EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 5

PROBLEMA: 

Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $ t $. Se a população dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar?

SOLUÇÃO:

Segundo o enunciado, “a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $ t $”. E escrevendo esta afirmação matematicamente temos:

$$ \frac{dP}{dt} = K \cdot P,$$

onde,

$$\begin{aligned} P&= \text{Poulação no instante} \; t\\ \\ K &= \text{Constante de Proporcionalidade}\\ \\ \frac{dP}{dt} &= \text{Taxa de Variação} \end{aligned}$$

Separando a Equação acima (equação diferencial separável) temos:

$$ \frac{dP}{P} = K \cdot dt $$

Realizando o processo de Integração em ambos os lados:

$$ \ln(P) = K \cdot t + C $$

Utilizando a propriedade da exponencial, podemos reescrever:

$$ P = e^{K \cdot t+C} $$

E pela propriedade das potências, reescrevemos:

$$ P = e^{K \cdot t} \cdot e^C $$

Levando em consideração que $e^C$ não deixa de ser uma constante qualquer, para facilitar vamos chamá-la de $D$. Portanto:

$$ P = e^{K \cdot t} \cdot D $$

Como sabemos, o que está variando nesta função é o $ t $ (tempo), então podemos escrever a função da seguinte forma:

$$ P (t) = e^{K \cdot t} \cdot D $$

Agora vamos supor que no tempo zero (tempo inicial) tem-se a População Inicial, que vamos chamá-la de $ P_i $:

Para $ t = 0 $ tem-se $P_i$

Ou seja:

$$ P_i = P (0) = e^{K \cdot 0} \cdot D $$

Como todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a $ 1 $, então temos:

$$ P_i = D $$

Substituindo $D$ por $P_i$, temos a função que descreve o crescimento da população:

$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$

O enunciando do exercício está afirmando que "Se a população dobrou em cinco anos...", ou seja:

$$ P (5) = 2 \cdot P_i $$

Portanto:

$$ 2 \cdot P_i = P_i \cdot e^{5K} $$

$$ 2 = e^{5 \cdot K} $$

Pela propriedade dos logaritmos:

$$ \ln(2) = 5 \cdot K $$

$$ 0,6937 = 5 \cdot K $$

$$ K = \frac {0,6937}{5} $$

$$ K \cong 0,1387 $$

Agora vamos responder a pergunta do exercício: Quanto tempo levará para triplicar a população? 

Triplicar a população é o mesmo que escrever  $3 \cdot P_i$.

E afirmando que no tempo $ t $ (ainda não sabemos, é justamente o que procuramos) a população é igual a $3 \cdot P_i$, temos:

$$ P (t) = 3 \cdot P_i $$

Sabemos que a equação que descreve a situação do exercício é:

$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$

Substituindo $P (t)$ por $3 \cdot P_i$, e substituindo também o valor de $K$, temos:

$$ 3 \cdot P_i = P_i \cdot e^{0,1387 \cdot t} $$

"Eliminando o $P_i$" e aplicando a propriedade logarítmica:

$$ \ln(3) = 0,1387 \cdot t $$ $$ 1,0986 = 0,1387 \cdot t $$ $$ t = \frac{1,0986}{0,1387} $$ $$ t \cong 8 $$
Portanto, a população levará $ 8$ anos para triplicar.

Referências: notas de aula. Imagem extraída daqui.

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