Dúvida do Leitor [sobre limites]

Esta postagem tem o intuito de (tentar) responder a dúvida de um leitor. Em comentário publicado aqui, aparentemente ele pede para que usemos a definição formal de limite para provar o seguinte resultado:

Notemos, inicialmente, que este limite poderia ser facilmente calculado pelos teoremas já demonstrados no BLOG MANTHANO (pois esta função é justamente o Teorema 1 no caso em que m = 1 e b = 4/3).


Mas supondo que não conheçamos este teorema, vejamos (através de um gráfico) que realmente faz sentido querer demonstrar a veracidade desta afirmação:

Da figura acima, fica claro que conforme o valor de x se aproxima de 2 o valor de f(x) se aproxima de 10/3.


Vamos, em fim, para a demonstração:


De acordo com a definição formal, estamos interessado em mostrar que dado qualquer ε > 0 existe um δ > 0 que torna a seguinte implicação válida:

Mas observe que:

Portanto, a implicação que estamos querendo demonstrar se reduz na seguinte: 

Pergunta: para quais valores de δ a implicação acima é verdadeira?

Resposta: para qualquer valor positivo menor do que ou igual a ε.

Conclusão o δ existe e pode ser igual a qualquer número pertencente ao intervalo (0, ε].

Fica assim demonstrado que você pode tornar a diferença entre (3x + 4)/3 e 10/3 tão pequena quanto você quiser. Tudo o que você tem a fazer é aproximar x de 2 o suficiente. Ora, e quanto é este "suficiente"? Pelo que acabamos de ver, se você quiser que a diferença entre (3x + 4)/3 e 10/3 seja menor do que ε basta pôr a diferença entre x e 2  também menor do que ε (ou mesmo igual a ε).

Exemplo: se você quer que a diferença seja menor do que 0,0000000001 basta pôr δ = 0,0000000001  (ou igual a qualquer número positivo menor do que este).

Referências: os mesmos livros de cálculo listados na referência desta outra postagem.

Erros podem ser relatados aqui.