sexta-feira, 5 de agosto de 2011

Por que podemos somar os algarismos de um número para saber se ele é divisível por 3?


Todos conhecemos, desde muito cedo, um critério de divisibilidade por 3, afinal, quem é que quando precisou dividir um número por três nunca somou os seus algarismos

O que, talvez, nem todos sabemos é explicar porque este procedimento sempre funciona. Esta postagem se dedica, portanto, a demostrar que este fato é verdadeiro.

Esclarecendo melhor o que é um critério de divisibilidade: é uma regra que nos permite saber se um determinado número inteiro x é divisível por um outro número inteiro k, mas de uma maneira mais fácil do que efetuando a divisão.

No caso de ser = 3 o teste (ou critério) se baseia em somar os algarismos que formam o número x. Se esta soma for divisível por 3 então o número x também é divisível por 3.

Exemplificando: para saber se o número 259 é divisível por três não precisamos efetuar a divisão até o fim e verificar se o resto é zero. Basta calcularmos 2+5+9. Neste caso a soma é 16. Como 16 não é divisível por 3 podemos afirmar que 259 não é divisível por 3. De fato, se fizermos a conta vamos obter resto 1. Já com relação ao número 552 podemos afirmar com toda certeza que é divisível por 3, pois 5+5+2 = 12 e sabemos que 12 é divisível por 3 (pois tem 12 na tabuada do 3).

Mas como demonstrar que isso sempre vale? Isto é o que veremos nesta postagem, começando por uma definição e um teorema (de demonstração bem fácil):


Definição: Diz-se que o inteiro d divide o inteiro a (ou que que a é divisível por d) se existe um inteiro a' tal que a = da'.

Teorema: Se d divide a e também divide b, então d divide a soma (am + bn), onde m e n são dois números inteiros quaisquer.

Prova: Vamos supor que d divide tanto a quanto b. Como d divide a e b podemos afirmar (em virtude da definição) que existem inteiros a' e b' tais que:
ada'
bdb'

Multiplicando a primeira das igualdades acima por m e a segunda delas por n obtemos:
am = da'm
bn = db'n

Somando, membro a membro, as duas últimas igualdades vem:

(am + bn) = (da'm + db'n)

Colocando o d em evidência:

(am + bn) = d(a'm + b'n)

Uma vez que tanto a multiplicação quanto a adição entre números inteiros resulta em um número inteiro, podemos afirmar que, na última expressão, em cada lado da igualdade, o que está entre parenteses representa um número inteiro. Colocando, então, (am + bn) = (a'm + b'n) = t' (onde t' são inteiros) obtemos
= dt'

Segue da igualdade acima (vide definição) que d divide t. ou, em outros termos, que d divide (am + bn) e é isto o que queríamos provar.


Vamos agora aplicar este teorema para demonstrar o critério de dividibilidade por 3, começando com um número de apenas dois dígitos: xy.


Observação: xy não representa o produto de x por y. Um produto será representado pelo ponto: xy. O termo xy representa qualquer número de dois dígitos, tais como 1(doze), 3(trinta e sete), 48 (quarenta e oito), etc. Então y é o algarismo das unidades e x é o algarismo das centenas.


Vamos supor que xé divisível por três. Observe o seguinte:


xy = 10x + y
xy = (9 + 1)x + y
xy = 9x + x + y
xy = 9⋅x + (x + y)
9⋅x + (x + y) = xy
(x + y) = xy 9⋅x
(x + y) = x+ (-9⋅x)


Note que 3 divide xy (pois, por hipótese, xé divisível por 3) e, além disso, divide (-9⋅x) (pois (-9⋅x) = 3⋅(-3⋅x)), logo (em virtude do teorema) a soma x(-9⋅xtambém é divisível por 3. Mas x(-9⋅x) é igual a (x + y), do que resulta que (x + yé divisível por 3.


Conclusão 1: se o número xé divisível por 3, então (x + y) também é. Em palavras: se um número de dois algarismos é divisível por 3, então a soma de seus algarismos também é divisível por 3.


Supõe agora que (x + yé divisível por 3. Como já vimos, divide (-9⋅xe, portanto, (novamente em virtude do teorema) 3 divide a soma  9⋅x + (x + y). Mas também já vimos que xy = 9⋅x + (x + y), donde segue que 3 divide xy.


Conclusão 2: se (x + y) é divisível por 3, então o número xtambém é. Em palavras: se a soma de dois algarismos é divisível por 3, então o número de dois dígitos formado por estes algarismos também é divisível por 3.


Acabamos de considerar o caso em que os números tem dois dígitos, mas e nos outros casos? Como fica a validade do critério para números maiores? Bom, exatamente o mesmo raciocínio pode ser empregado. Vejamos o caso para números de três dígitos:


Desta vez representa o algarismo das centenas, o o algarismo das dezenas e o das unidades (tais como 300, 547, 258, etc.). 


Com um desenvolvimento semelhante ao anterior:


xyz = 100x + 10z
xyz = (99 + 1)x + (9 + 1)z
xyz = 99x + x + 9y z
xyz = 99x 9y z
xyz = (99x 9y) (y z)
xyz = 9(11x y) (y z)

A partir deste ponto podemos argumentar de modo semelhante ao que foi feito no caso de dois dígitos e tirar as mesmas conclusões. Se aumentarmos a quantidade de algarismos do número, as últimas linhas do desenvolvimento serão:


xyzw = 9(111x 11w) (y w)


xyzwp = 9(1111x 11111p) (y p)


xyzwpq = 9(11111x 111111111q) (y q)


E assim por diante.


Com um pensamento idêntico (exceto pelo fato de haver, em cada caso, um número a mais dentro de cada parenteses) as conclusões 1 e 2 serão as mesmas (para qualquer que seja o tamanho do número), ou seja, vamos concluir que:


1) se um número é divisível por 3 então a soma de seus algarismos também é divisível por 3;


2) se a soma dos algarismos de um número é divisível por 3, então o número formado por estes algarismos também é divisível por 3.


Está, pois, demonstrado o critério. Em virtude de 2, jamais vamos encontrar um número não divisível por 3 cuja soma dos algarismos seja divisível por 3 e, em virtude de 1, jamais vamos encontrar um número divisível por três cuja soma não seja.


Há, contudo, outra maneira de demonstrar o mesmo critério e que brevemente abordaremos aqui no BLOG MANTHANO (fazendo uso do conceito de congruência entre números inteiros).


Referência: Introdução à Teoria dos Números de José Plínio Santos; Criptografia de S. C. Coutinho.
Erros podem ser relatados aqui.

6 comentários :

  1. Olá, Pedro e Caroline!
    Parabéns pela bela e interessante postagem! No popular, podemos falar que vcs aqui... "mataram a cobra e mostraram o pau"! Rsrsrsrs! Não ficou "pedra sobre pedra"! Muito bom trabalho e... já estou contando os minutos para saber como provar esse critério de divisibilidade pelo 3, usando-se o conceito de congruência.
    Um abraço!!!!!

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  2. Para curiosos de plantão com certeza é um excelente post. A parte ruim é que se torna impossível um professor explicar isso para uma turma de 6º ano.
    Eles não tem maturidade suficiente para entender.
    Estou acompanhando o blog via feed.
    Muito bom mesmo. Abraço!

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  3. Olá. Parabéns pelo post! Muito bem explicado.
    Prof. Edigley, de fato, é impossível mostrar isso para uma turma inteira de 6° Ano. Mas se você tentar explicar apenas para os mais 'espertinhos' e interessados, pode apostar que eles entendem!
    Abraços!

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  4. Francisco Valdir: muito obrigado pelo elogio, creio que em breve veremos algo sobre congruência...

    Prof. Edigley: sem dúvidas deve ser complicado abordar este tipo de coisa no fundamental (e até mesmo no médio). Talvez dependa muito da sala. Mas pode ser interessante comentar algo a respeito em algum momento. Muito grato pelo elogio.

    Vini: Obrigado pelo elogio. É, aos interessados e "mais espertinhos" os professores não podem deixar passar a oportunidade de apresentar "algo a mais".

    abraços

    Pedro R.

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  5. Conheci seu blog através dos “Educadores Multiplicadores”, já estou te seguindo! Se quiser seguir o meu ficarei grata! Meu nome de seguidora é Cristiane Reis.
    Blog Ensinar é Aprender

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    1. Olá Cristiane. Já estou seguindo. Abraço. Pedro R.

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