quarta-feira, 24 de agosto de 2011

Resolvendo o Problema do Tesouro


[veja o problema aqui]                                    [veja os pré-requisitos aqui]

Interpretando o conteúdo da carta e chamando de A a localização da árvore, de P1 e P2 as localizações das pedras e de E1 e E2 as localizações das estacas podemos obter o seguinte diagrama (onde é possível definir os vetores u, v, x e z):

Importante: como T é o ponto médio do segmento E1E2, tudo o que temos a fazer para encontrarmos as coordenadas de T é encontrar as coordenadas dos pontos E1 e E2. É isso que vamos fazer a seguir.

Observe que de acordo com a figura (vista como um plano complexo) temos:

z = x + yi

P2 = (40, 0) = 40 + 0i

Notando que o ângulo entre os vetores w e z é –90° e lembrando que multiplicando um vetor por i ele sofre uma rotação de 90º, podemos escrever:

w = z⋅(–i)

w = (x + yi)⋅(–i) = –xi – yi² = –xi + y = yxi = (y, –x) = E1

Utilizando a interpretação geométrica de subtração entre vetores, obtemos o seguinte resultado:


v = A – P2 = (x + yi) – (40 + 0i) = (x – 40) + yi

Uma vez que podemos obter o valor de u rotacionando o vetor v 90º, podemos escrever:

u = v⋅i

u = (x  40 + yi)⋅i = x 40i + yi² = x 40i  yy + (x  40)i

Novamente pela interpretação geométrica de subtração entre vetores temos:

u = E2 – P2


Segue desta última igualdade que:


E2 = u + P2 = [–y + (x – 40)i] + [40 + 0i] = (40 – y) + (x – 40)i = (40 – y, x – 40)

Resumindo: E1 = (y, –x) e E2 = (40 – y, x – 40)

Como T é o ponto médio de E1E2, temos:


E o problema está resolvido. Para chegar no tesouro: basta caminhar 20 passos da pedra menor em direção à pedra maior, virar 90º à direita e caminhar mais 20 passos.


Clique aqui para ver (literalmente) que a posição de T não depende da posição de A.



Referências: diversas aulas em video do PAPMEM (sobre números complexos).

Erros podem ser relatados aqui.

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