Solução do Problema dos Ovos de Páscoa.

[veja o problema aqui]

Vamos à explicação:

Inicialmente observe a soma de algumas frações:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

O fato de a soma acima totalizar $1$ significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre duas pessoas, de modo que uma fique com $\tfrac{1}{2}$ e a outra também fique com $\tfrac{1}{2}$ então não sobrará nada.

$$\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = \frac{5}{5} = 1$$

De modo semelhante, a igualdade acima significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre duas pessoas, de modo que uma fique com $\tfrac{3}{5}$ e a outra fique com $\tfrac{2}{5}$ então não haverá sobra.

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

Pelo mesmo motivo, a soma acima nos diz que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que cada uma fique com $\frac{1}{3}$ então não sobrará nada.

$$\frac{1}{2} + \frac{3}{7} + \frac{1}{14} = \frac{14}{14} = 1$$

Isto significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que uma fique com $\tfrac{1}{2}$, outra fique com $\tfrac{3}{7}$ e a outra fique com $\tfrac{1}{14}$ então, assim como nos casos anteriores, não sobrará nada.

Agora observe o seguinte:

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{17}{18}$$

Isto significa que se você for dividir uma quantidade qualquer entre três pessoas, de modo que uma fique com $\tfrac{1}{2}$, outra fique com $\tfrac{1}{3}$ e a outra fique com $\tfrac{1}{9}$ então sobrará alguma coisa, mais precisamente, sobrará $\tfrac{1}{18}$ da quantidade!

Conclusão: como os rapazes estavam querendo dividir $35$ ovos de modo que um ficasse com $\tfrac{1}{2}$, o outro ficasse com $\tfrac{1}{3}$ e outro com $\tfrac{1}{9}$ então sobraria uma fração de $\tfrac{1}{18}$ dos $35$ ovos. 

Isso já poderia ser verificado na primeira divisão proposta:

Metade de $35$ é $17,5$

Um terço de $35$ é $11,66...$

Um nono de $35$ é $3,88...$

Somando as três quantidades que cada um receberia obtemos $33,055...$, ou seja, estão sendo divididos $33,055..$. ovos de páscoa e não $35$ ($1,944...$ ovos estão sobrando).

Em outras palavras: a divisão não seria exata, sobraria quase dois ovos! (na verdade, como já dissemos, a sobra seria de $1,944...$).

Quando o pai dos rapazes aumenta em uma unidade a quantidade de ovos, a sobra passa a ser de $\tfrac{1}{18}$ de $36$. E esta sobra é de exatamente $2$ ovos!

Com relação ao dinheiro, observe que $\tfrac{1}{2}$ de $189$ mais $\tfrac{1}{3}$ de $189$ mais $\tfrac{1}{9}$ de $189$ é igual a $178,5$ e não a $189$. Estes $10,5$ (desconto concedido, de aproximadamente cinco e meio por cento) correspondem justamente à fração de $\tfrac{1}{18}$ dos $189$.

Em resumo: todo o aparente engano decorre do fato de, neste caso, a soma das partes não ser igual ao todo.

Referência: A versão original do problema, que na verdade envolve 35 camelos, pode ser encontrada no capítulo 3 do livro O homem que Calculava, de Malba Tahan. Algumas edições traz, nos apêndices, uma explicação detalhada para o problema.

*Erros podem ser apontados aqui.