Resolvendo o problema do retângulo e triângulo inscritos

[veja o problema aqui]

Vamos chamar a altura do triângulo de H, conforme a figura abaixo:

Note agora que um modo alternativo de enunciar o problema seria este: encontre h que satisfaça a seguinte igualdade:

(área do retângulo = área do triângulo)

Dividindo ambos os lados da equação por b, e depois multiplicando ambos os lados por 2 obtemos:

Dando outra olhada na figura não é difícil perceber que:

Nesta última igualdade, podemos subtrair h/2 de ambos os lados para obter:

Temos então duas expressões diferentes que designam a mesma medida H. Já que são ambas iguais a H são, também, iguais entre si, logo podemos escrever:

Resolvendo esta equação obtemos, enfim, o valor de h. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para "eliminar" a fração:

Somando h a ambos os lados:

Colocando h em evidência:

Efetuando a adição:

Dividindo ambos os lados por 5:

Efetuando a divisão:

E o problema está resolvido!

Observe que tínhamos, inicialmente, 2 valores desconhecidos: a altura do retângulo (h) e a altura do triângulo (H). O que fizemos foi encontrar duas expressões distintas que relacionam estas duas incógnitas - e esta era, justamente, a parte difícil do problema! Feito isso fica fácil de resolver: basta obter algum valor em uma das expressões e substituir na outra (este é um dos mais básicos princípios que se utiliza quando a intenção é solucionar um sistema de equações lineares de duas incógnitas - daí a importâcia de problemas como este).

Observe que o Geogebra confirma o resultado acima encontrado:

Referência: solucionado por Diego Monteiro Resende de Andrade.

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