Por que não existe divisão por zero?

Este é outro fato que, apesar de ser muito conhecido, dificilmente encontramos um indivíduo que o saiba esclarecer. Esta postagem tentará então explicá-lo.

Primeiramente vamos relembrar o que significa dividir:

Sejam $a$ e $b$ números reais quaisquer.

Dividir $a$ por $b$ significa achar um número$c$ tal que $b\cdot c=a$:

$$\frac{a}{b}=c\quad\Longleftrightarrow \quad b\cdot c=a$$

Assim, por exemplo, dividir $32$ por $4$ significa achar um número $c$ tal que $4\cdot c=32$:

$$\frac{32}{4}=c\quad\Longleftrightarrow \quad4\cdot c=32$$

No caso acima, $c=8$.

Deste modo, se queremos dividir o número $a$ por $0$, temos que achar um número $c$ tal que $0\cdot c=a$:

$$\frac{a}{0}=c\quad\Longleftrightarrow \quad0\cdot c=a$$

Observe que não importa qual seja o valor escolhido para $c$, o produto $0\cdot c$ será sempre igual a $0$ e nunca igual a $a$, logo é impossível dividir $a$ por $0$ (pois não existe $c$ tal que $0\cdot c=a$, desde que $a$ seja diferente de zero).

Observe que no caso em que $a=0$ (zero dividido por zero) teremos uma expressão indeterminada, pois se quisermos efetuar tal divisão teremos que encontrar $c$, tal que $0\cdot c=0$:

$$\frac{0}{0}=c\quad\Longleftrightarrow\quad 0\cdot c=0$$

Pergunta: Qual é o valor que $c$ deve assumir para cumprir a condição acima?

Resposta: Qualquer um! Você pode escolher $c=1$ ou $c=17$ ou $c=19586$ ou qualquer outra coisa, logo a divisão por zero não está bem definida (pois há mais de um valor para $c$ que cumpre a condição).

Vamos aproveitar e explicar também porque zero dividido por qualquer número é zero:

De acordo com o significado da divisão acima expresso, dividir o número $0$ por $b$ significa achar um número $c$ tal que $b\cdot c=0$:

$$\frac{0}{b}=c\quad\Longleftrightarrow \quad b\cdot c=0$$

Observe que para qualquer que seja o número $b$ teremos, necessariamente, que escolher $c=0$. Por isso, zero dividido por qualquer número é zero (pois se queremos um produto que resulte em zero, um dos fatores deverá ser zero, mas estamos excluindo a possibilidade de ser $b=0$, pois já mostramos que se o denominador é zero então a divisão não existe, logo nos resta pôr $c=0$ independentemente dos possíveis valores de $b$).

Referência:

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de matemática e Outras Histórias, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

*Erros podem ser apontados aqui.

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