isso ocorre, dizemos que a divisão é exata e obtemos uma expressão decimal finita:

Mas há casos em que o zero nunca aparece como resto, ou seja, casos em que não estamos lidando com uma expressão decimal finita (por exemplo no caso do racional $\tfrac{21}{13}$). Então, como estamos acostumados a afirmar, este número deve ser uma dízima periódica já que é racional e não é um decimal finito.

Observe (e isto é ponto chave da argumentação) que no caso da divisão de $21$ por $13$ o resto não pode ser um número qualquer. Ele deve, necessariamente, ser menor do que $13$. Portanto, neste caso, há $12$ possibilidades para o resto: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$ e $12$.

Supõe então que você se depare com um caso em que fique dividindo e dividindo, aumentando os dígitos no cociente e não apareça um resto zero:

Perceba que, no máximo, o $13^\circ$ resto será repetido (pois como só há doze restos possíveis, a partir do décimo segundo, ou eventualmente até mesmo antes, haverá uma repetição):

 E a partir deste momento os dígitos do cociente começam a se repetir gerando o que chamamos de período:

Confira a conta na íntegra:

Note que o período desta dízima é $615384$.

Observe que, o que acabamos de ver, foi porque todo número racional ou é uma expressão decimal finita ou então é uma dízima periódica. Em resumo:

Se aparecer o resto zero então a divisão acabou e não há mais nada para acrescentar no cociente, logo obtemos uma expressão decimal finita.

Se não aparecer resto zero, então haverá uma quantidade infinita de restos (pois a conta não acabará) e portanto haverá um momento em que algum dos restos anteriores se repetirá (pois há um número finito de possibilidades para o resto: eles devem ser menores do que o divisor), logo o dígito a ser inserido no cociente será o mesmo que você inseriu quando o resto repetido apareceu pela primeira vez. A partir deste ponto todos os restos (e dígitos do cociente) começarão a se repetir periodicamente (e infinitamente).

Explicando melhor porque é que o tal resto sempre será menor do que o divisor: Note que se ao dividir $a$ por $b$ você obtém um primeiro dígito $q$ no cociente e um resto $r$ maior do que $b$, então sua escolha de $q$ foi errada. Você deveria, talvez, ter escolhido $q+1$ como o primeiro dígito do cociente (ou $q+2$ ou $q+50$ e isso depende de quão ruim foi sua escolha para $q$). Dito de ouro modo: caso sobre um resto maior do que o divisor então você está respondendo de maneia errada a perguntinha do fundamental “tem $a$ na tabuada do $b$? Não? Então qual é número que multiplicado por $b$ chega mais perto do $a$?” ou  “tem $a$ na tabuada do $b$? Não? Então qual é o número que vem antes?” ou algo parecido.

Referência:

LIMA, Elon Lages. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006. (Coleção do Professor de Matemática)

Erros (de qualquer natureza) no conteúdo acima podem ser indicados e críticas podem ser feitas aqui.