sábado, 15 de dezembro de 2012

Uma demonstração da desigualdade de Schwarz (em espaços reais)


Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)

O objetivo desta postagem é apresentar uma demonstração da desigualdade de Schwarz (não confundir com Schwartz), que enuncia o seguinte:

Se $u$ e $v$ são elementos de um espaço vetorial real com produto interno, então $| \langle u,v \rangle | \leq \| u\| \| v \| $.
Prova:

Se um dos vetores é nulo, digamos $u=0$, então a afirmação é verdadeira, pois neste caso temos
$$| \langle u,v \rangle |=| \langle 0,v \rangle | =0=\| 0\| \| v \|=\| u\| \| v \| $$
Se nenhum dos vetores é nulo, defina $u'=\tfrac{u}{ \| u \|}$. Afirmamos que $\| u' \| =1$. De fato, pela definição de norma e pelas propriedades do produto interno:
$$\begin{aligned}
\| u' \| &= \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\| u \|}, \frac{u}{\| u \|} \right \rangle}\\ \\
&= \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle}}, \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle }} \right \rangle}\\ \\
& = \sqrt{ \frac{1}{\sqrt{\langle u,u \rangle^2}} \langle u,u \rangle }\\ \\
& = \sqrt{\frac{\langle u,u \rangle}{\langle u,u \rangle}}=1
\end{aligned}$$
Defina o vetor $z=\langle u',v \rangle u' $. Afirmamos que $ \| z \| = \tfrac{| \langle u,v \rangle |}{ \| u \|} $. De fato, usando este último resultado (em conjunto com a definição e as propriedades já utilizadas acima) obtemos: 
$$\begin{aligned}
\| z \| &= \| \langle u',v \rangle u' \| \\ \\
&=\sqrt{\langle \langle u',v \rangle u' , \langle u',v \rangle u' \rangle}\\ \\
&=\sqrt{\langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u' , u' \rangle}\\ \\
&=\sqrt{\langle u',v \rangle^2\| u'\|}\\ \\
&=|\langle u',v \rangle|\\ \\
&=\left |\left \langle \frac{u}{\| u \|},v \right \rangle\right |\\ \\
&=\left |\frac{1}{\| u \|}\langle u,v \rangle\right |\\ \\
&=\frac{|\langle u,v \rangle|}{\| u \|}
\end{aligned}$$
Agora, defina o vetor $w=v-z$. Afirmamos que $z$ e $w$ são ortogonais. De fato:
$$\begin{aligned}
\langle w,z \rangle &= \langle v-z,z \rangle \\ \\
&= \langle v,z\rangle-\langle z,z\rangle\\ \\
&=\langle v, \langle u',v \rangle u' \rangle - \langle \langle u',v \rangle u', \langle u',v \rangle u'\rangle\\ \\
&=\langle u',v \rangle \langle v, u' \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u', u'\rangle\\ \\
&=\langle u',v \rangle \langle u', v \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle=0
\end{aligned}$$
Segue-se que o Teorema de Pitágoras se aplica, ou seja:
$$\| z+w\| ^2= \| z\| ^2 +\| w\| ^2$$
Por conseguinte, se $w\neq 0$ então:
$$\begin{aligned}
&\| z \| ^2 < \| z+w \| ^2 = \| v \| ^2\\ \\
\Longrightarrow \quad &\| z \| < \| v \|\\ \\
\Longrightarrow\quad &\frac{|\langle u,v \rangle |}{\| u \|} < \| v \|\\ \\
\Longrightarrow\quad& |\langle u,v \rangle < \| u \| \| v \|
\end{aligned}$$
Se, por outro lado, $w=0$, então
$$\begin{aligned}
&\| z \| ^2 = \| z+w \| ^2 = \| v \| ^2\\ \\
\Longrightarrow \quad&\| z \| = \| v \| \\ \\
\Longrightarrow \quad&\frac{|\langle u,v \rangle |}{\| u \|} = \| v \| \\ \\
\Longrightarrow\quad& |\langle u,v \rangle = \| u \| \| v \|
\end{aligned}$$
Assim, temos $|\langle u,v \rangle |< \| u\| \| v \| $ ou $|\langle u,v \rangle |= \| u\| \| v \| $. Ou seja,
$$ | \langle u,v \rangle | \leq \| u\| \| v \| $$
$\blacksquare$

OBSERVAÇÃO:

Note que para a igualdade valer, é necessário que $v$ seja múltiplo de $u$. De fato, ela vale quando $w=0$ e 
$$\begin{aligned}
w=0\quad&\Longrightarrow \quad v-z=0\\ \\
&\Longrightarrow\quad v=z=\langle u',v \rangle u' = \langle u',v\rangle\frac{u}{\| u\|}=\frac{\langle u,v \rangle }{\| u \|}u
\end{aligned}$$
(há uma constante multiplicando $u$, logo $v$ é um múltiplo seu)

Note também que é suficiente que $v$ seja múltiplo de $u$ (isto é, que $v$ seja o resultado da multiplicação de $u$ por uma constante) para que a igualdade seja válida. Apesar de omitirmos os detalhes algébricos (meras aplicações das propriedades e definições já mencionadas/usadas), o leitor interessado poderá verificar que
$$v=ku \quad\Longrightarrow \quad\| u \| \| v \| = \| u \| \| ku \| =|\langle u,ku \rangle|=|\langle u,v \rangle |. $$
Assim, para se obter a igualdade é necessário e suficiente que $u$ seja múltiplo de $v$. Em outros termos: a igualdade vale se, e somente se, $u$ e $v$ são linearmente dependentes.


Referências: livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima e wolframalpha.
Erros podem ser relatados aqui.

Um comentário :

  1. Como posso provar que a desigualdade de Cauchy-Schwarz vale apenas quando os vetores são linearmente dependentes?

    Obg!

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