terça-feira, 19 de fevereiro de 2013

Exercício de cálculo resolvido passo a passo - diferencial total (dúvida do leitor)


Atendendo o pedido de um leitor, apresento nesta postagem solução para o seguinte

Problema: utilize diferencial total para aproximar o valor de
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}\tag{$*$}$$
Solução: a expressão do diferencial total é dada por
$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y} dy\tag{#}$$
Inspirados por $(*)$, vamos considerar a função de duas variáveis $z = f(x, y)$ definida pela expressão
$$z=\sqrt{\frac{x}{y}}$$
Calculando a derivada parcial com relação à variável $x$:
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[\sqrt{x}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{\partial }{\partial x}\left[x^{\frac{1}{2}}\right]=\frac{1}{\sqrt{y}}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}$$
Calculando a derivada parcial com relação à variável $y$:
$$\frac{\partial z}{\partial y}
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\sqrt{\frac{x}{y}}\right]
=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}\right]
=\sqrt{x}\frac{\partial }{\partial x}\left[y^{-\frac{1}{2}}\right]
=\sqrt{x}\left(-\frac{1}{2}\right)y^{-\frac{3}{2}}=-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}
$$
Substituindo em $(\text{#})$:
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{y}}dx+\left(-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y^3}}\right)dy$$
Tomando$x=16$ e $y=9$ obtemos $dx=15,89-16=-0,11$ e $dy=9,02-0,02=0,02$ (note que escolhemos $x=16$, em vez de $x=15$, pois é fácil calcular a raiz quadrada de $16$ enquanto que a de $15$ não é). Substituindo estes valores na última igualdade:
$$dz=\frac{1}{2\sqrt{16}\sqrt{9}}\cdot(-0,11)+\left(-\frac{\sqrt{16}}{2\sqrt{9^3}}\right)\cdot0,02$$
Fazendo a conta:
$$dz=-\frac{0,11}{2\cdot4\cdot3}-\frac{4\cdot0,02}{2\cdot 27}=-0,004$$
Agora, usando que quando $dx$ e $dy$ são pequenos tem-se
$$f(x+dx,y+dy)\cong f(x,y)+dz,$$
concluímos que
$$\sqrt{\frac{15,89}{9,02}}=\sqrt{\frac{16-0,11}{9+0,02}}\cong\sqrt{\frac{16}{9}}-0,004=\frac{4}{3}-0,004\cong1,32.$$
Observação: com uma calculadora podemos obter a aproximação $1,31$, que é um resultado bem próximo do resultado obtido acima.

Referência: volume dois do livro de cálculo de Ron Larson (e outros).
Erros podem ser relatados aqui.

6 comentários :

  1. Me ajudaaaa.
    Calcular aproximadamente por meio de diferenciais ³√26,98√36,04 a 3 decimais.

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    Respostas
    1. ³√x.√y = x^(1/3).y^(1/2)
      Derivando em x e em y, temos

      Fx = (1/3) x^(-2/3).y^(1/2)
      Fy = (1/2). y^(-1/2) x^(1/3)

      Dx = 26,98 - 27 = -0,02
      Dy = 36,04 - 36 = 0,04

      Aplique (27,36) nas derivadas Fx e Fy
      encontre fx(27,36) = 2/9
      fy(27,36) = 1/4

      Agora resolva a expressão

      fx(27,36). Dx + fy(27,36).Dy = 2/9 (-0,02) + (1/4) * (0,04) = 0,00555

      Resolva: (³√27.√36) + 0,00555 = 18,005555

      Excluir
  2. O pH de uma solução é o logaritmo decimal do inverso da concentração de
    H
    3
    0
    +
    . Qual é o pH de uma solução cuja concentração de H
    3
    0
    +
    é 4,5. 10
    -
    5

    /
    mol
    ?
    Dados log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70

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  3. Preciso de 3 exercícios resolvidos passo à passo de Equações Diferenciais, com aplicações na Engenharia Mecânica, pois estou tendo muita dificuldade em conseguir esse tipo de conteúdo

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