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domingo, 27 de março de 2011

Por que racionalizar o denominador?


Uma prática comum a todo usuário de matemática (ao menos a boa parte deles) é racionalizar o denominador. Por exemplo, ao se depararem com uma fração do tipo


é comum adotarem o seguinte procedimento:


O que certamente é menos comum é encontrarmos um indivíduo que saiba explicar o motivo de se fazer isso (ainda que execute perfeitamente o procedimento). Possivelmente ele dirá que foi ensinado deste modo.
Esta postagem se dedica então a justificar a ação de racionalizar os denominadores de simples frações numéricas, tais quais a do exemplo acima.
A explicação é bastante singela, e é possível apresentar dois argumentos:
Em primeiro lugar há quem diga que a fração fica mais bonita com o denominador racionalizado. Será mesmo?!
De qualquer modo há um argumento bem melhor: o costume de racionalizar os denominadores das frações remonta a época em que não existia calculadoras, ou seja, era uma questão operacional; de fato, a racionalização facilita os cálculos manuais.
Voltando ao nosso exemplo, realmente nos parece mais fácil efetuar

em vez de efetuar

Além disso, se você quiser obter mais casas decimais exatas, no primeiro caso o trabalho não será perdido já no segundo caso você terá que refazer a conta toda.
Na prática, se fossemos resolver a conta acima, de acordo com o processo que já estamos acostumados, efetuaríamos a seguinte operação:


Supõe então que você efetue a divisão mas verifique que necessita de mais exatidão, ou seja, você precisa do seguinte resultado:




ou equivalentemente



Observe que o trabalho que você teve na conta anterior não seria perdido, ele poderia ser aproveitado:




Agora se você optou por deixar raiz de dois no divisor terá que efetuar


que dará muito mais trabalho, pois ainda que as primeiras casas do quociente sejam as mesmas os restos serão diferentes e deverão ser recalculados e, portanto, neste sentido o trabalho não será aproveitado.

Deste modo, atualmente não há a mínima necessidade de racionalizar o denominador visto que os cálculos podem ser efetuados nas calculadoras. Contudo este costume está de tal modo incrustado nos indivíduos que dificilmente encontramos (se é que encontramos) um livro que não traga a resposta racionalizada, logo o procedimento não pode ser ignorado e os alunos devem aprendê-lo. Mas isto também não é motivo para o professor marcar como errada uma questão em alguma prova só porque o aluno deixou de racionalizar (a menos, é claro, que o enunciado diga explicitamente que é para racionalizar).

Observação: acima representamos uma conta cujo divisor é 200000 e cujo dividendo é 141421 afirmando que ela é mais simples que a outra. Observe que para dividir  por 200000 basta dividir por 2 e então deslocar a vírgula cinco casas para a esquerda. Isso significa que realmente esta divisão é mais fácil de ser realizada do que a outra.

(Eu particularmente gosto de racionalizar, e pretendo continuar racionalizando. Deixe sua opinião nos comentários ou outra justificativa caso conheça alguma).


Que fique claro então que não é errado deixar de racionalizar o denominador.

Referências:

LIMA, Elon Lages; WAGNER, Eduardo. et al. Perguntas e Respostas - Seção 1. Rio de Janeiro: IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada), 2010. PAPEM (Programa de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática do Ensino Médio). Vídeoaula disponível para download em: <http://video.impa.br/index.php?page=janeiro-de-2010>. 

*Erros podem ser apontados aqui.

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FIQUE SABENDO OUTROS PORQUÊS:


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11 comentários :

  1. Olá Pedro,
    Esta explicação realmente é convincente. Em álgebra também utilizamos a racionalização para simplificações de expressões. Veja como exemplo o passo (7) desta postagem:
    http://obaricentrodamente.blogspot.com/2011/03/construcao-geometrica-de-phi-em_25.html
    Se não fosse feita a racionalização, seria muito mais difícil provar o resultado.
    Parabéns pelo blog com postagens muito boas!
    Abraços.

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  2. Olá Pedro, eu também prefiro racionalizar e concordo com o seu argumento de que a racionalização remonta a uma época em que não existia calculadoras. Mas esta prática deve ser incentivada para que os alunos saibam resolver limites de funções em que a solução é obtida através da racionalização. Por exemplo, lim(x -> infinito) [sqrt(x + 2) - sqrt(x - 1)], além de outros limites desta natureza.

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  3. Olá,

    Kleber: sem dúvidas, em não poucos casos a racionalização facilita a vida (como na sua construção do PHI). Obrigado.

    Prof. Paulo: Muito oportuna a sua menção aos limites cuja resolução muitas vezes requer a racionalização do numerador (cito outro exemplo: lim_(x->0)[(sqrt(x + 1) - 1)/x], neste caso a recionalização evita a regra de L'Hôpital)

    Em face de sues comentários fica claro que a racionalização é uma importante ferramenta nas mãos dos matemáticos.

    Pedro R.

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  4. Fora que as vezes simplifica né... Por exemplo, 2/sqrt(2), racionalizado, fica sqrt(2)

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  5. Vini, ótimo exemplo. Neste caso a racionalização faz a fração "sumir" e de fato simplifica as coisas.

    Até.

    Pedro R.

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  6. Olá, Pedro e Caroline!
    Aqui vai um comentário... pós "carnaval da UBM", uma grande e útil iniciativa dessa entidade e que merece todo o nosso apoio!
    Quero parabenizá-los pela postagem de grande utilidade para a massa estudantil e tbm pela maneira como foi explanada. Ótima postagem e bem escolhida para a 1ª edição do "carnaval"!
    Um abraço!!!!!

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  7. Olá Valdir, obrigado pelo elogio!
    Até.
    Pedro R.

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  9. Olá queridos...

    Há uma outra razão mais razoável que explica a racionaliuzação.
    Raiz(2) não é igual a 1,41421, portanto dividir por raiz(2) não é o mesmo que dividir por 1,41421. Logo esse argumento de que é mais fácil dividir por um inteiro não se justifica. Na verdade, não é possível se dividir por um número irracional.
    Sabemos que existem calculadoras e computadores que fazem isso, mas por traz delas existem físicos, matemáticos, engenheiros e anlaistas que os ensinaram a fazer isso.
    Precisamos de racionalização na trigonometria e em algumas operações com complexos.
    Por isso não acho que seja um conteúdo obsoleto como alguns sugerem.

    Grande abraço.

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    Respostas
    1. Olá anônimo, note que o objetivo foi "justificar a ação de racionalizar os denominadores de simples frações numéricas". A informação dada pode ser útil principalmente na educação básica e tenha, talvez, mais relação com a origem histórica do procedimento do que sua funcionalidade atual em ramos mais avançados.

      Note também que o argumento não é meu, é de Elon Lages Lima, matemático profissional e profundo conhecedor desta ciência.

      Observe ainda que nunca mencionamos que Raiz(2) vale 1,41421. Inclusive este fato já ficou bem claro na postagem "Por que √2 é irracional?":

      http://manthanos.blogspot.com/2011/06/por-que-2-e-irracional.html?utm_source=BP_recent

      Logo você não compreendeu o que eu escrevi. O argumento é que, para obter aproximações, é mais vantajoso ao calculista manual fazer 1,4142/2 do que 1/1,4142 (tente fazer estas contas e confira se é verdade).

      Concordo que a racionalização não seja um conteúdo obsoleto.

      Abraço.

      Pedro R.

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  10. eh mt bacaninha msm ...mas do que adianta n~serve pra nd msm...so pros professores ficarem ensinando esas babozeiras nneh

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