segunda-feira, 29 de agosto de 2011

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 4


PROBLEMA:


Sabendo que a população de uma cidade dobra a cada 50 anos, em quantos anos ela será o triplo, admitindo que a razão do crescimento é proporcional ao número de habitantes?

SOLUÇÃO:

Escrevendo matematicamente a informação dada no enunciado do exercício (”a razão do crescimento é proporcional ao número de habitantes”) obtemos a seguinte equação diferencial:
Onde dP/dt representa a razão do crescimento, P = P(t) é o número de habitantes (em função do tempo t) e k é a constante de proporcionalidade.


Analisando essa equação, percebemos que ela é separável. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Pelas regras básicas de integração:
Tomando a exponencial de ambos os lados e aplicando algumas propriedades de potências:
Sabendo que eC é uma constante, vamos chamá-la de D (somente para simplificar). Então temos:
Vamos chamar a população no tempo t = 0 (tempo inicial) de P0 (população inicial), ou seja, P(0) = P0. Segue-se disto que:

Então, em vez de escrever a letra D, vamos usar P0 (pois acabamos de ver que elas são iguais):

Função que descreve o crecimento da popuação.

No enunciado do problema foi dito que a cada 50 anos a população dobra, portanto no tempo t = 50 temos P = 2⋅P0, ou seja, P(50) = 2⋅P0.
Vamos substituir esses dados na função que encontramos para deste modo conhecer o valor de k:





Tomando o logaritmo natural de ambos os lados (e aplicando algumas propriedades):




Usando uma calculadora, concluímos que:
Já que conhecemos o valor numérico de k, vamos usar este valor na função que descreve o crescimento da população:
O problema quer saber: Em quantos anos a população será o triplo? Ou seja, qual será o valor de t quando P = 3⋅P0? Em outras palavras: quer saber o valor de t que satisfaz a seguinte igualdade:



Substituindo P(t) pela função que acabamos de encontrar:




Tomando o logaritmo natural de ambos os lados (e aplicando algumas propriedades):




Usando uma calculadora:

t ≅ 79,6 anos

Portanto, passados (aproximadamente) 79,6 anos a população será o triplo da população inicial.


[Veja mais: Parte 1 / Parte 2 / Parte 3]

Referência: notas de aula.

Erros podem ser relatados aqui.

3 comentários :

  1. As EDO's sempre nos surpriendem com a sua imensa aplicabilidade na vida real!

    Gostei bastante da postagem!

    Até mais !

    ResponderExcluir
  2. Obrigada pelo elogio Diego... valeu mesmo!!
    :D

    ResponderExcluir
  3. Excelente explicação

    ResponderExcluir

Atualizações dos nossos parceiros: