domingo, 10 de abril de 2011

Por que não existe divisão por zero?

Este é outro fato que, apesar de ser muito conhecido, dificilmente encontramos um indivíduo que o saiba esclarecer. Esta postagem tentará então explicá-lo.

Primeiramente vamos relembrar o que significa dividir:

Sejam $a$ e $b$ números reais quaisquer.

Dividir $a$ por $b$ significa achar um número$c$ tal que $b\cdot c=a$:

$$\frac{a}{b}=c\quad\Longleftrightarrow \quad b\cdot c=a$$

Assim, por exemplo, dividir $32$ por $4$ significa achar um número $c$ tal que $4\cdot c=32$:


$$\frac{32}{4}=c\quad\Longleftrightarrow \quad4\cdot c=32$$

No caso acima, $c=8$.

Deste modo, se queremos dividir o número $a$ por $0$, temos que achar um número $c$ tal que $0\cdot c=a$:

$$\frac{a}{0}=c\quad\Longleftrightarrow \quad0\cdot c=a$$

Observe que não importa qual seja o valor escolhido para $c$, o produto $0\cdot c$ será sempre igual a $0$ e nunca igual a $a$, logo é impossível dividir $a$ por $0$ (pois não existe $c$ tal que $0\cdot c=a$, desde que $a$ seja diferente de zero).

Observe que no caso em que $a=0$ (zero dividido por zero) teremos uma expressão indeterminada, pois se quisermos efetuar tal divisão teremos que encontrar $c$, tal que $0\cdot c=0$:

$$\frac{0}{0}=c\quad\Longleftrightarrow\quad 0\cdot c=0$$

Pergunta: Qual é o valor que $c$ deve assumir para cumprir a condição acima?

Resposta: Qualquer um! Você pode escolher $c=1$ ou $c=17$ ou $c=19586$ ou qualquer outra coisa, logo a divisão por zero não está bem definida (pois há mais de um valor para $c$ que cumpre a condição).

Vamos aproveitar e explicar também porque zero dividido por qualquer número é zero:

De acordo com o significado da divisão acima expresso, dividir o número $0$ por $b$ significa achar um número $c$ tal que $b\cdot c=0$:

$$\frac{0}{b}=c\quad\Longleftrightarrow \quad b\cdot c=0$$

Observe que para qualquer que seja o número $b$ teremos, necessariamente, que escolher $c=0$. Por isso, zero dividido por qualquer número é zero (pois se queremos um produto que resulte em zero, um dos fatores deverá ser zero, mas estamos excluindo a possibilidade de ser $b=0$, pois já mostramos que se o denominador é zero então a divisão não existe, logo nos resta pôr $c=0$ independentemente dos possíveis valores de $b$).

Referência:
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de matemática e Outras Histórias, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991.

7 comentários :

  1. Bem explicado e fácil de entender, parabéns!

    1/0 pode parecer um número real, mas não é.

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  2. Muito Obrigado Vini pelo elogio!! Se está "fácil de entender" então o propósito está sendo cumprido. Visite sempre o blog deixando comentários.
    De fato, 1/0 não pode ser interpretado como um número real...
    Até.
    Pedro R.

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  3. Aluno do Prof. Marconi Sousa BJ - Recife1 de janeiro de 2012 17:05

    Cara muito bom o seu blog!

    Esse artigo em particular eu tive a sorte de ouvir a mesma explicação na aula de um maravilhoso prof. de Matemática, Marconi Sousa!

    É isso aí, a Matemática não é nenhum mistério! Parabéns pelo seu trabalho.

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  4. Olá Aluno do Prof. Marconi, muito obrigado pelo elogio. E parabéns ao prof. Marconi tbm, que por "desvendar a matemática" deve ser um excelente professor.
    Abraço.
    Pedro R.

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  5. Mas, se começarmos por a/b=c, a só será igual a bc se b/b=1, pois
    a/b=c <-> ab/b=bc, nesse caso, b=0, então seria a/1*0/x(pois 0 sobre qualquer número é 0)*1/0=0*c, como 0*c=0 e a*0=0, então (0*1)/(z*0)=0 <-> 0/0=0, poderia me dizer qual é o erro nessa conta? obs: utilizei "*" para vezes.

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    1. ops, onde se lê:"/(z*0)" leia-se: "/(x*0)"

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    2. mas isso apenas se um número real a dividido por um real b = 0 resultar em um real c, pois esta afirmação só seria correta se b != 0

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