Resolvendo o Problema do Tesouro

[veja o problema aqui]                                    [veja os pré-requisitos aqui]

Interpretando o conteúdo da carta e chamando de A a localização da árvore, de P₁ e P₂ as localizações das pedras e de E₁ e E₂ as localizações das estacas podemos obter o seguinte diagrama (onde é possível definir os vetores u, v, x e z):

Importante: como T é o ponto médio do segmento E₁E₂, tudo o que temos a fazer para encontrarmos as coordenadas de T é encontrar as coordenadas dos pontos E₁ e E₂. É isso que vamos fazer a seguir.

Observe que de acordo com a figura (vista como um plano complexo) temos:

z = x + yi

P₂ = (40, 0) = 40 + 0i

Notando que o ângulo entre os vetores w e z é –90° e lembrando que multiplicando um vetor por i ele sofre uma rotação de 90º, podemos escrever:

w = z⋅(–i)

w = (x + yi)⋅(–i) = –xi – yi² = –xi + y = y – xi = (y, –x) = E₁

Utilizando a interpretação geométrica de subtração entre vetores, obtemos o seguinte resultado:

v = A – P₂ = (x + yi) – (40 + 0i) = (x – 40) + yi

Uma vez que podemos obter o valor de u rotacionando o vetor v 90º, podemos escrever:

u = v⋅i

u = (x – 40 + yi)⋅i = xi – 40i + yi² = xi – 40i – y = –y + (x – 40)i

Novamente pela interpretação geométrica de subtração entre vetores temos:

u = E₂ – P₂

Segue desta última igualdade que:

E₂ = u + P₂ = [–y + (x – 40)i] + [40 + 0i] = (40 – y) + (x – 40)i = (40 – y, x – 40)

Resumindo: E₁ = (y, –x) e E₂ = (40 – y, x – 40)

Como T é o ponto médio de E₁E₂, temos:

E o problema está resolvido. Para chegar no tesouro: basta caminhar 20 passos da pedra menor em direção à pedra maior, virar 90º à direita e caminhar mais 20 passos.


Clique aqui para ver (literalmente) que a posição de T não depende da posição de A.

Referências: diversas aulas em video do PAPMEM (sobre números complexos).

Erros podem ser relatados aqui.