sábado, 14 de janeiro de 2012

Qual é a probabilidade de ter raízes reais?


PERGUNTA

Quem sabe resolver este exercício?

Dada a equação do grau x² + bx + 4 = 0, escolhendo-se o número "b" ao acaso no conjunto {10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8} a probabilidade de que a equação formada admita raízes reais é:

a)0,50
b)0,70
c)0,75
d)0,78
e)0,80

Resposta é a letra B.


RESPOSTA

Quando estudamos equações quadráticas aprendemos que as raízes da equação ax² + bx + c = 0 podem ser dadas em função dos coeficientes a, b e c de acordo com a seguinte fórmula:


$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$$


Deste modo, se for ∆ < 0 então as raízes da equação não serão números reais, mas sim números complexos (pois vai aparecer a raiz quadrada de um número negativo).


Assim, para que uma equação do segundo grau adimita raízes reais, o seu discriminante deve ser maior do que 0 ou igual a 0.

Neste caso, o discriminante (ou delta se preferir) é dado por b² − 16 (pois ∆ = b²  4ac e na equação do enunciado temos a = 1 e c = 4).

Portanto, para que a equação admita raízes reais deve valer a seguinte desigualdade: b²  16 ≥ 0 ou, equivalentemente, b² ≥ 16Ou seja, para que o valor de  seja maior do que ou igual a zero,  o valor de b² deve ser maior do que ou igual a 16.

Agora, dê uma olhada nos elementos do conjunto dado: {10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8}. De todos os possíveis valores que podemos escolher para b, os únicos que não satisfazem essa condição, (ou seja, os únicos que quando elevados ao quadrado são menores do que 16) são os seguintes:  2, 02.

Portanto, das 10 possíveis escolhas, 7 delas lhe fornecem raízes reais e três delas não lhe fornecem raízes reais. Deste modo, a probabilidade de ao escolher um valor para b, ele lhe fornecer raízes reais é  de 7 para 10 ou 7 em 10 ou 7/10 ou 0,7 ou 0,70, pois 7 dos valores que podemos escolher para b quando elevados ao quadrado são maiores do que ou iguais a 16, o que proporciona o delta ser maior ou igual a zero, o que por sua vez proporciona a equação admitir raízes reais.

Referências: a pergunta foi extraída de Y!R e a resposta é uma versão daquela que eu apresentei ao perguntante (que, inclusive, lhe atribuiu pontuação máxima).
Erros podem ser relatados aqui.

2 comentários :

  1. Interessante como os assuntos se relacionam. Outro interessante é qual a probabilidade de escolher, ao acaso, três números <10, de forma que sejam termos de uma PA.

    elementosdeteixeira.blogspot.com ( UBM ).

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    Respostas
    1. Tem razão Aloisio, é muito interessante o modo como os assuntos se relacionam (suponho que fala de números não negativos? Bom, tentarei resolver...)
      Abraço.
      Pedro R.

      Excluir

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