Solução "de von Neumann" para o problema do vôo da mosca

[veja o problema aqui]

[veja a solução "simples" aqui]

Vamos então à solução de Neumann (o ponto preto acima do trem simboliza a mosca).

Seja t1 o tempo que a mosca demora para sair do trem A e chegar ao trem B. Seja d1 a distância que ela percorre durante este tempo:

Olhando para a figura é claro que

Como a velocidade da mosca é conhecida, e como a velocidade do trem também é conhecida, obtemos:

Dos últimos dois resultados, segue que:

Portanto:

Aplicando o mesmo raciocínio podemos obter d2 (a distância percorrida pela mosca quando ela sai do trem B e volta ao trem A), que leva um tempo t2 para ser percorrida:

Da figura notamos que:

Novamente, como conhecemos a velocidade tanto da mosca quanto do trem:

Portanto:

Substituindo este valor:

Se efetuarmos novamente os cálculos, seguindo o mesmo raciocínio, vamos obter:

Observe que para obtermos a distância percorrida pela mosca em um determinado intervalo de tempo, basta multiplicarmos a distância percorrida no intervalo anterior por um número constante que vale:

Temos então uma progressão geométrica onde:

Ora, a distância total percorrida pela mosca será dada pela soma das distâncias parciais percorridas em cada rota, ou seja a distância total será:

Observe que não podemos escolher um determinado número de termos n, não importa o quão grande ele seja, pois se fizermos isto estaremos ignorando a distância dn+1 que também foi percorrida.

Então temos que considerar uma soma que possui infinitas parcelas. Felizmente, como a sequência é uma PG e devido ao fato de a razão ser menor do que 1 podemos efetuar esta soma.

Lembremos que a soma dos infinitos termos de uma PG cuja razão é menor do que 1 pode ser dada pela seguinte fórmula:

Substituindo os nossos valores obtemos:

Portanto a mosca percorreu 150 quilômetros até morrer, e esta é a distância que era preciso encontrar.

Este problema pode ser generalizado para o caso em que a velocidade da mosca é x, a velocidade do trem é y e a distância que separa os trens é k.

Nestas condições, chamando a distância percorrida na n-ésima rota de dn, teremos:

Logo

Observe que este resultado está de acordo com o resultado anterior, obtido do nosso caso particular:

Observações: 

Note que a razão Dn/dn não depende do tempo, ela é constante. Isto esclarece o fato de a sequência formada pelas distâncias percorridas em cada rota formar uma progressão geométrica.

Esta resolução requer que utilizemos a soma dos infinitos termos de uma PG (o que, como já dissemos, só é possível conseguir quando a razão, ou mais precisamente, o módulo da razão, é menor do que 1). Em breve provaremos este resultado aqui no BLOG MANTHANO.

Referências:

http://legauss.blogspot.com/2010/08/arte-de-simplificar-um-problema.html

http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.fly.trains.html

 *Erros podem ser apontados aqui