Por que fatorial de zero é 1?

Para responder Por que fatorial de zero é 1? poderíamos simplesmente dizer (como fazem a maior parte daqueles que apresentam o conceito) que é igual a 1 por definição.

Mas há um motivo lógico para se fazer esta definição e é isto que pretendemos apresentar nesta postagem.

Em geral o conceito de fatorial aparece quando estamos a trabalhar com permutações. Ele é, a princípio, definido para números maiores do que zero:

$$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1$$

$$3!=3\cdot2\cdot1$$

E de um modo mais geral:
$$n!=n\cdot\left ( n-1 \right )\cdot\left ( n-2 \right )\cdot \left (n-3 \right )\cdot\cdots\cdot2\cdot1$$

Em uma primeira vista, no contexto em que o conceito aparece, não faz sentido pensar em 0! pois como poderíamos pensar em calcular permutação de objeto nenhum?

Prosseguindo no estudo de análise combinatória deduz-se diversas fórmulas, dentre as quais figura aquela que calcula o número de combinações simples:
$$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$

O termo combinação mencionado acima significa agrupamentos formados com os elementos de um determinado conjunto. A fórmula se refere ao número de agrupamentos diferentes, com $p$ elementos cada, que se pode formar a partir de um conjunto que possui $n$ elementos.

Assim, por exemplo, dado o conjunto de três elementos $\{A,B,C\}$ podemos formar:

• $3$ agrupamentos com $2$ elementos cada (ou seja, combinação de $3$ elementos, tomados $2$ a $2$ é igual a três):

$AB$

$AC$

$BC$

(Lembremos que, quando o assunto é combinações, a ordem dos elementos não importa, ou seja, BC$ é o mesmo que $CB$.)

• $3$ agrupamentos com $1$ elemento cada (ou seja, combinação de $3$ elementos, tomados $1$ a $1$ é igual a três):

$A$

$B$

$C$

• $1$ único agrupamento com $3$ elementos (ou seja, combinação de $3$ elementos, tomados $3$ a $3$ é igual a um):

$ABC$

(Como já dito, a ordem dos elementos não importa, ou seja, $ABC$ é o mesmo que $CAB$ que é o mesmo que $BAC$ e assim por diante.)

A fórmula acima "funciona bem" para seu "propósito original", ou seja, sempre que $n>p$, mas vejamos o que acontece se formos utilizá-la para o caso em que $n=p$:
$$C_n^n=\frac{n!}{n!(n-n)!}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!}$$
Ora, não podemos efetuar o cálculo, pois não sabemos quanto vale $0!$ (pois ainda não foi definido). 

Mas já vimos que a combinação de $3$ elementos, tomados $3$ a $3$ é $1$. É possível ver que este resultado vale para qualquer que seja o número de elementos do conjunto, ou seja, combinação de $n$ elementos tomados $n$ a $n$ é sempre igual a $1$ (de fato, quantos modos há de pegar todos os elementos de um determinado conjunto de uma única vez? Lembrando que a ordem dos elementos não importa, podemos afirmar que há apenas uma maneira). Então podemos escrever:

$$C_n^n=1$$

Mas aplicando a fórmula tínhamos concluído que 
$$C_n^n=\frac{1}{0!}$$

Segue-se destes dois últimos resultados que: se queremos que a fórmula para o cálculo de combinação continue válida para quando $n$ é igual a $p$, temos que definir $0!$ de modo que seja válida a seguinte igualdade:
$$1=\frac{1}{0!}$$

Analise a equação acima e convença-se de que a única definição possível que preserva sua validade é:
$$0!=1$$

Em matemática, ao se estender um conceito para além do campo de definição original, a intenção é que todas as regras e fórmulas já conhecidas continuem válidas. Isto é o que acaba de ocorrer: define-se zero fatorial convenientemente como sendo igual a um, pois esta atitude preserva a validade de alguns resultados já conhecidos (no nosso exemplo, a validade da fórmula de combinação). 

É semelhante ao que ocorre com a definição $a^0=1$ discutida em postagem anterior: estende-se o conceito preservando a validade de resultados já estabelecidos.

Referência: Videoaula do PAPMEM: 23-07-10 - 10:45 - 12:00 - Professores (em particular Paulo Cezar Pinto Carvalho) - Perguntas e Respostas. Acesso em 5/4/11.

*Erros podem ser apontados aqui.

FIQUE SABENDO OUTROS PORQUÊS:

Por que racionalizar o denominador?

Por que menos vezes menos dá mais?

Por que todo número elevado a zero dá um?