Uma demonstração da desigualdade de Schwarz (em espaços reais)

Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)

O objetivo desta postagem é apresentar uma demonstração da desigualdade de Schwarz (não confundir com Schwartz), que enuncia o seguinte:

Se $u$ e $v$ são elementos de um espaço vetorial real com produto interno, então $| \langle u,v \rangle | \leq \| u\| \| v \|$.

Prova:

Se um dos vetores é nulo, digamos $u=0$, então a afirmação é verdadeira, pois neste caso temos

$$| \langle u,v \rangle |=| \langle 0,v \rangle | =0=\| 0\| \| v \|=\| u\| \| v \|$$

Se nenhum dos vetores é nulo, defina $u'=\tfrac{u}{ \| u \|}$. Afirmamos que $\| u' \| =1$. De fato, pela definição de norma e pelas propriedades do produto interno:

$$\begin{aligned} \| u' \| &= \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\| u \|}, \frac{u}{\| u \|} \right \rangle}\\ \\ &= \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle}}, \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle }} \right \rangle}\\ \\ & = \sqrt{ \frac{1}{\sqrt{\langle u,u \rangle^2}} \langle u,u \rangle }\\ \\ & = \sqrt{\frac{\langle u,u \rangle}{\langle u,u \rangle}}=1 \end{aligned}$$

Defina o vetor $z=\langle u',v \rangle u'$. Afirmamos que $\| z \| = \tfrac{| \langle u,v \rangle |}{ \| u \|}$. De fato, usando este último resultado (em conjunto com a definição e as propriedades já utilizadas acima) obtemos: 

$$\begin{aligned} \| z \| &= \| \langle u',v \rangle u' \| \\ \\ &=\sqrt{\langle \langle u',v \rangle u' , \langle u',v \rangle u' \rangle}\\ \\ &=\sqrt{\langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u' , u' \rangle}\\ \\ &=\sqrt{\langle u',v \rangle^2\| u'\|}\\ \\ &=|\langle u',v \rangle|\\ \\ &=\left |\left \langle \frac{u}{\| u \|},v \right \rangle\right |\\ \\ &=\left |\frac{1}{\| u \|}\langle u,v \rangle\right |\\ \\ &=\frac{|\langle u,v \rangle|}{\| u \|} \end{aligned}$$

Agora, defina o vetor $w=v-z$. Afirmamos que $z$ e $w$ são ortogonais. De fato:

$$\begin{aligned} \langle w,z \rangle &= \langle v-z,z \rangle \\ \\ &= \langle v,z\rangle-\langle z,z\rangle\\ \\ &=\langle v, \langle u',v \rangle u' \rangle - \langle \langle u',v \rangle u', \langle u',v \rangle u'\rangle\\ \\ &=\langle u',v \rangle \langle v, u' \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u', u'\rangle\\ \\ &=\langle u',v \rangle \langle u', v \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle=0 \end{aligned}$$

Segue-se que o Teorema de Pitágoras se aplica, ou seja:

$$\| z+w\| ^2= \| z\| ^2 +\| w\| ^2$$

Por conseguinte, se $w\neq 0$ então:

$$\begin{aligned} &\| z \| ^2 < \| z+w \| ^2 = \| v \| ^2\\ \\ \Longrightarrow \quad &\| z \| < \| v \|\\ \\ \Longrightarrow\quad &\frac{|\langle u,v \rangle |}{\| u \|} < \| v \|\\ \\ \Longrightarrow\quad& |\langle u,v \rangle < \| u \| \| v \| \end{aligned}$$
Se, por outro lado, $w=0$, então
$$\begin{aligned} &\| z \| ^2 = \| z+w \| ^2 = \| v \| ^2\\ \\ \Longrightarrow \quad&\| z \| = \| v \| \\ \\ \Longrightarrow \quad&\frac{|\langle u,v \rangle |}{\| u \|} = \| v \| \\ \\ \Longrightarrow\quad& |\langle u,v \rangle = \| u \| \| v \| \end{aligned}$$

Assim, temos $|\langle u,v \rangle |< \| u\| \| v \|$ ou $|\langle u,v \rangle |= \| u\| \| v \|$. Ou seja,

$$| \langle u,v \rangle | \leq \| u\| \| v \|$$

$\blacksquare$

OBSERVAÇÃO:

Note que para a igualdade valer, é necessário que $v$ seja múltiplo de $u$. De fato, ela vale quando $w=0$ e 

$$\begin{aligned} w=0\quad&\Longrightarrow \quad v-z=0\\ \\ &\Longrightarrow\quad v=z=\langle u',v \rangle u' = \langle u',v\rangle\frac{u}{\| u\|}=\frac{\langle u,v \rangle }{\| u \|}u \end{aligned}$$

(há uma constante multiplicando $u$, logo $v$ é um múltiplo seu)

Note também que é suficiente que $v$ seja múltiplo de $u$ (isto é, que $v$ seja o resultado da multiplicação de $u$ por uma constante) para que a igualdade seja válida. Apesar de omitirmos os detalhes algébricos (meras aplicações das propriedades e definições já mencionadas/usadas), o leitor interessado poderá verificar que

$$v=ku \quad\Longrightarrow \quad\| u \| \| v \| = \| u \| \| ku \| =|\langle u,ku \rangle|=|\langle u,v \rangle |.$$

Assim, para se obter a igualdade é necessário e suficiente que $u$ seja múltiplo de $v$. Em outros termos: a igualdade vale se, e somente se, $u$ e $v$ são linearmente dependentes.

Referências: livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima e wolframalpha.
Erros podem ser relatados aqui.