Respondendo quem é maior: e^π ou π^e

Esta postagem se dedica a responder à questão proposta nesta outra postagem.

Com uma calculadora podemos fazer algumas estimativas e até nos convencer de que o que vale é a seguinte desigualdade:
$${\color{Green} e}^{\color{Blue} \pi}>{\color{Blue} \pi}^{\color{Green} e}$$

Mas vamos ver como mostrar isso sem recorrer à calculadoras.

Inicialmente vejamos um argumento gráfico:

Olhando para a figura acima, percebemos que: 

$$\begin{gathered}f({\color{Green} e})>f({\color{Blue} \pi})\\\\
\frac{\ln({\color{Green} e})}{{\color{Green} e}}>\frac{\ln({\color{Blue} \pi})}{{\color{Blue} \pi}}\\\\
{\color{Blue} \pi}\ln({{\color{Green} e}})>{\color{Green} e}\ln({\color{Blue} \pi})\\\\
\ln({{\color{Green} e}^{\color{Blue} \pi}})>\ln({\color{Blue} \pi}^{\color{Green} e})\\\\
{\color{Green} e}^{\color{Blue} \pi}>{\color{Blue} \pi}^{\color{Green} e}\end{gathered}$$

Mas não precisamos utilizar um argumento visual. Podemos recorrer ao Cálculo e mostrar que $f({\color{Green}e})$ é máximo de $\color{red} f$:

Lembretes: Seja $f$ uma função definida num certo intervalo aberto $I$ e seja $c$ um ponto de $I$.

O ponto $c$ é chamado de ponto crítico de $f$ quando $f'(c)=0$ ou quando $f'(c)$ não existe.

Se $f(c) ≥ f(x)$ para todo $x$ em $I$, então $f(c)$ é chamado de máximo de $f$ e $c$ é chamado de ponto de máximo de $f$.

Se $c$ é um ponto de máximo de $f$, então $c$ é um ponto crítico de $f$.

Se $f '(x)$ é positiva para $x$ menor do que $c$ e negativa para $x$ maior do que $c$, então $f(c)$ é um máximo de $f$.

Dito isto, considere a seguinte função (contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio):
$${\color{Red}{f(x)}}={\color{Red}{\frac{\ln(x)}{x}}},\qquad x>0$$

Derivando obtemos:
$$f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}$$

Igualando a derivada a zero:

$$\begin{aligned}\frac{1-\ln(x)}{x^2}=0\quad &\Longleftrightarrow\quad 1-\ln(x)=0\\ &\Longleftrightarrow \quad \ln(x)=1 \\ &\Longleftrightarrow \quad x={\color{Green} e}\end{aligned}$$

Conclusão: o ponto $x={\color{Green}e}$ é um ponto crítico da função $\color{red}f$. Inclusive, $x={\color{Green}e}$ é o único ponto crítico de $\color{red}f$.

Analisando $f'$ concluímos que:
- para $x$ menor do que $\color{Green}e$, temos $f '(x) > 0$;
- para $x$ maior do $\color{DerkGreen}e$, temos $f '(x) < 0$.
Portanto, ${\color{red}f}({\color{Green}e})$ é um máximo de $\color{red}f$ (como nos sugere o primeiro gráfico apresentado nesta postagem).

Segue das observações acima que, para todo $x\neq \color{Green}e$, temos $f({\color{Green}e})>f(x)$ e, em particular,
$$f({\color{Green} e})>f({\color{Blue} \pi})$$

E o resultado desejado segue desta última desigualdade (com o mesmo desenvolvimento apresentado logo abaixo do gráfico).

Vejamos uma outra solução:

Os pré-requisitos são, basicamente, propriedades operatórias de potências e de logaritmos. Em particular, dos logaritmos naturais - que diferem dos outros logaritmos em virtude da base. Tenhamos em mente, então, que:
$$\ln(x)=\log_{\color{Green}e}(x)$$

Comecemos notando que os números $\color{Blue}{\pi}$ e $\color{Green}e$ são semelhantes em alguns aspectos. Por exemplo, ambos são números irracionais e, mais do que isso, são ambos números transcendentes! Uma outra semelhança entre eles diz respeito ao modo como são definidos: tanto $\color{Blue}{\pi}$ quanto $\color{Green}e$ têm definições que estão, de algum modo, relacionadas à área de uma determinada região.

A constante $\color{Blue}\pi$ pode ser definida como sendo a área de um círculo cujo raio mede $1$ unidade.

Já a constante $\color{Green}e$ não é uma área, mas também está relacionada com a área de uma região (bem menos convencional, é verdade). Vamos, então, ver o que é $\color{Green}e$ e qual é o significado geométrico de $\ln(x)$ (logaritmo de $x$ na base $\color{Green}e$):

Considere uma área situada abaixo do gráfico da função $f(x)=\tfrac{1}{x}$, acima do eixo-$x$, limitada lateralmente por um segmento de reta perpendicular ao eixo-$x$ que passa pelo ponto $x=1$ e por um segmento de reta, também perpendicular ao eixo-$x$, que passa pelo ponto $x=k$ com $k\geq1$ (olhando a figura abaixo é mais fácil compreender que região é essa):

Vamos chamar esta área (região vermelha acima) de $\color{red}{A}_k$, assim, por exemplo, $\color{red}{A}_2$ designa a área localizada nesta região quando colocamos $k=2$; $\color{red}{A}_3$ designa a área quando colocamos $k=3$ e etc.(note que $\color{red}{A}_1=0$, ou seja, se $k=1$ então não existe área, pois os dois segmentos verticais vão coincidir).

Imagine agora que você ajuste $k$ de modo a obter uma área exatamente igual a $1$, ou seja, você encontre $k$ tal que $\color{red}{A}_k=1$. Ao fazer isto você acabou de determinar o número $\color{Green}{e}$:

Quando $k={\color{Green}e}$, a área da região descrita vale exatamente $1$, ou seja, $\color{red}{A}_{\color{Green}{e}}=1$.

Agora vem o ponto crucial: Isso que estamos chamando de área e denotando por $\color{red}{A}_k$ é mais conhecido como logaritmo natural de $k$ e denotado por $\color{red}{\ln}(k)$. Então, dizer, por exemplo, que $\color{red}{\ln}(2)\cong0,69$ significa que quando colocamos $k=2$, a área da região descrita assume um valor aproximadamente igual a $0,69$. 

Em resumo: O logaritmo natural de um número $x\geq1$ é definido como sendo a área localizada abaixo do gráfico da função $f(x) = \tfrac{1}{x}$ quando colocamos $k = x$ (conforme descrito acima). Além disso, o logaritmo natural do número $x$ é denotado por $\color{red}{\ln}(x)$ e o número $\color{Green}e$ é um número tal que $\color{red}{\ln}({\color{Green}e}) = 1$ (ou seja, um número que produz área $1$).

É possível demonstrar que a função $\color{red}{\ln}(x)$ definida como sendo a área daquela região tem todas as propriedades comuns às funções logarítmicas.

É fundamental interpretarmos $\color{red}{\ln}(x)$ como uma área pois é a partir de uma observação baseada nisso que deduziremos a desigualdade na qual está baseada a argumentação que segue.

Observe a seguinte figura:

Agora, responda qual é maior: a área pintada de vermelho ou a área hachurada?

Note que a área pintada de vermelho é justamente $\color{red}{A}_k$ no caso em que $k=(x+1)$. Portanto, em outros termos, qual é maior: $\color{red}{A}_{x+1}$ ou a área do retângulo de base $x$ e altura $1$?

É bastante claro que a área do retângulo é maior (pois a área vermelha é apenas uma parte da área do retângulo!) e esta observação vale para qualquer que seja $x$ positivo. Assim, para todo $x>0$,
$$\begin{aligned}
\text{área hachurada }&>\text{ área pintada de vermelho}\\
\text{área do retângulo }&>\color{red}{A}_{x+1}\\
x&>\color{red}{\ln}(x+1)
\end{aligned}$$

Da desigualdade acima segue que:
$${\color{green} e}^x>{\color{green} e}^{{\color{red}\ln}(x+1)}=x+1\tag{$*$}$$

A desigualdade acima é justamente aquela utilizada na resposta do nosso colega Aldenor. Procedendo como ele mesmo orientou, vamos considerar o caso particular em que:
$$x=\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{green} e}}-1$$

(note que este $x$ é maior do que zero, pois $\color{green}{e}<\color{Blue}{\pi}$)

Fazendo esta substituição em $(*)$, obtemos a resposta do problema:
$$\begin{aligned}
{\color{Green} e}^{\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}-1}&>\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}-1+1\\\\
{\color{Green} e}^{\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}-1}&>\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}\\\\
{\color{Green} e}{\color{Green} e}^{\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}-1}&>{\color{Blue} \pi}\\\\
{\color{Green} e}^{1+\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}-1}&>{\color{Blue} \pi}\\\\
{\color{Green} e}^{\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}}&>{\color{Blue} \pi}\\\\
\left ({\color{Green} e}^{\frac{{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}} \right )^{\color{Green} e}&>\left ({\color{Blue} {\color{Blue} \pi}} \right )^{\color{Green} e}\\\\
{\color{Green} e}^{\frac{{\color{Green} e}{\color{Blue} \pi}}{{\color{Green} e}}}&>{\color{Blue} \pi}^{\color{Green} e}\\\\
{\color{Green} e}^{\color{Blue} \pi}&>{\color{Blue} \pi}^{\color{Green} e}
\end{aligned}$$

Com relação ao comentário do nosso colega Diego, ele usou a desigualdade abaixo, válida para o caso em que $y\geq 0$:
$${\color{Green} e}^{-y}y^{\color{Green} e}\leq 1$$

Ou, equivalentemente,
$${\color{Green} e}^{y}\geq y^{\color{Green} e}$$

Um modo de se obter esta desigualdade com base no exposto (ou, mais precisamente,  obter um caso particular desta desigualdade) é considerar a desigualdade $(*)$ e colocar:
$$x=\frac{y}{\color{green}{e}}-1$$
Neste caso estaremos restringindo os valores de $y$ para valores maiores do que $\color{green}e$ (pois tem que ser $x>0$). A conclusão será que, para $y>{\color{green}e}$,
$${\color{Green} e}^y>y^{\color{Green} e}$$

É claro que esta restrição para os valores de $y$ não impede que resolvamos o problema, pois $\color{Blue}{\pi}>\color{green}{e}$.

Se o leitor conhecer outras soluções, deixe nos comentários.

Referências: A matemática do Ensino Médio, volume 1; Livros de Cálculo; Proofs without words de Roger Nelsen; Esta página.
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