segunda-feira, 30 de janeiro de 2012

Solucionando o Problema do Aniversário


Em postagem anterior, foi proposto um problema que pode ser enunciado do seguinte modo:


Qual é a probabilidade de que, em um grupo de $$49$$ pessoas, existam pelo menos duas que façam aniversário no mesmo dia?

Supomos, inevitavelmente, que o leitor já tenha estudado algo sobre probabilidades e começamos lembrando que a probabilidade $$P(X)$$ de ocorrência de um evento $$X$$ pode ser dada pela expressão

$$P(X)=\frac{n}{m}$$

onde $$n$$ representa o número de resultados favoráveis ao evento $$X$$ e $$m$$ representa o número de resultados possíveis. Lembremos também que a probabilidade $$P(X')$$ do evento $$X$$ não ocorrer é dada por 

$$P(X')=1-P(X)$$

Com estes fatos em mente, vamos convencionar que ocorrer o evento $$A$$ significa "existir no mínimo duas pessoa que aniversariam no mesmo dia". Portanto é $$P(A)$$ que devemos achar para responder a pergunta em negrito acima. 

Entretanto, num primeiro momento, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade de ocorrência do evento $$A$$ vamos calcular a probabilidade do evento $$A$$ não ocorrer, (em outros termos: vamos calcular a probabilidade de que todas as $$49$$ pessoas aniversariem em dias diferentes, evento este que chamaremos de $$A'$$) e em seguida faremos uso da fórmula

$$P(A')=1-P(A) \Leftrightarrow P(A)=1-P(A')$$

Comecemos, então, calculando "o número de resultados possíveis". Observe que fazer este cálculo é o mesmo que responder a seguinte questão: de quantas maneiras diferentes $$49$$ pessoas podem fazer aniversário em um ano de $$365$$ dias?
  • Ora, para a primeira pessoa há $$365$$ possibilidades (afinal ela pode ter nascido em qualquer dia do ano);
  • De igual modo, para a segunda pessoa há $$365$$ possibilidades;
  • Semelhantemente, para a terceira pessoa há $$365$$ possibilidades;
  • Para a quarta pessoa há $$365$$ possibilidades;
                                                $$\vdots$$
  • Para a quadragésima oitava pessoa há $$365$$ possibilidades;
  • E por fim, para quadragésima nona pessoa também há $$365$$ possibilidades.
Concluímos assim (em virtude do princípio fundamental da contagem) que existem $$365\times365\times\cdots\times365=365^{49}$$ modos diferentes deste grupo de $$49$$ pessoas aniversariarem.


Calculemos, agora, o número de resultados favoráveis ao evento $$A'$$ (ou seja, favoráveis ao evento "todas aniversariarem em dias diferentes"). Observe que fazer este cálculo é o mesmo que responder a seguinte questão: em um ano de $$365$$ dias, quantos modos existem de todas as $$49$$ pessoas fazerem aniversário em dias distintos?
  • Ora, para a primeira pessoa há $$365$$ possibilidades (afinal ela pode ter nascido em qualquer dia do ano);
  • Já para a segunda pessoa há $$364$$ possibilidades (pois ela não pode ter nascido no mesmo dia em que a primeira pessoa);
  • Para a terceira pessoa, há $$363$$ possibilidades (pois a data de seu nascimento não pode coincidir com a data do nascimento das duas pessoas anteriores);
  • Para a quarta pessoa, há $$362$$ possibilidades;
                                                $$\vdots$$
  • Para a quadragésima oitava pessoa há $$365-47=318$$ possibilidades;
  • E por fim, para quadragésima nona pessoa há $$365-48=317$$ possibilidades (pois seu aniversário não pode coincidir com o aniversário de alguma das outras quarenta e oito pessoas).


Portanto (novamente em virtude do princípio fundamental da contagem) concluímos que o número de modos de, num grupo de $$49$$ pessoas, todas aniversariarem em dias diferentes é $$365\times364\times\cdots\times318\times317$$.

Conclusões:

A probabilidade de todas as $$49$$ pessoas aniversariarem em dias diferentes é

$$P(A')=\frac{365\times364\cdots\times317}{365^{49}}\cong0,034$$


A probabilidade de que dentre as $$49$$ pessoas existam pelo menos duas que façam aniversário no mesmo dia será, portanto,

$$P(A)=1-P(A')\cong1-0,034\cong0,96=96\%$$


Assim o problema fica resolvido sendo que, naquela data, as chances do BLOG MANTHANO possuir pelo menos dois seguidores nascidos no mesmo dia era de quase $$100\%$$. Surpreendente, não?


Observações:

1) Vale ressaltar que no cálculo apresentado "desprezamos variações na distribuição, tais como anos bissextos, gêmeos, variações sazonais ou semanais, e assumimos que $$365$$ possíveis aniversários são todos igualmente prováveis" [fragmento entre aspas extraído da wikipédia].

2) Note que o número de resultados favoráveis ao evento $$A'$$ pode ser escrito de uma maneira mais compacta (que foi útil para calcular o valor de $$P(A')$$ através do site Wolfram Alpha):


$$365\times364\times\cdots\times318\times317=\frac{365!}{(365-49)!}=\frac{365!}{316!}$$

3) A animação abaixo mostra a "curva do aniversário" em seis níveis de zoom diferentes, fornecendo uma estimativa para a probabilidade de que haja pelo menos duas pessoas em cada grupo que façam aniversário no mesmo dia:

gráficos feitos no Wolfram Alpha

4) Escrevendo a probabilidade mencionada em função do número de pessoas do grupo obtemos uma função de variável discreta, logo seu gráfico não poderia apresentar traçado contínuo tal qual o da figura acima. Ressaltamos, porém, que para traçar os gráficos adotamos um modelo contínuo (que, para fins de cálculo, não apresenta nenhum inconveniente). Mais precisamente usamos a seguinte expressão:

$$f(x)=1-\frac{365!}{(365-x)!365^x}$$

5) Muito embora para grupos com cerca de $$200$$ ou $$300$$ pessoas a probabilidade (de haver pelos menos duas que nasceram no mesmo dia) ser gigantesca, a certeza absoluta só  poderá ser alcançada em grupos com mais de $$365$$ pessoas.

Referências: a matemática do ensino médio, volume 2 (de Elon e outros); Wikipédia.
Erros podem ser relatados aqui.

2 comentários :

  1. Já pensou na quantidade de pessoas que estão nascendo em um mesmo dia, por exemplo, hoje? É uma safra diária e, talvez, durante a jornada da vida, algumas nunca se conhecerão. A probabilidade de duas pessoas que nasceram em um mesmo dia se conhecerem em vida deve ser um trabalho estatístico muito grande, acho.

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  2. De fato Aloisio, deve ter muita gente nascendo. Olha eu mesmo não conheço ninguém que nasceu no mesmo dia que eu. Não sei se você conhece, mas se você conviver em um grupo de 366 pessoas (ou mais) que se conhecem mutuamente então, por certo, haverá pelo menos dois conhecidos nesse seu círculo de convivência que nasceram no mesmo dia.
    Pedro R.

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