Comentário sobre produto interno

Esta postagem, de caráter explicativo/introdutório/elementar é direcionada para quem tem pouca familiaridade com a noção de produto interno e tem o objetivo de auxiliar a compreensão de duas postagens posteriores.

Lembremos que quando falamos de funções cujo domínio é $\mathbb{R}$, é costumeiro utilizar o símbolo $x$ para representar um elemento qualquer de $\mathbb{R}$ e a notação $f(x)$  para representar a imagem do elemento $x$.

Por sua vez, quando o domínio da função é $\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$ frequentemente utilizamos o símbolo $(x,y)$ para representar um elemento de $\mathbb{R}^2$ e a notação $f(x,y)$ para representar a imagem do elemento $(x,y)$. Assim, a notação $f\left ( (x,y) \right )$ é, usualmente, deixada de lado.

Fato simples, mas talvez pouco notado, é que às vezes dispensamos até mesmo a notação $f(x,y)$  ao lidarmos com uma função de duas variáveis. Por exemplo, quando o assunto é a adição não escrevemos $f(2,8) = 10$ mas sim $2+8 = 10$ (e a adição é uma função que leva $\mathbb{R}^2$ em $\mathbb{R}$).

Algo semelhante ocorre com o produto interno. Mas o que mesmo é um produto interno?

Dado um espaço vetorial real $V$, um produto interno em $V$ é uma função $f:V\times V \rightarrow \mathbb{R}$ que cumpre as seguintes condições:

$f(u,v)=f(v,u)$

$f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)$

$f(ku,v)=kf(u,v)$

$f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)$

$f(u,kv)=kf(u,v)$

$f(u,u)>0$ quando $u \neq 0$

E isso tem que valer sempre, quaisquer que sejam $u,v,w\in V$ e $k\in\mathbb{R}$.

O produto interno mais comum (talvez o primeiro com o qual entramos em contato) é aquele definido em $\mathbb{R}^n$ através da expressã
$$u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_n$$

onde $u=(u_1,u_2,...,u_n)$ e $v=(v_1,v_2,...,v_n)$ são vetores de $\mathbb{R}^n$ (o leitor interessado poderá verificar que esta operação satisfaz todas as condições acima mencionadas e que, portanto, realmente se trata de um produto interno no sentido da definição dada).

Correndo o risco de parecer redundantes, frisamos que num contexto mais amplo, não apenas esta operação é denominada de produto interno mas também qualquer outra que satisfaz as condições listadas.

Outra coisa para se notar é que neste caso específico, em vez de usarmos a notação $f(u,v)$ para indicar a imagem do par $(u,v)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ utiliza-se simplesmente $u\cdot v$. No mesmo contexto em que esta notação ocorre, tal operação é conhecida como produto escalar e, em outros contextos (nos mais gerais), ela é conhecida como produto interno canônico. O fato é que nem mesmos nestes “outros contextos” se costuma utilizar a notação $f(u,v)$ para representar o produto interno de $u$ e $v$. Na prática, o que se utiliza é $\langle u,v \rangle$. Substituindo esta notação nas seis condições acima mencionadas, o leitor poderá obter um enunciado convencional da definição de produto interno em espaços vetoriais reais.

Dito isto, nosso objetivo é explorar esta noção numa demonstração de uma versão do Teorema de Pitágoras para espaços vetoriais reais e numa demonstração da Desigualdade de Schwarz (também para espaços vetoriais reais). Confira em breve aqui no BLOG MANTHANO.

Referência: Livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima.
Erros podem ser relatados aqui.