Por que podemos somar os algarismos de um número para saber se ele é divisível por 3?

Todos conhecemos, desde muito cedo, um critério de divisibilidade por 3, afinal, quem é que quando precisou dividir um número por três nunca somou os seus algarismos? 

O que, talvez, nem todos sabemos é explicar porque este procedimento sempre funciona. Esta postagem se dedica, portanto, a demostrar que este fato é verdadeiro.

Esclarecendo melhor o que é um critério de divisibilidade: é uma regra que nos permite saber se um determinado número inteiro x é divisível por um outro número inteiro k, mas de uma maneira mais fácil do que efetuando a divisão.

No caso de ser k = 3 o teste (ou critério) se baseia em somar os algarismos que formam o número x. Se esta soma for divisível por 3 então o número x também é divisível por 3.

Exemplificando: para saber se o número 259 é divisível por três não precisamos efetuar a divisão até o fim e verificar se o resto é zero. Basta calcularmos 2+5+9. Neste caso a soma é 16. Como 16 não é divisível por 3 podemos afirmar que 259 não é divisível por 3. De fato, se fizermos a conta vamos obter resto 1. Já com relação ao número 552 podemos afirmar com toda certeza que é divisível por 3, pois 5+5+2 = 12 e sabemos que 12 é divisível por 3 (pois tem 12 na tabuada do 3).

Mas como demonstrar que isso sempre vale? Isto é o que veremos nesta postagem, começando por uma definição e um teorema (de demonstração bem fácil):


Definição: Diz-se que o inteiro d divide o inteiro a (ou que que a é divisível por d) se existe um inteiro a' tal que a = da'.

Teorema: Se d divide a e também divide b, então d divide a soma (am + bn), onde m e n são dois números inteiros quaisquer.

Prova: Vamos supor que d divide tanto a quanto b. Como d divide a e b podemos afirmar (em virtude da definição) que existem inteiros a' e b' tais que:

a = da'

b = db'

Multiplicando a primeira das igualdades acima por m e a segunda delas por n obtemos:

am = da'm

bn = db'n

Somando, membro a membro, as duas últimas igualdades vem:

(am + bn) = (da'm + db'n)

Colocando o d em evidência:

(am + bn) = d(a'm + b'n)

Uma vez que tanto a multiplicação quanto a adição entre números inteiros resulta em um número inteiro, podemos afirmar que, na última expressão, em cada lado da igualdade, o que está entre parenteses representa um número inteiro. Colocando, então, (am + bn) = t e (a'm + b'n) = t' (onde t e t' são inteiros) obtemos

t = dt'

Segue da igualdade acima (vide definição) que d divide t. ou, em outros termos, que d divide (am + bn) e é isto o que queríamos provar.


Vamos agora aplicar este teorema para demonstrar o critério de dividibilidade por 3, começando com um número de apenas dois dígitos: xy.


Observação: xy não representa o produto de x por y. Um produto será representado pelo ponto: x⋅y. O termo xy representa qualquer número de dois dígitos, tais como 12 (doze), 37 (trinta e sete), 48 (quarenta e oito), etc. Então y é o algarismo das unidades e x é o algarismo das centenas.


Vamos supor que xy é divisível por três. Observe o seguinte:


xy = 10⋅x + y
xy = (9 + 1)⋅x + y
xy = 9⋅x + x + y
xy = 9⋅x + (x + y)
9⋅x + (x + y) = xy
(x + y) = xy - 9⋅x
(x + y) = xy + (-9⋅x)


Note que 3 divide xy (pois, por hipótese, xy é divisível por 3) e, além disso, 3 divide (-9⋅x) (pois (-9⋅x) = 3⋅(-3⋅x)), logo (em virtude do teorema) a soma xy + (-9⋅x) também é divisível por 3. Mas xy + (-9⋅x) é igual a (x + y), do que resulta que (x + y) é divisível por 3.


Conclusão 1: se o número xy é divisível por 3, então (x + y) também é. Em palavras: se um número de dois algarismos é divisível por 3, então a soma de seus algarismos também é divisível por 3.


Supõe agora que (x + y) é divisível por 3. Como já vimos, 3 divide (-9⋅x) e, portanto, (novamente em virtude do teorema) 3 divide a soma  9⋅x + (x + y). Mas também já vimos que xy = 9⋅x + (x + y), donde segue que 3 divide xy.


Conclusão 2: se (x + y) é divisível por 3, então o número xy também é. Em palavras: se a soma de dois algarismos é divisível por 3, então o número de dois dígitos formado por estes algarismos também é divisível por 3.


Acabamos de considerar o caso em que os números tem dois dígitos, mas e nos outros casos? Como fica a validade do critério para números maiores? Bom, exatamente o mesmo raciocínio pode ser empregado. Vejamos o caso para números de três dígitos:


Desta vez x representa o algarismo das centenas, o y o algarismo das dezenas e z o das unidades (tais como 300, 547, 258, etc.). 


Com um desenvolvimento semelhante ao anterior:

xyz = 100⋅x + 10⋅y + z

xyz = (99 + 1)⋅x + (9 + 1)⋅y + z

xyz = 99⋅x + x + 9⋅y + y + z

xyz = 99⋅x + 9⋅y + x + y + z

xyz = (99⋅x + 9⋅y) + (x + y + z)

xyz = 9⋅(11⋅x + y) + (x + y + z)

A partir deste ponto podemos argumentar de modo semelhante ao que foi feito no caso de dois dígitos e tirar as mesmas conclusões. Se aumentarmos a quantidade de algarismos do número, as últimas linhas do desenvolvimento serão:


xyzw = 9⋅(111⋅x + 11⋅y + w) + (x + y + z + w)


xyzwp = 9⋅(1111⋅x + 111⋅y + 11⋅w + p) + (x + y + z + w + p)


xyzwpq = 9⋅(11111⋅x + 1111⋅y + 111⋅w + 11⋅p + q) + (x + y + z + w + p + q)


E assim por diante.


Com um pensamento idêntico (exceto pelo fato de haver, em cada caso, um número a mais dentro de cada parenteses) as conclusões 1 e 2 serão as mesmas (para qualquer que seja o tamanho do número), ou seja, vamos concluir que:


1) se um número é divisível por 3 então a soma de seus algarismos também é divisível por 3;


2) se a soma dos algarismos de um número é divisível por 3, então o número formado por estes algarismos também é divisível por 3.


Está, pois, demonstrado o critério. Em virtude de 2, jamais vamos encontrar um número não divisível por 3 cuja soma dos algarismos seja divisível por 3 e, em virtude de 1, jamais vamos encontrar um número divisível por três cuja soma não seja.


Há, contudo, outra maneira de demonstrar o mesmo critério e que brevemente abordaremos aqui no BLOG MANTHANO (fazendo uso do conceito de congruência entre números inteiros).


Referência: Introdução à Teoria dos Números de José Plínio Santos; Criptografia de S. C. Coutinho.
Erros podem ser relatados aqui.