quinta-feira, 5 de janeiro de 2012

O Algoritmo da Divisão Parte IV [o fim]


Esta é a última postagem da série que teve o objetivo de demonstrar o
Algoritmo da Divisão: Se $a$ é um número inteiro qualquer e $b$ é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros $q$ e $r$ tais que $a = bq + r$, onde $0 \leq r < b$. Além disso, $q$ e $r$ são únicos.
Na verdade o enunciado acima já está demonstrado (nas partes 1, 2 e 3). Queremos, porém, generalizar as coisas provando o seguinte resultado mais geral:
Se $a$ é um número inteiro qualquer e $b$ é um número inteiro diferente de zero, então existem dois números inteiros $p$ e $r$ tais que $a = bp + r$, onde $0 \leq r < |b|$. Além disso, $p$ e $r$ são únicos.
Observe que  este "novo" enunciado  permite que $b$ seja negativo.

Prova:

Se $b > 0$ então, pelo que já vimos (do primeiro enunciado), existem dois inteiros únicos $q$ e $r$ tais que $a = bq + r$, onde $0 \leq r < b$. Podemos fazer uma mudança de notação (escrevendo $p$ em vez de $q$) e utilizar o fato de que $b = |b|$ (pois $b > 0$) obtendo $a = bp + r$ e $0 \leq r < |b|$ (exatamente como nos diz o enunciado).

Por outro lado, se $b < 0$ então $-b > 0$. Assim, aplicando novamente a parte que já foi demonstrada ao número positivo $-b$ concluímos que existem dois inteiros únicos $q$ e $r$ com $0 \leq r < -b$ tais que $a = (-b)q + r$. Agora podemos utilizar o fato de que $-b = |b|$ (pois $b < 0$) e fazer, de novo, uma mudança de notação (desta vez escrevendo $-p$ em vez de $q$) obtendo $a = (-b)(-p) + r = bp + r$ e $0 \leq r < |b|$ (tal qual no enunciado).

A proposição está, pois, demonstrada.

Observação: acima quando trocamos $q$ por $p$ o que fizemos foi, apenas, "trocar o nome" do número em questão. E quando trocamos $q$ por $-p$ o que fizemos foi "dar um nome" ao inverso aditivo de $q$ (mais precisamente, fizemos $p = -q$ ou seja, demos o nome de $p$ ao número $-q$, donde segue que $q = -p$).

Referência: as demonstrações apresentadas nas quatro postagem desta série seguiram, essencialmente, os argumentos apresentados neste texto (de autoria de Rudolf R. Maier).
Erros podem ser relatados aqui.

2 comentários :

  1. Gosto muito dos artigos de ótima qualidade do seu Blog. Quando for possível dá uma passadinha para ver nosso Curso de Informática Online. Lucas

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    1. Obrigado pelo elogio Lucas. Passarei sim no seu blog. Abraço.
      Pedro R.

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