segunda-feira, 2 de janeiro de 2012

Solução do Problema dos Três Santos


RESPONDENDO AS PERGUNTAS PROPOSTAS NO PROBLEMA DOS TRÊS SANTOS:

1ª Pergunta: Quanto é que o bêbado tinha quando entrou na Igreja?

Como não conhecemos a quantia em dinheiro que o bêbado possuia antes de entrar na Igreja, vamos chama-lá de $x$ e seguir realizando as operações matemáticas (multiplicações e subtrações) que aconteciam conforme os Santos atendiam o pedido do bêbado e também conforme o bêbado pagava a promessa ao Santos.

1º - O Bêbado possuía $x$ em dinheiro;

2º - O Primeiro santo dobrou o que ele tinha: $2x$;

3º - O Bêbado pagou o primeiro santo: $2x-20$;

4º - O Segundo Santo dobrou o que ele tinha: $2(2x-20)$;

5º - O Bêbado pagou o segundo santo: $2(2x-20)-20$;

6º - O Terceiro Santo dobrou o que ele tinha: $2(2(2x-20)-20)$;

7º - O Bêbado pagou o terceiro santo: $2(2(2x-20)-20)-20$;

8º - Sabendo que no final das contas o Bêbado saiu sem nada no bolso, podemos dizer que:

$$2(2(2x-20)-20)-20=0$$

Realizando as operações obtemos:

$$\begin{aligned}
2{4x − 40 − 20} − 20 &= 0\\
8x − 80 − 40 − 20 &= 0\\
8x − 140 &= 0\\
8x &= 140\\
x &= \frac{140}{8}\\
x &= 17,50
\end{aligned}$$

Portanto, a quantia que o bêbado possuía quando entrou na Igreja era de R$ 17,50 centavos.

2ª Pergunta: Quanto, no mínimo, o bêbado teria que ter em dinheiro antes de entrar na Igreja para sair no lucro?

Já sabemos que se o bêbado entrar com $\text{R\$ } 17,50$ ele sai da Igreja sem nada em dinheiro. Precisamos saber agora, quanto no mínimo ele precisa ter para sair com algum lucro. Para sair com lucro, o bêbado precisa sair da Igreja com mais do que entrou. Como já vimos ele saiu com $8x - 140$ e entrou com $x$. Concluímos então, que para sair no lucro deveria valer a seguinte desigualdade:
$$8x − 140 > x$$
Resolvendo a expressão acima, temos:

$$\begin{aligned}
8x − x &> 140\\
7x &> 140 \\
x &> \tfrac{140}{7} \\
x &> 20
\end{aligned}$$

Então concluímos que se o bêbado entrar na Igreja com uma quantia maior que R$ 20,00 reais ele obterá lucro. Ou seja, o bêbado precisa ter no mínimo R$ 20,01 (vinte reais e um centavo) para sair com lucro.

3ª Pergunta: José (amigo do bêbado que entrou na Igreja e saiu no prejuízo) resolveu ir até a Igreja e fazer o mesmo que seu amigo. No final das contas José saiu com 50% de lucro. Com quanto José entrou na igreja?

Conforme o enunciado, José saiu com a mesma quantia em que entrou mais a metade deste mesmo valor, ou seja, o lucro foi de x/2.

Então vamos aos cálculos:

$$\begin{aligned}
2(2(2x - 20) - 20) - 20 &= x + \frac{x}{2}\\
8x - 140 - x &= \frac{x}{2}\\
7x - 140 &= \frac{x}{2}\\
2(7x - 140) &= x\\
14x - 280 &= x\\
14x - x &= 280\\
13x &= 280\\
x &= \tfrac{280}{13}\\
x &\cong 21,53
\end{aligned}$$

Portanto, José entrou na Igreja com R$ 21,53 (vinte e um reais e cinquenta e três centavos).

Referências: conhecimentos de álgebra.
Erros podem ser relatados aqui.

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