Integração por partes (exercício resolvido)

Nesta postagem, a seguinte integral indefinida será resolvida:
$$\int x^3\cos(x)\;dx$$
Para tanto, a técnica da integração por partes será utilizada repetidamente.

Comece escolhendo, apropriadamente, $u$ e $dv$:
$$\begin{matrix} u = x^3\qquad &dv = \cos(x)\; dx\\ du = 3x^2 dx\qquad & v = \operatorname{sen}(x) \end{matrix}$$ Substitua na fórmula da integração por partes:

$\displaystyle\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$

$\displaystyle\int x^3 \cdot \cos(x) \; dx = x^3 \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 3x^2 \; dx$

$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx \tag{1}$

Agora, calcule (novamente por partes) aquela integral que apareceu no fim da expressão $(1)$. Para tanto, faça a seguinte escolha:
$$\begin{matrix} u = x^2\qquad &dv = \operatorname{sen}(x)\; dx\\ du = 2x \;dx\qquad & v = -\cos(x) \end{matrix}$$

Colocando na fórmula, você obtém:

$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = x^2 \cdot (-\cos(x)) - \int -\cos(x) \cdot 2x \; dx$

$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) - 2\int -\cos(x) \cdot x \; dx$

$\displaystyle\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2\int \cos(x) \cdot x \; dx \tag{2}$
Faça, mais uma vez, integração por partes para a integral que aparece no fim da expressão $(2)$. Desta vez use a seguinte substituição:
$$\begin{matrix} u = x\qquad &dv = \cos(x)\; dx\\ du = dx\qquad & v = \operatorname{sen}(x) \end{matrix}$$ Colocando na fórmula:

$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \; dx$

$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \sin(x) - (-\cos(x))$

$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \sin(x) + \cos(x) \tag{3}$

Agora, substitua $(3)$ em $(2)$:

$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2\int \cos(x) \cdot x \; dx$

$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x))$

$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x)$

Por fim, substitua este último resultado em  $(1)$:

$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx$

$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x))$

$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) + 3x^2 \cos(x) - 6x \sin(x) - 6 \cos(x)$

$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = (x^3 - 6x) \sin(x) + (3x^2 - 6) \cos(x)$

E não se esqueça de somar a constante de integração:
$$\int x^3 \cos(x) \; dx = (x^3 - 6x) \sin(x) + (3x^2 - 6) \cos(x) + C$$

Referência: livros de cálculo.
Erros podem ser relatados aqui.