Teorema de Pitágoras para além do plano

Supomos o leitor familiarizado com as noções de espaço vetorial real e de produto interno.

O objetivo desta postagem é apresentar uma versão do Teorema de Pitágoras do ponto de vista da álgebra linear, de acordo com a qual, em todo espaço vetorial real com produto interno, vale uma fórmula análoga àquela bem conhecida da geometria ($a^2=b^2+c^2$).

Por certo, nesta generalização as interpretações geométricas desaparecem; nela se estendem as noções de perpendicularidade e comprimento falando-se, então, em ortogonalidade e norma - conceitos estes cujas definições serão necessárias e que, portanto, relembramos a seguir.

Definição de norma: Dado um espaço vetorial real $V$ com produto interno e um elemento $v\in V$, o número $\sqrt{\langle v,v \rangle}$ é chamado de norma de $v$ e representado por $\| v \|$.

Definição de vetores ortogonais: Seja $V$ um espaço vetorial real com produto interno e sejam $u$ e $v$ elementos de $V$. Diz-se que $u$ e $v$ são ortogonais quando $\langle u,v \rangle=0$.

Teorema (de Pitágoras para espaços vetoriais reais): Em qualquer espaço vetorial real com produto interno, o quadrado da norma de uma soma de vetores ortogonais é igual à soma dos quadrados das normas destes vetores. Em outros termos: se $V$ é um espaço vetorial real com produto interno e se $u_1,u_2,\cdots,u_n$ são elementos de $V$ dois a dois ortogonais, então $$\| u_1 + u_2 + \cdots + u_n \| ^2 = \| u_1 \| ^2 + \| u_2 \| ^2 + \cdots + \| u_n \| ^2$$

Prova:

Pela definição da norma (1ª e 7ª igualdades), pelas propriedades do produto interno (2ª, 3ª e 4ª igualdades) e usando que os vetores são ortogonais entre si (5ª igualdade), obtemos:

$$\begin{aligned}
&\| u_1+\cdots +u_n \| ^2=\langle u_1+\cdots +u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle\\ \\
&=\langle u_1,u_1+\cdots +u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle \\ \\
&=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_1,u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle \\ \\
&=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +2\langle u_1,u_2 \rangle +\cdots +2\langle u_1,u_n\rangle \\ \\
&=\langle u_1,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +0+\cdots +0\\ \\
&=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle \\ \\
&=\| u_1 \| ^2+\cdots +\| u_n \| ^2
\end{aligned}$$

$\blacksquare$

Em postagem posterior veremos uma aplicação deste resultado na demonstração da desigualdade de Schwarz.

Referência: livro Álgebra Linear de Seymour Lipschutz.

Erros podem ser relatados aqui.