BLOG MANTHANO: EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1

domingo, 6 de março de 2011

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1

Resolver a seguinte equação diferencial:

equação diferencial ordinária resolvida passo a passo

Solução:

Comece separando as variáveis:

$y'=\frac{1+y}{1+x}\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{1+x}$

$dy=\frac{(1+y)dx}{1+x}$

$\frac{dy}{1+y}=\frac{dx}{1+x}$

Integre ambos os lados da igualdade:

$\int \frac{dy}{1+y}=\int \frac{dx}{1+x}$

Use a técnica da substituição nas duas integrais:

Na integral do lado esquerdo faça

$u=1+y$

$du=0+dy$

$dy=du$

Analogamente, na outra integral faça

$v=1+x$

$dv=0+dx$

$dx=dv$

Fazendo estas substituições:

$\int \frac{du}{u}=\int \frac{dv}{v}$

Utilize, evidentemente, a mesma regra em ambos os lados:

$ln(u)+C_1=ln(v)+C_2$

$ln(u)=ln(v)+C_2-C_1$

É claro que a diferença entre constantes é outra constante, então podemos escrever:

$ln(u)=ln(v)+C_3$

A expressão acima é equivalente a:

$log_e(u)=log_e(v)+C_3$

Esta útlima expressão, por sua vez é o mesmo que:

$e^{log_e(v)+C_3}=u$

Pelas propriedades das potências:

$e^{log_e(v)}e^{C_3}=u$

Pelas propriedades dos logaritmos:

$ve^{C_3}=u$

Um constante (e) elevada a outra constante (C₄) também é uma constante, logo podemos escrever:

$vC_4=u$

Voltando com as variáveis originais:

$(1+x)C_4=1+y$

Escrevendo o y em função do x:

$1+y=(1+x)C_4$

$y=(1+x)C_4-1$

Chamando a constante apenas de C podemos escrever:

$y=(1+x)C-1$

Vamos verificar se esta função satisfaz a equação inicial (este procedimento nos pode ajudar a perceber se cometemos algum erro).

Começamos derivando a função que encontramos como solução:

$y=(1+x)C-1$

$y=C+Cx-1$

Derivando a solução obtemos:

$y'=0+C-0$

$y'=C$

Agora substituímos os valores de y e y' acima encontrados na equação diferencial:

$y'=\frac{1+y}{1+x}$

$C=\frac{1+(C+Cx-1)}{1+x}$

$C=\frac{1+C+Cx-1}{1+x}$

$C=\frac{C+Cx}{1+x}$

$C=\frac{C(1+x)}{1+x}$

$C=C$

Observe que a obtemos uma igualdade válida, ou seja, a equação diferencial foi satisfeita (provavelmente acertamos a resolução).

Referência:

FIGUEIREDO, Djairo G. NEVES, Aloisio F. Equações Diferenciais Aplicadas. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. (Coleção matemática universitária)

*Erros podem ser apontados aqui.

15 comentários :

Han18 de janeiro de 2012 às 22:37
Cara, D+... Obrigado, estou aprendendo. heheheh xD
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BLOG MANTHANO19 de janeiro de 2012 às 12:36
Olá Han. Obrigado pela visita. Quem bom que está aprendendo!
Abraço.
Pedro R.
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Anônimo1 de março de 2012 às 11:47
muito bom amig
eu estou no 8° periodo de Engenharia Civil
e aprende muito aki a anos atraz
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Anônimo1 de maio de 2012 às 19:26
Bem explicado.Tenho prova e me ajudou bastante, valeu!!!
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Anônimo18 de setembro de 2012 às 15:07
Manthano tem algum jeito simples de aprender o passo a passo da resolução dos exercícios. tenho algumas equações separáveis para resolver vc pode me ajudar????

1) dy/dx + 2xy = 0
2) dy/dx = y+1/x
3) dy/dx = (2y+3/4x+5)^2
4) 2dy/dx - 1/y = 2x/y

moraes.cicero@hotmail.com
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Vitor28 de maio de 2013 às 16:34
Amigo Manthano estou quebrando a cabeça para resolver essas EDOs: xdy-(x^4+x^2)ydx=0 e 2.y.y'=3.cos(3x), com y(0)=4. será que você pode me ajudar. seu blog é o máximo 1000
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Anônimo1 de junho de 2013 às 14:32
Tô no terceiro período de Eng. Mecânica e seu artigo me ajudou e vai continuar ajudando até eu concluir a matéria E. D. O. obrigado Manthano!
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Anônimo8 de março de 2014 às 22:50
Poh cara valeu, onde eu encontro maia edo?
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Unknown28 de setembro de 2015 às 15:26
Muito bom professor,aprendi muito.Obrigado pela ajuda e continue a fazer esse trabalho maravilhoso.
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Unknown26 de agosto de 2016 às 16:37
Pode me ajudar?? PRECISO RESOLVER A QUESTÃO:
Para x (maior que zero), determine a solução do problema de valor inicial x(2)y'+xy=1 y(1)=2
onde
x(2) = 'x' ao quadrado.

Espero que possam me ajudar. Atenciosamente , Kátia
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