Um problema, várias soluções (continuação)

Nesta postagem apresentarei as três soluções prometidas para o problema proposto na postagem um problema, várias soluções. Além disso, acrescentarei a elas as soluções dos dois leitores que participaram com comentários, as quais enriqueceram a postagem.

SOLUÇÃO 3 (usando adição e multiplicação):

Esta, creio eu, é a mais simples de todas; o que ela faz é, simplesmente, contar as varetas diretamente. Basta observar que se há $$n$$  varetas na base do quadrado, então há   $$n+1$$ colunas verticais de varetas cada uma com $$n$$ varetas cada; analogamente, há $$n+1$$ colunas horizontais cada uma com $$n$$ varetas cada. Logo, o número total de varetas é varetas na vertical + varetas na horizontal, ou seja, 

$$n(n+1)+n(n+1)=2n(n+1)$$

SOLUÇÃO 4 (usando funções quadráticas):

Vamos olhar para os termos da sequência $$(a_n)$$ , onde $$a_n$$ representa o número de varetas do n-ésimo quadrado:

$$4, \;12,\; 24,\;40,\;60,\;84,\cdots, a_n,\cdots$$

Analisando estes termos, vemos que se trata de uma Progressão Aritmética de Segunda Ordem. Logo, pelo teorema de caracterização das funções quadráticas, concluímos que $$a_n$$ tem a forma de uma função quadrática, ou seja, existem $$x\neq 0$$ , $$y$$ e $$z$$ tais que

$$a_n=xn^2+yn+z$$

Usando que $$a_1=4$$ , $$a_2=12$$ e $$a_3=24$$ , resolvemos o sistema 

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=4\\ 4x+2y+z=12\\ 9x+3y+z=24\end{matrix}\right$$

e concluímos que $$x=2$$ , $$y=2$$ e $$z=0$$ . Segue que

$$a_n=2n^2+2n+0=2n(n+1)$$

SOLUÇÃO 5 (usando progressão aritmética):

Vamos novamente olhar para os termos da sequência $$(a_n)$$ :

$$4, \;12,\; 24,\;40,\;60,\;84,\cdots, a_n,\cdots$$

Observando os seis primeiros termos, vê-se que o primeiro é múltiplo de $$1$$ , o segundo é múltiplo de $$2$$ , o terceiro de $$3$$ e assim por diante. Supondo que este padrão persiste, a sequência pode ser expressa da seguinte maneira:

$$1\cdot 4, \;2\cdot 6,\; 3\cdot 8,\;4\cdot 10,\;5\cdot 12,\;6\cdot 14,\cdots, n\cdot b_n,\cdots$$

onde $$b_n$$ representa o n-ésimo termo de uma PA cuja razão é $$2$$ cujo primeiro termo é $$4$$ . Segue que

$$a_n=n\cdot bn=n(4+(n-1)2)=2n(n+1)$$

Observação: reduzir o problema a encontrar o termo geral da sequência $$(a_n)$$ abre portas para  outras possibilidades. Por exemplo, pode-se usar os números triangulares: analisando os seis primeiros termos, vemos que todos eles são múltiplos de quatro. Supondo que este padrão  persiste podemos expressar a sequência da seguinte maneira:

$$4\cdot 1, \;4\cdot 3,\; 4\cdot 6,\;4\cdot 10,\;4\cdot 15,\;4\cdot 21,\cdots, 4\cdot t_n,\cdots$$

onde $$t_n$$ representa o n-ésimo número triangular. Segue que

$$a_n=4t_n=4\frac{n(n+1)}{2}=2n(n+1)$$

SOLUÇÃO 6 (do Prof. Paulo Sérgio, usando o operador diferença):

Analisando dois quadrados consecutivos, vemos que o número de varetas $$a_n$$ satisfaz a equação de recorrência:

$$a_{n+1} = a_n + 4(n+1)$$

com $$a_1 = 4$$ . 

Sendo $$\Delta$$ o operador diferença definido por $$\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$$ , segue que $$\Delta a_n = 4(n+1)$$ . Aplicando o operador anti-diferença, temos 

$$a_n = \Delta^{-1}[4(n+1)] = \frac{4(n+1)n}{2} + C$$

Usando a condição inicial, segue que 

$$4 = a_1 = 2(1 + 1)1 + C \Rightarrow C = 0$$

Logo, 

$$a_n = \frac{4(n+1)n}{2}+0= 2n(n+1)$$

Obs.: Outro modo de resolver a equação de diferença finita acima é através da transformada discreta de Laplace (TDL). Saiba mais no blog Fatos Matemáticos.


SOLUÇÃO 7 (de Aloisio Teixeira, usando PA de 2ª ordem): De alguns valores de $$a_n$$ , vemos que a segunda diferença de seus termos consecutivos é constante ( $$4$$ ), ou seja,

$$4,12,24,40,60,84\cdots,a_n,\cdots$$
$$8,12,16,20,24,\cdots,x_n,\cdots\;\;\;\;\;\;\;(*)$$
$$4,4,4,4,\cdots,y_n\cdots$$

Nota: $$x_n=a_{n+1}-a_n$$ e $$y_n=x_{n+1}-x_n$$ .

Isto é característico de uma progressão aritmética de segunda ordem, cujo termo genérico é

$$a_n=a_0+a_1(n-1)+\frac{a_2(n-1)(n-2)}{2}$$ ,

onde $$a_0$$ , $$a_1$$ e $$a_2$$ correspondem aos números da primeira coluna de (*):  $$a_0=4$$ , $$a_1=8$$ e $$a_2=4$$ . Substituindo estes valores:

$$a_n=4+8(n-1)+\frac{4(n-1)(n-2)}{2}=2n(n+1)$$

Se a construção fosse um cubo de varetas, pode-se fazer a terceira diferença dos termos consecutivos e usar o termo genérico de uma PA de terceira ordem:

$$a_n=a_0+a_1(n-1)+\frac{a_2(n-1)(n-2)}{2}+$$

$$+\frac{a_3(n-1)(n-2)(n-3)}{6}$$

Nota: a fórmula para o termo geral de uma PA de ordem n pode ser vista no blog de Aloisio, Elementos de Teixeira.

Referência: notas de aula e participação dos leitores.
Erros podem ser relatados aqui.