Algoritmo da Divisão: Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros q e r tais que a=bq+r, onde 0≤r<b. Além disso, q e r são únicos.
Na verdade o enunciado acima já está demonstrado (nas partes 1, 2 e 3). Queremos, porém, generalizar as coisas provando o seguinte resultado mais geral:
Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro diferente de zero, então existem dois números inteiros p e r tais que a=bp+r, onde 0≤r<|b|. Além disso, p e r são únicos.
Observe que este "novo" enunciado permite que b seja negativo.
Prova:
Se b>0 então, pelo que já vimos (do primeiro enunciado), existem dois inteiros únicos q e r tais que a=bq+r, onde 0≤r<b. Podemos fazer uma mudança de notação (escrevendo p em vez de q) e utilizar o fato de que b=|b| (pois b>0) obtendo a=bp+r e 0≤r<|b| (exatamente como nos diz o enunciado).
Por outro lado, se b<0 então −b>0. Assim, aplicando novamente a parte que já foi demonstrada ao número positivo −b concluímos que existem dois inteiros únicos q e r com 0≤r<−b tais que a=(−b)q+r. Agora podemos utilizar o fato de que −b=|b| (pois b<0) e fazer, de novo, uma mudança de notação (desta vez escrevendo −p em vez de q) obtendo a=(−b)(−p)+r=bp+r e 0≤r<|b| (tal qual no enunciado).
A proposição está, pois, demonstrada.
Observação: acima quando trocamos q por p o que fizemos foi, apenas, "trocar o nome" do número em questão. E quando trocamos q por −p o que fizemos foi "dar um nome" ao inverso aditivo de q (mais precisamente, fizemos p=−q ou seja, demos o nome de p ao número −q, donde segue que q=−p).
Referência: as demonstrações apresentadas nas quatro postagem desta série seguiram, essencialmente, os argumentos apresentados neste texto (de autoria de Rudolf R. Maier).
Erros podem ser relatados aqui.
Obrigado pelo elogio Lucas. Passarei sim no seu blog. Abraço.
ResponderExcluirPedro R.
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