quinta-feira, 12 de janeiro de 2012

Integração por partes (exercício resolvido)

Nesta postagem, a seguinte integral indefinida será resolvida:
$$\int x^3\cos(x)\;dx$$
Para tanto, a técnica da integração por partes será utilizada repetidamente.

Comece escolhendo, apropriadamente, $u$ e $dv$:
$$\begin{matrix}
u = x^3\qquad &dv = \cos(x)\; dx\\
du = 3x^2 dx\qquad & v = \operatorname{sen}(x)
\end{matrix}$$Substitua na fórmula da integração por partes:
$\displaystyle\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$
$\displaystyle\int x^3 \cdot \cos(x) \; dx = x^3 \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 3x^2 \; dx$
$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx \tag{1}$
Agora, calcule (novamente por partes) aquela integral que apareceu no fim da expressão $(1)$. Para tanto, faça a seguinte escolha:
$$\begin{matrix}
u = x^2\qquad &dv = \operatorname{sen}(x)\; dx\\
du = 2x \;dx\qquad & v = -\cos(x)
\end{matrix}$$
Colocando na fórmula, você obtém:
$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = x^2 \cdot (-\cos(x)) - \int -\cos(x) \cdot 2x \; dx$
$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) - 2\int -\cos(x) \cdot x \; dx$
$ \displaystyle\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2\int \cos(x) \cdot x \; dx \tag{2}$
Faça, mais uma vez, integração por partes para a integral que aparece no fim da expressão $(2)$. Desta vez use a seguinte substituição:
$$\begin{matrix}
u = x\qquad &dv = \cos(x)\; dx\\
du = dx\qquad & v = \operatorname{sen}(x)
\end{matrix}$$Colocando na fórmula:
$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \; dx $
$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) $
$\displaystyle \int \cos(x) \cdot x \; dx = x \sin(x) + \cos(x) \tag{3}$

Agora, substitua $(3)$ em $(2)$:


$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2\int \cos(x) \cdot x \; dx $
$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) $
$\displaystyle \int \sin(x) \cdot x^2 \; dx = -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) $

Por fim, substitua este último resultado em  $(1)$:


$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3\int \sin(x) \cdot x^2 \; dx $
$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) - 3(-x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2 \cos(x)) $
$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = x^3 \sin(x) + 3x^2 \cos(x) - 6x \sin(x) - 6 \cos(x) $
$\displaystyle \int x^3 \cos(x) \; dx = (x^3 - 6x) \sin(x) + (3x^2 - 6) \cos(x) $

E não se esqueça de somar a constante de integração:
$$ \int x^3 \cos(x) \; dx = (x^3 - 6x) \sin(x) + (3x^2 - 6) \cos(x) + C$$
Referência: livros de cálculo.
Erros podem ser relatados aqui.

11 comentários :

  1. Otima resposta! Parabens !!

    ResponderExcluir
  2. eita, ja teria desistido, parabens !

    ResponderExcluir
  3. Professor, seria melhor de visualizar se as respostas não viessem nessa forma como se tivesse sido tirado de um programa. Dessa forma atrapalha muito. Grata pela compreensão.

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Você não está vendo as equações corretamente porque, provavelmente, está acessando a página a partir de um tablet ou celular. Sugiro que use um computador. Abraço. Pedro R.

      Excluir
  4. Fiquei na dúvida na sua chamada em vermelho, a integral do cos(x) é sen(x) correto?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Você está correto. O post está errado. Dentro em breve editarei. Obrigado pela correção. Pedro R.

      Excluir

Arquivo do BLOG MANTHANO

Atualizações dos nossos parceiros: