sexta-feira, 20 de janeiro de 2012

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 5




PROBLEMA: 

Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $ t $. Se a população dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar?

SOLUÇÃO:

Segundo o enunciado, a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $ t $”. E escrevendo esta afirmação matematicamente temos:
$$ \frac{dP}{dt} = K \cdot P,$$
onde,

$$\begin{aligned} P&= \text{Poulação no instante} \; t\\ \\ K &= \text{Constante de Proporcionalidade}\\ \\ \frac{dP}{dt} &= \text{Taxa de Variação} \end{aligned}$$
Separando a Equação acima (equação diferencial separável) temos:
$$ \frac{dP}{P} = K \cdot dt $$
Realizando o processo de Integração em ambos os lados:
$$ \ln(P) = K \cdot t + C $$
Utilizando a propriedade da exponencial, podemos reescrever:
$$ P = e^{K \cdot t+C} $$
E pela propriedade das potências, reescrevemos:
$$ P = e^{K \cdot t} \cdot e^C $$
Levando em consideração que $e^C$ não deixa de ser uma constante qualquer, para facilitar vamos chamá-la de $D$. Portanto:
$$ P = e^{K \cdot t} \cdot D $$
Como sabemos, o que está variando nesta função é o $ t $ (tempo), então podemos escrever a função da seguinte forma:
$$ P (t) = e^{K \cdot t} \cdot D $$
Agora vamos supor que no tempo zero (tempo inicial) tem-se a População Inicial, que vamos chamá-la de $ P_i $:

Para $ t = 0 $ tem-se $P_i$

Ou seja:
$$ P_i = P (0) = e^{K \cdot 0} \cdot D $$
$$ P_i = D $$
Substituindo $D$ por $P_i$, temos a função que descreve o crescimento da população:
$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$
O enunciando do exercício está afirmando que "Se a população dobrou em cinco anos...", ou seja:

$$ P (5) = 2 \cdot P_i $$
Portanto:
$$ 2 \cdot P_i = P_i \cdot e^{5K} $$
$$ 2 = e^{5 \cdot K} $$
Pela propriedade dos logaritmos:
$$ \ln(2) = 5 \cdot K $$
$$ 0,6937 = 5 \cdot K $$
$$ K = \frac {0,6937}{5} $$
$$ K \cong 0,1387 $$
Agora vamos responder a pergunta do exercício: Quanto tempo levará para triplicar a população? 

Triplicar a população é o mesmo que escrever  $3 \cdot P_i$.

E afirmando que no tempo $ t $ (ainda não sabemos, é justamente o que procuramos) a população é igual a $3 \cdot P_i$, temos:
$$ P (t) = 3 \cdot P_i $$
Sabemos que a equação que descreve a situação do exercício é:
$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$
Substituindo $P (t)$ por $3 \cdot P_i$, e substituindo também o valor de $K$, temos:
$$ 3 \cdot P_i = P_i \cdot e^{0,1387 \cdot t} $$
"Eliminando o $P_i$" e aplicando a propriedade logarítmica:
$$ \ln(3) = 0,1387 \cdot t $$ $$ 1,0986 = 0,1387 \cdot t $$ $$ t = \frac{1,0986}{0,1387} $$ $$ t \cong 8 $$
Portanto, a população levará $ 8$ anos para triplicar.

Referências: notas de aula. Imagem extraída daqui.
Erros podem ser relatados aqui.

11 comentários :

  1. A solução deste exercício foi um verdadeiro passeio resolutivo. Muito bem explicado e detalhado. Muito bom!

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  2. Prezado, bom dia!
    Gostaria de saber se poderia ajudar a resolver o problema abaixo:

    Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional a população presente. Sabendo-se que após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determinar a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique.

    Obrigada

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    1. Olá Suzuky. Infelizmente não poderei ajudar. Estou realmente sem tempo. Abraço. Pedro R.

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  3. Precisão é tudo! k=0,138629436 o que nos leva a um tempo de 7,92481251 anos para triplicar, e 10,00002165 anos para um quadruplicamento.




    Brincadeira =)

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  4. Muito bom. Estava com dúvida em uma questão semelhante, mas, sinceramente, não sabia por onde começar. Muito obrigado. :D

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    1. Que bom que ajudamos você Jackson.
      Ficamos felizes com isso! Volte sempre.
      Abraços

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  5. OLA, BOA NOITE CAROLINE E AOS DEMAIS COLEGAS, QUE ÓTIMA RESOLUÇÃO. SERA QUE VOCÊS PODERIAM ME AJUDAR A RESOLVER UMA QUESTÃO QUE NÃO ESTOU CONSEGUINDO SOLUCIONA-LA, POR FAVOR. SEGUI LOGO BAIXO A QUESTÃO:

    EM UM MODELO DE DECAIMENTO RADIOATIVO, UMA SUBSTANCIA RADIOATIVA SE DECOMPÕE, TRANSFORMANDO-SE EM OUTRA SUBSTANCIA A UMA TAXA PROPORCIONAL À QUANTIDADE DE MASSA PRESENTE. MATEMATICAMENTE REPRESENTAMOS ESTA AFIRMAÇÃO POR MEIO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL dm/dt=Km, ONDE m(t) É A QUANTIDADE DE MASSA DA SUBSTANCIA RADIOATIVA PARA CADA INSTANTE t. A CONSTANTE K É UMA CARACTERÍSTICA DE CADA MATERIAL, SENDO QUE, QUANTO MAIOR O SEU VALOR, MAIS RADIOATIVA É A SUBSTANCIA E MAIS RAPIDAMENTE ELA SE DECOMPÕE. ELA É UMA CONSTANTE NEGATIVA, INDICANDO QUE A QUANTIDADE DO MATERIAL ORIGINAL ESTA DIMINUINDO. DETERMINE A QUANTIDADE DE MASSA DA SUBSTANCIA RADIOATIVA EM CADA INSTANTE t.

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